北师大版必修一 4.1.1利用函数性质判定方程解的存在2.ppt

数学在人们社会生活中的作用发生了革命性的变化 姜伯驹 利用函数性质判定方程解的存在 教学内容分析本节课安排在 普通高中课程标准数学教科书 数学 必修1 北师大版 第四章第一节第一课时的内容 我们知道函数应用主要反映在两个方面 一是用函数的思想描述 分析和讨论其他的数学内容 函数在数学内部的应用 二是用函数模型解决简单的实际问题 这节课是在学生学习了函数的相关概念 性质 指数函数 对数函数 幂函数 对这些函数的图像 性质都非常熟悉的基础上 进一步研究函数与其他数学知识的有机联系 这里集中研究的是从函数特征判定方程实数解的存在性 同时 它也是进一步学习利用 二分法 求方程近似解的依据和基础 是函数应用的体现 学情分析由于学生在第二章已经学习了函数的有关概念和性质 又通过对指数函数 对数函数 幂函数的定义 图像 性质的研究 对函数有了进一步的认识 有一定的知识基础 同时 学生也具备了一些函数应用的意识 他们的智力发展到了形式运演阶段 但应用意识还是相对薄弱 创造力不强 所以 在授课时注重从学生已有的认知水平出发 注重引导 启发和探究以符合学生的心理发展特点 从而促进思维能力的进一步发展 三维目标知识与技能了解函数零点的概念 理解函数零点与相应方程间的关系 掌握利用函数性质判定零点存在的条件 过程与方法通过对零点存在性的探索 发现及应用 掌握由特殊到一般的认知规律 培养学生用函数的观点思考 分析问题的习惯 情感 态度 价值观在函数与方程的联系中体验数形结合思想 转化思想 连续和近似思想 体会函数知识的核心作用和数学不同内容之间的关系 教学重点零点的概念及存在性的判定 重在数形结合的几何方法 教学难点零点个数的确定 一 创设情境 揭示课题我们已经学过了一元一次方程 一元二次方程 二元一次方程组的解法 还有一些简单的指数方程 对数方程的解法 那么 你会解下面的方程吗 6x 2 0 3x2 x 1 0 x5 6x 1 0 一次方程 二次方程 三次方程 四次方程的解都可以通过系数的四则运算 乘方与开方等运算来表示 但高于四次的一般多项式方程以及实际生活和物理研究中的一些方程 还有一般的超越方程 如 我们无法求其精确解 人们一直在研究方程的近似解方法 为了解决这个问题我们将学习今天的内容 二 互动交流 研讨新知 观察下面三个一元二次方程的根与二次函数的图像之间有什么关系 方程的解与函数图象和x轴的交点之间是什么关系 方程的解是函数图象与x轴交点的横坐标 问题一 方程ax2 bx c 0 a 0 的根是二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与x轴交点的横坐标 二次函数的图像与 轴的交点与对应的一元二次方程的根的关系是否可以推广到一般情形 1 方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数 2 方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标 结论 1 方程的根与函数的零点 二 互动交流 研讨新知 对于函数y f x x d 把函数y f x 的图像与横轴的交点的横坐标x叫做函数y f x x d 的零点 说出上面三个二次函数有没有零点 若有 有几个 函数零点的概念 问题二 函数y f x 的零点是不是点 它与方程f x 0的解有什么关系 函数零点的意义 函数y f x 的零点就是方程f x 0的实数根 亦即函数y f x 的图像与x轴交点的横坐标 问题三 如何判断一个函数是否有零点 1 观察二次函数y x2 2x 3的图像 在区间 2 1 上有零点 f 2 f 1 f 2 f 1 0 在区间 上有零点 f 2 f 4 f 2 f 4 0 2 观察下面函数y f x 的图像在区间 a b 上 有 无 零点 f a f b 0在区间 b c 上 有 无 零点 f b f c 0在区间 c d 上 有 无 零点 f c f d 0 1 5 4 3 3 5 有 有 有 讨论结果 函数y f x 在区间 a b 端点处的函数值符号相反 即f a f b 0则函数y f x 在区间 a b 内有零点 你发现什么啦 2 零点存在性的探求 问题四 上面的结论是否具有一般性 分析 显然f 1 f 1 但函数无零点 方程x2 x 无根 讨论结果 在上面的结论中 必须再补充条件 函数y f x 的图像必须穿过x轴 在给定区间 a b 上是一条连续曲线 请看函数y f x 的图像 显然f a f b 但函数无零点 方程f x 无根 问题五 函数y f x 在区间 a b 上满足上面两个条件后 方程f x 0一定有解 那么解是否唯一 观察下面函数y f x 图像 函数有几个零点 方程f x 0在区间 a b 上有几个解 由以上几步 你可以得到什么样的结论 定理 函数y f x 在区间 a b 上的图像是一条连续曲线 并在区间 a b 端点处的函数值符号相反 即f a f b 则 方程f x 0在区间 a b 内至少有一个实根 下面我们探讨方程x5 6x 1 0根的问题 这是我们前面无法求解的问题 现在能用上面新的知识解答吗 函数y f x 在哪几个区间内必有零点 方程f x 0的根在什么范围内 为什么 若令f x x5 6x 1 则 3 拓展深化分组讨论下面的问题 画图举出反例 请大家交流后回答 问题六 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有f a f b 0时 函数在区间 a b 内没有零点吗 问题七 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是一条连续不断的曲线 并且有f a f b 0时 函数在区间 a b 内有零点 但是否只一个零点 问题八 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是一条连续不断的曲线 并且函数在区间 a b 内有零点时一定有f a f b 0吗 三 巩固深化 发展思维 例 观察下面的四个函数图像 指出在区间 0 内 方程fi x 0 i 1 2 3 4 哪个有解 说明理由 解 因为f 1 5 0f 3 8 0函数f x x 2x 6的图像是连续曲线 所以f x 在区间 0 内有零点 即函数f x 在区间 0 内有实数解 例2 已知函数f x x 2x 6 问 方程f x 在区间 0 内有没有实数解 为什么 例3 判定方程 x 2 x 5 1有两个相异的实数根 且一个大于 一个小于 分析 转化为判断函数f x x 2 x 5 在 和 内各有一个零点 解 考查函数f x x 2 x 5 有f 2 5 1f 2 2 2 2 5 1又因为f x 的图像是一条开口向上的抛物线 所以抛物线与横轴在 内有一个交点 在 内也有一个交点 所以方程 x 2 x 5 1有两个相异的实数根 且一个大于 一个小于 你能不能总结求函数零点有哪些方法 1 对于一些简单的函数可直接解方程 2 用函数零点的存在性定理判断根的存在 再利用我们下节课将要学习的 二分法 去求近似解 四 知能训练 课本p116练习第 题 4 判定方程4x3 x 15 0在 1 2 内实数解的存在性 并说明理由 解考虑函数f x 4x3 x 15 有f 1 100函数f x 4x3 x 15图像是连续曲线 所以函数f x 在区间 1 2 内有零点 即方程4x3 x 15 0在区间 1 2 内有实数解 五 归纳整理 整体认识 请同学们回顾本节课所学知识内容有哪些 所涉及到数学思想又有哪些 零点的概念及存在性的判断方法 体验从特殊到一般的认知规律 体会了化归转化 数形结合的数学思想方法 六 布置作业1 p119习题 a组第 题2 预习下一节 二分法 1 试判定方程x4 x2 2x 1 0在区间 0 2 内是否有实数解 并说明理由 解函数f x x