苏教版选修44 曲线的极坐标方程的意义 学案2.doc

4.2 曲线的极坐标方程4.2.1 曲线的极坐标方程的意义自主整理1.一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程f(,)=0;反之，极坐标适合方程f(,)=0的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的_，这条曲线称为这个极坐标方程的_.答案:极坐标方程 曲线2.求曲线的极坐标方程的基本步骤：第一步：建立适当的极坐标系；第二步：在曲线上任取一点p（,）；第三步：根据曲线上的点所满足的条件写出等式；第四步：用极坐标,表示上述等式，并化简得极坐标方程；第五步：证明所得的方程是曲线的极坐标方程.高手笔记1.在求曲线的极坐标方程时，就是求曲线上的任一点m（,）的坐标符合已知条件的方程，在方法与步骤上和求直角坐标方程是类似的.2.由直角坐标方程化成极坐标方程，只要用x=cos,y=sin直接代入就可以了.由极坐标方程化为直角坐标方程，在可能时，最好把cos换成x,sin换成y,2换成x2+y2,而不是直接把和换成x和y的式子.3.找平面曲线的极坐标方程，就是要找极径和极角之间的关系式，常用解三角形（正弦定理，余弦定理）的知识，利用三角形的面积相等来建立、之间的关系.4.当允许0时，这时规定它的对应点m的位置在角终边的反向延长线上，且|om|=|，这样可取一切实数.名师解惑1.极径是距离，当然是正的，可为何又有“负极径”的概念呢？“负极径”中的“负”的含义是什么？剖析：根据极径定义，极径是距离，当然是正的.极径是负的，等于极角增加.负极径的负与数学中历来的习惯相同，用来表示“反向”，比较来看，负极径比正极径多了一个操作：将射线op“反向延长”.而反向延长也可以说成旋转，因此，所谓“负”实质是管方向的.如：直角坐标系中点的坐标是负的；两个向量对应的数一正一负，方向也表示是相反的.一般情况下，如果不作特殊说明，极径都指的是正的.2.为何我们要注意不要把对直角坐标系内的点和曲线的认识套用到极坐标系内，用极坐标与直角坐标来表示点和曲线时，二者究竟有哪些明显的区别呢？剖析：（1）在平面直角坐标系内，点与有序实数对即坐标(x,y)是一一对应的，可是在极坐标系内，虽然一个有序实数对(,)只能与一个点p对应，但一个点p却可以与无数多个有序实数对(,)对应.例如(,2n+)与(-,(2n+1)+)（n为整数）表示的是同一个点，所以点与有序实数对极坐标(,)不是一一对应的.（2）在直角坐标系内，一条曲线如果有方程，那么曲线和它的方程是一一对应的（解集完全相同且互相可以推导的等价方程，只看作一个方程）.可是在极坐标系内，虽然是一个方程只能与一条曲线对应，但一条曲线却可以与多个方程对应，所以曲线和它的方程不是一一对应的.（3）在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程.例如给定曲线=，设点p的一极坐标为(,)，那么点p适合方程=，从而是曲线上的一个点，但点p的另一个极坐标(,)就不适合方程=了.所以在极坐标系内，确定某一个点p是否在某一曲线c上，只需判断点p的极坐标中是否有一对坐标适合曲线c的方程即可.讲练互动【例题1】设m是定圆o内一定点，任作半径oa，连结ma，自m作mpma交oa于p，求p点的轨迹方程.思路分析：求p点的轨迹方程关键是解apm，利用余弦定理，可以建立点p(,)中,之间的关系.解：以o为极点，射线om为极轴，建立极坐标系，如右图. 设定圆o的半径为r，om=a，p(,)是轨迹上任意一点. mpma，|ma|2+|mp|2=|pa|2.由余弦定理可知|ma|2=a2+r2-2arcos，|mp|2=a2+2-2acos.而|pa|=r-，由此可得a2+r2-2arcos+a2+2-2acos=(r-)2.整理化简，得=.绿色通道 寻找一个关键三角形，使动点的极半径和极角与已知条件成为该三角形的元素，借助于三角形的边角关系建立起动点的轨迹方程，这种方法称为关键三角形法.若三角形为直角三角形，可利用勾股定理及其他边角关系建立动点的极坐标方程；若三角形为一般三角形，可利用正、余弦定理建立动点的极坐标方程.变式训练1.判断点(,)是否在曲线=cos上？思路分析：在极坐标系内判断点是否在直线上与在直角坐标系内判断是不同的.不能只是简单地将点的坐标代入，当点的坐标代入不能满足方程时，我们还要验证这个点的其他坐标是否符合曲线方程.解：点(-,)和点(,)是同一点，而cos,点(,)在曲线=cos上，即点(,)在曲线=cos上.【例题2】 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化.(1)y2=4x;(2)y2+x2-2x-1=0;(3)=;(4)cos2=1;(5)2cos2=4;(6)=.思路分析：极坐标系和直角坐标系都是用一对有序实数来确定平面上一点的位置方法，都是研究平面图形的重要工具.在实践中，由于问题的需要和研究的方便，常需把这两种坐标系进行换算，我们有必要掌握这两种坐标间的互化.在解这类题时，除正确使用互化公式外，还要注意与恒等变换等知识相结合.解：(1)将x=cos,y=sin代入y2=4x，得(sin)2=4cos，化简得sin2=4cos.(2)将x=cos,y=sin代入y2+x2-2x-1=0,得(sin)2+(cos)2-2cos-1=0，化简得2-2cos-1=0.(3)tan=，tan=，化简得y=x(x0).(4)cos2=1,=1,即+cos=2.+x=2.化简得y2=-4(x-1).(5)2cos2=4,2cos2-2sin2=4,即x2-y2=4.(6)=,2-cos=1.-x=1,化简得3x2+4y2-2x-1=0.绿色通道 绿色通道在进行两种坐标方程间的互化时，我们要注意： (1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合、两种坐标系的单位长度相同. (2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里约定只在02范围内求值. (3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要注意化简. (4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在,是等价变形，否则，不是等价变形.变式训练2.把下列极坐标方程化为直角坐标方程.(1)2cos2=1;(2)=tansec;(3)=2cos(-).思路分析：本题考查极坐标方程转化为直角坐标方程，通常把方程先配凑，然后把cos换成x，sin换成y，2换成x2