数学小论文(车辆的限长探究).doc

关于街道弯角处车辆的限长探究【摘要】 我们常常发现，在同一个街道拐弯口，不同的车通行的情况并不相同：有的车可以轻松通过，有的车却被“卡”在了拐角口。通过对这些车辆的对比分析发现，在宽相同时，车辆的长度越小，也就越容易通过相同角度的拐角。那么，街道的宽与它的车的长度之间有什么关系呢？由此我们开始了探究。【关键词】 车辆限长 街道拐角角度 街道两端宽度 中点【正文】一、缘起学校门前有一条曲折的小巷，是老师和同学们每天上放学的必经之路。自然，也就少不了私家车的踪迹。这天，我们放学回家之时，看到有一辆体型较长的车在拐角处无论如何也转不过去，而一些体型相对短小的车却能轻松通过。那么巷子的宽度对通过它的车的长度有什么要求呢？ 二、等宽直角模型假设图1首先，我们通过对现场路况的考察分析发现，小巷的拐弯处的地形可以简化地看成为图1，其中小巷两端的宽近似地认为是一样长，拐角处近似地看成是90。那么问题就转化为在这样一个L字形街道中，求一限宽长方形的长度最大值。联想：这个问题让我们联想到了另一道颇为熟悉的数学题目：图2如图2，AB表示一根长为2m的杆子原先斜靠在墙上的位置，CD表示这根杆子两端分别沿AO、OD方向滑动以后的位置，问杆子的中点P经过了多少距离。解析： 三角形斜边上的中线等于斜边的一半，连线的长度是不变的，并且等于杆长一半.可以得的P的轨迹就是以墙角为圆心，以杆长一半为半径作圆，即中点移动的距离等于弧PP类比：而对于这道问题的证明是相似的，如图3，设汽车ABCD长为a，宽为b，小巷宽为L.将靠墙的车身AB看作上题的杆AB，可以知道车子在转弯过程中点H的运动轨迹为圆O。做圆O的切线AB。在ABO中，OH是点O到圆弧的最大距离只要在这种情况下能使车辆通过，那么车辆便能安全转弯。此时ABO是等腰直角三角形.图3如图3，延长OH至M。此时M与街道转弯口F点重合。过 F作直线EGAB，从 F向OA做高，记垂足为N此时OEG是等腰直角三角形。易得OF=，等腰直角三角形OEG中O F=.L= a= 要使车辆与街道壁无摩擦并安全通行，则a .三、不等宽直角模型拓展可在实际生活中，街道并不总是一样宽的。那么此时巷子的宽度与通过它的车的长度的关系又是怎么样的呢？此时，如图4，延长OM至N，做MKFH，KHFH，交MK于K，设KH=，街道两端的宽分别为L，nL（n1，Lb）图4DGAB，MKOG，MPFQMFS是等腰直角三角形，PQ=MS=FS=KH有关系式：L+=nL-，即 =过M作MNOA 有MN=L= 此时a= （nL+L）-2ba （nL+L）-2b四、等宽圆弧模型拓展但事实上，我们发现，由于部分土地被房屋或是植物占据，街道拐角的形状并不总是直角，更多的是圆弧形。而此时街道的宽与车长之间的关系又是怎样的呢？如图5，连AF，则AF= =FQ，设现车道GAQBEF宽为L，原车道GOEF宽为L由题意可知此图形是沿FO对称的对称图形，OF= =FQ+QO图5OQ= -FQ= - L=L-OQ=L- -b+ L=L= -b+ 由此可得a关于L的代数式， L取不同的值时，皆有不同的a与其相对应。图6五、不等宽圆弧模型拓展如图6，此时街道拐角处的形状为不等宽的圆弧通道。由于此种情况在实际生活中较常见，因此，这里及下文中将将这种情况视作较普遍的一般情况来探究。综合第三、四块模型所得结论可得：KH=MJ=x，L=L+x ， L =L-x且=L=-b+ 由此可得一个a关于nL和L的关系式， n、L分别取不同的值时，均有不同的a与其相对应。六、实地应用通过对学校门口小巷的粗略测量，我们发现我们学校的车道两侧并不等宽，宽分别约3.22m、5.06m。即上文中L=3.22m，nL=5.06m。将L和nL的具体数值代入我们在第三块模型探究得到的a （nL+L）-2b。通过查阅资料得，基本上小轿车、面包车及卡车的宽b2m，公交车的宽b=2.5m。因为公交车并不开进学校门口的小巷，所以b=2.5m的情况我们暂不考虑。故这里的b取2m来计算。由此可得，a2.12.9m以一般公交车做例子，它的长宽分别约为13.7 m、2.5 m。公交车通过，L约6.6m以一般面包车做例子，它的长宽分别约为2m、1.2m。所以，要想面包车通过该道路，L 1.1根号21.6m另外，在第二、第四块模型的探究中我们发现，事实上，在AOB中，真正被利用的只有AOB与弓形AQBH的公共部分（如图5）。由此，我们可以得出，在最大能通过同一长度的街道拐角中，圆弧形的占地面积比直角形的更小。所以，在实际生活的应用中，运用圆弧型的拐角比应用直角形的成本更低，土地利用率也更高。八、探究后感悟事实上，探究后，我们还考虑了若车道拐角处为钝角的情况。我们发现，车道拐角处为钝角的情况与圆弧的情况是相似的，也即在OAB中，画最大弧AB，在OQ上找一点P，过P做弧的两条切线，它们切线所成的钝角即为所求。我们发现，当P越靠近Q，这个角就越大，那么考虑极限，当P与Q重合时，这个