北师大版选修22第一章 2.1 综合法与分析法 .docx

学习目标1.了解直接证明的两种基本方法：分析法与综合法.2.了解分析法和综合法的思维过程和特点.3.会用分析法、综合法证明实际问题.知识点一综合法1.综合法定义从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这样的思维方法称为综合法.2.基本模式综合法的证明过程如下：即用p表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，q表示所要证明的结论，则综合法用框图可表示为3.综合法的证明格式因为，所以，所以，所以成立.思考综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？答案演绎推理.知识点二分析法1.分析法定义从求证的结论出发，一步一步地探索，保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这样的思维方法称为分析法.2.基本模式用q表示要证明的结论，p表示条件，则分析法可用框图表示为3.分析法的证明格式要证，只需证，只需证，因为成立，所以成立.思考分析法与综合法有哪些异同点？答案相同点：两者都是直接利用原命题的条件(或结论)，逐步推得命题成立的证明方法直接证明法.不同点：证法1，由因导果，使用综合法；证法2，执果索因，使用分析法.题型一综合法的应用例1已知a，b是正数，且ab1，求证：4.证明方法一a，b是正数，且ab1，ab2，4.方法二a，b是正数，ab20，2 0，(ab)4.又ab1，4.方法三1122 4.当且仅当ab时，取“”.反思与感悟利用综合法证明问题的步骤：(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法.(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路.(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结优化解法.跟踪训练1已知a，b，cr，且它们互不相等，求证a4b4c4a2b2b2c2c2a2.证明a4b42a2b2，b4c42b2c2，a4c42a2c2，2(a4b4c4)2(a2b2b2c2c2a2)，即a4b4c4a2b2b2c2c2a2.又a，b，c互不相等.a4b4c4a2b2b2c2c2a2.题型二分析法的应用例2已知a5，求证.证明要证，只需证，只需证()2()2，只需证2a522a52，只需证，只需证a25aa25a6，只需证06.因为06恒成立，所以成立.反思与感悟分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为一个明显成立的条件.利用分析法证明时，要求一般格式要规范，其关键词“要证”“只需证”等不能漏掉，这是用分析法证题易忽视的地方.跟踪训练2若a，b，c是不全相等的正数，求证lg lg lg lg alg blg c.证明方法一(分析法)要证lg lg lg lg alg blg c，即证lg lg(abc)，只需证abc.0，0，0，abc0成立.(*)又a，b，c是不全相等的正数，(*)式等号不成立，原不等式成立.方法二(综合法)a，b，cr，0，0，0.又a，b，c是不全相等的正数，abc，lglg(abc)，lg lg lg lg alg blg c.题型三综合法和分析法的综合应用例3已知a、b、c是不全相等的正数，且0x1.求证：logxlogxlogxlogxalogxblogxc.证明要证logxlogxlogxlogxalogxblogxc，只需证logxlogx(abc).由已知0xabc.由公式0，0，0，又a，b，c是不全相等的正数，abc.即abc成立.logxlogxlogxlogxalogxblogxc成立.反思与感悟综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论p；若由p可推出q，即可得证.跟踪训练3设a，b，c为任意三角形的三边长，iabc，sabbcca，试证明：3si24s.证明iabc，sabbcca，i2(abc)2a2b2c22(abbcac)a2b2c22s.于是，要证3si24s, 即证3sa2b2c22s4s，即证sa2b2c22s.(1)要证sa2b2c2，即证a2b2c2abbcca0，即证(a2b22ab)(b2c22bc)(a2c22ca)0，即证(ab)2(bc)2(ac)20.(ab)20，(bc)20，(ac)20，(ab)2(bc)2(ac)20，sa2b2c2成立.(2)要证a2b2c22s，即证a2b2c22ab2bc2ac0，即证(a2abac)(b2abbc)(c2acbc)0，即证aa(bc)bb(ac)cc(ab)0.a，b，c为任意三角形的三边长，a0，b0，c0，且abc，acb，bca，aa(bc)0，bb(ac)0，cc(ab)0，aa(bc)bb(ac)cc(ab)0，a2b2c22s成立.综合(1)(2)可知，sa2b2c22s成立，于是3si24s成立.因误用证明依据而出错例4已知a，b，c均为正实数，求证abc.错解因为a2b2b2c2c2a233abc，abc3，所以abc.错因分析由于对不等式的性质把握不清而导致错误.不等式的性质：若ab0，cd0，则acbd，但却不一定成立.正解因为a2b2b2c22ab2c，b2c2c2a22abc2，c2a2a2b22a2bc，把以上三式相加，并化简得a2b2b2c2c2a2abc(abc).两边同除以正数abc，得abc.防范措施在利用分析法或综合法证明问题时，要严格依据有关定理、性质、公理、法则进行证明.1.分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的()a.充分条件 b.必要条件c.充要条件 d.等价条件答案a2.已知函数f(x)lg ，若f(a)b，则f(a)等于()a.b b.b c. d.答案b解析函数f(x)的定义域为x|1x1，且f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数，f(a)f(a)b.3.若abab，则a，b应满足的条件是_.答案a0，b0且ab解析abab()2()0a0，b0，且ab.4.已知a，b，(0，)，且1，则使得ab恒成立的的取值范围是_.答案(0,16解析a，b(0，)，且1，ab(ab)1010216，ab的最小值为16，要使ab恒成立，需16，016.5.求证：2.证明因为logab，所以左边log1952log1933log192log195log1932log1923log19(53223)log19360.因为log19360log193612，所以2.1.综合法：(1)用综合法证明不等式，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，利于表达推理的思维轨迹.(2)综合法证明问题的步骤：第一步，分析条件，选择方向；第二步，转化条件，组织过程；第三步，回顾反思，适当调整.2.分析法：所证结论较为复杂或不好直接从条件证明时，我们往往采用分析法证明问题，其关键是对结论进行等价变形，不等价无意义，也找不到成立的条件.3.分析综合法：有时解题需要一边分析，一边综合，称之为分析综合法，它表明分析与综合相互联系，分析的终点是综合的起点，综合的终点又进一步成为分析的起点.运用综合法与分析法联合解题时，一方面要特别注意“分析”那部分的叙述，不能与综合混为一谈，也就是说要注意它们之间的区别；另一方面，要习惯用分析法探求解题的途径，再用综合法完成命题的证明.一、选择题1.要证明，可选择的方法有下面几种，其中最合适的是()a.综合法 b.分析法c.特殊值法 d.其他方法答案b2.已知a，b，c为互不相等的正数，且a2c22bc，则下列关系中可能成立的是()a.abc b.bcac.bac d.acb答案c解析由a2c22ac，a2c22bc，得2bc2ac.又c0，ba，可排除a，d.令a2，b，可得c1或c4，可知c可能成立.3.若实数a，b，c满足abc0，abc0，则的值()a.一定是正数b.一定是负数c.可能是0d.正、负不能确定答案b解析(abc)2a2b2c22(abbcac)0，且a2b2c20(由abc0，知a，b，c均不为零)，abbcac0，0.4.设0x1，则ax，b1x，c中最大的一个是()a.a b.bc.c d.不能确定答案c解析bc(1x)0，bxa，abb是sin asin b的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.即不充分也不必要条件答案c解析由正弦定理，又a、b为三角形的内角，sin a0，sin b0，sin asin b2rsin a2rsin babab.6.已知直线l，m，平面，且l，m，给出下列四个命题：若，则lm；若lm，则；若，则lm；若lm，则.其中正确命题的个数是()a.1 b.2c.3 d.4答案b解析若l，m，则l，所以lm，正确；若l，m，lm，与可能相交，不正确；若l，m，l与m可能平行或异面，不正确；若l，m，lm，则m，所以，正确.二、填空题7.定义在(，)上的函数yf(x)在(，2)上是增函数，且函数yf(x2)为偶函数，则f(1)，f(4)，f的大小关系是_.答案f(4)f(1)f解析f(x2)为偶函数，f(x2)f(x2)，故f(x)关于x2对称，且开口向下，画出图像(图略)，显然有f(4)f(1)f.8.已知函数yx22ax在3，)上是增函数，则a的取值范围是_.答案3，)解析据题意得y(xa)2a2，故x对称轴a3，解得a3.9.函数ya1x(a0且a1)的图像恒过定点a，若点a在直线mxny10(mn0)上，则的最小值为_.答案4解析函数ya1x(a0且a1)恒过点a(1,1)，点a在直线mxny10上，mn10即mn1.又mn0，m0，n0.(mn)222224(当且仅当mn时取等号).10.当nn时，定义函数n(n)表示n的最大奇因数.如n(1)1，n(2)1，n(3)3，n(4)1，n(5)5，n(10)5，记s(n)n(2n1)n(2n11)n(2n12)n(2n1)(nn)，则：(1)s(3)_；(2)s(n)_.答案(1)16(2)4n1解析(1)依题意知，s(3)n(4)n(5)n(6)n(7)153716.(2)依题意得，n(2n)1.当n为奇数时，n(n)n.在从2n1到2n1这2n1个数中，奇数有2n2个，偶数有2n2个.在这2n2个偶数中，不同的偶数的最大奇因数一定不同.注意到n(2n1)1，n(2n1)2n1，且从n(2n1)到n(2n1)共有2n1项，它们分别为互不相等的正奇数，其中最小的项是1，最大的项是2n1，而从1到2n1共有2n1个连续的奇数，因此n(2n1)n(2n11)n(2n12)n(2n1)1352n14n1，即s(n)4n1.三、解答题11.已知函数yf(x)(xr)，若函数f(x1)与f(x)的图像关于y轴对称，求证yf为偶函数.证明设点p(x，y)是函数yf(x)上任一点，f(x1)与f(x)的图像关于y轴对称.则点p(x，y)在函数yf(x1)的图像上.yf(x1)，又yf(x)，f(x)f(x1).fff，yf为偶函数.12.如图所示，m是抛物线y2x上的一点，动弦me，mf分别交x轴于a，b两点，且mamb.若m为定点，证明：直线ef的斜率为定值.证明设m(y，y0)，直线me的斜率为k(k0)，则直线mf的斜率为k，直线me的方程为yy0k(xy).由消去x，得ky2yy0(1ky0)0.解得ye，xe.同理可得yf，xf.kef(定值).直线ef的斜率为定值.13