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2 3数学归纳法 从前 有个小孩叫万百千 他开始上学识字 第一天先生教他个 一 字 第二天先生又教了个 二 字 第三天 他想先生一定是教 三 字了 并预先在纸上划了三横 果然这天教了个 三 字 于是他得了一个结论 四 一定是四横 五 一定是五横 以此类推 从此 他不再去上学 家长问他为何不去上学 他自豪地说 我都会了 家长要他写出自己的名字 万百千 写名字结果可想而知 万百千 的笑话 解 猜想 证明 对于数列 已知 求出数列前4项 你能得到什么猜想 回顾 再回顾一下课本上推导等差数列通项公式的过程 由此得出 以为首项 d为公差的等差数列的通项公式为 回顾 如何证明 讨论 多米诺骨牌游戏中 能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么 1 第一块骨牌倒下 2 任意相邻的两块骨牌 前一块倒下一定导致后一块倒下 只要保证 1 2 成立 那么所有的骨牌一定可以全部倒下 多米诺骨牌数学命题证明 目标每片骨牌倒下 要求 1 第一片要倒下 2 若前片倒下 则后片也倒下 结论由 1 2 知游戏成功 神奇的对比 每个n值都成立 1 n n0时要成立 2 若n k时成立则n k 1时也成立 由 1 2 知命题成立 多米诺骨牌游戏的原理 这个猜想的证明方法 1 第一块骨牌倒下 2 若第k块倒下 则相邻的第k 1块也倒下 根据 1 和 2 可知不论有多少块骨牌 都能全部倒下 1 当n 1时猜想成立 2 若当n k时猜想成立 即 则当n k 1时猜想也成立 即 根据 1 和 2 可知对任意的正整数n 猜想都成立 已知数列 一般地 证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 1 证明当n取第一个值n n0时命题成立 2 假设当n k k n k n0 时命题成立 证明当n k 1时命题也成立 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都正确 这种证明方法叫做数学归纳法 归纳奠基 归纳递推 新知 根据 1 2 可知对任意正整数n猜想都成立 证明 归纳奠基 归纳假设 凑结论 注意 两个步骤一结论 递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写明莫忘掉 数学归纳法的常见应用 1 证明等式 2 证明不等式 3 证明整除性 4 证明几何问题 典型例题 例 用数学归纳法证明 用数学归纳法证明 实战演练 上述证明过程符合数学归纳法的证明要求吗 为什么 即n k 1时 命题成立 根据 可知 对n n 等式成立 思考 下面是某同学用数学归纳法证明 当时 第二步证明中没有用到归纳假设 这不是数学归纳法 则当n k 1时 成立的过程 数学归纳法步骤 归纳奠基 归纳递推 注
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