人教A版选修21 3.2 第3课时　空间向量与空间角 学案.doc

第3课时空间向量与空间角1.会用向量法求线线、线面、面面的夹角.(重点、难点)2.正确区分向量夹角与所求线线角、面面角的关系.(易错点)基础初探教材整理空间角的向量求法阅读教材p106p110的内容，完成下列问题.角的分类向量求法范围两异面直线l1与l2所成的角设l1与l2的方向向量为a，b，则cos _直线l与平面所成的角设l的方向向量为a，平面的法向量为n，则sin _二面角l的平面角设平面，的法向量为n1，n2，则|cos |_0，【答案】|cosa，b|cosa，n| |cosn1，n2|已知向量m，n分别是直线l与平面的方向向量、法向量，若cosm，n，则l与所成的角为()a.30 b.60c.150d.120【解析】设l与所成的角为，则sin |cosm，n|，60，应选b.【答案】b小组合作型求异面直线所成的角如图3220，在三棱锥vabc中，顶点c在空间直角坐标系的原点处，顶点a，b，v分别在x轴、y轴、z轴上，d是线段ab的中点，且acbc2，vdc.当时，求异面直线ac与vd所成角的余弦值.图3220【精彩点拨】【自主解答】由于acbc2，d是ab的中点，所以c(0,0,0)，a(2,0,0)，b(0,2,0)，d(1,1,0).当时，在rtvcd中，cd，v(0,0, )，(2,0,0)，(1,1，)，cos，.异面直线ac与vd所成角的余弦值为.1.几何法求异面直线的夹角时，需要通过作平行线将异面直线的夹角转化为平面角，再解三角形来求解，过程相当复杂；用向量法求异面直线的夹角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，只需对相应向量进行运算即可.2.由于两异面直线夹角的范围是，而两向量夹角的范围是0，故应有cos |cos |，求解时要特别注意.再练一题1.在长方体abcda1b1c1d1中，已知dadc4，dd13，求异面直线a1b与b1c所成角的余弦值.【解】以d为坐标原点，分别以da，dc，dd1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则a1(4,0,3)，b(4,4,0)，b1(4,4,3)，c(0,4,0)，得(0,4，3)，(4,0，3).设与的夹角为，则cos ，故与的夹角的余弦值为，即异面直线a1b与b1c所成角的余弦值为.求线面角如图3221所示，三棱锥pabc中，pa平面abc，abac，paacab，n为ab上一点，ab4an，m，s分别为pb，bc的中点.图3221(1)证明：cmsn; 【导学号：37792141】(2)求sn与平面cmn所成角的大小.【精彩点拨】(1)怎样建立坐标系？(2)向量与满足什么关系时有cmsn成立？(3)的坐标是多少？平面cmn的一个法向量怎么求？与平面cmn的法向量的夹角就是sn与平面cmn所成的角吗？【自主解答】设pa1，以a为原点，射线ab，ac，ap分别为x轴，y轴，z轴正向建立空间直角坐标系(如图).则p(0,0,1)，c(0,1,0)，b(2,0,0)，又anab，m，s分别为pb，bc的中点，n，m，s，(1)证明：，0，因此cmsn.(2)，设a(x，y，z)为平面cmn的一个法向量，a0，a0.则取y1，得a(2,1，2).因为cosa，.a，.所以sn与平面cmn所成的角为.1.本题中直线的方向向量与平面的法向量a的夹角并不是所求线面角，它们的关系是sin |cos，a|.2.若直线l与平面的夹角为，利用法向量计算的步骤如下：再练一题2.设在直三棱柱abca1b1c1中，abacaa12，bac90，e，f依次为c1c，bc的中点.试求a1b与平面aef的夹角的正弦值. 【导学号：37792142】图3222【解】以a为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则a(0,0,0)，a1(0,0,2)，b(2,0,0)，e(0,2,1)，f(1,1,0)，所以(2,0，2)，(0,2,1)，(1,1,0).设平面aef的一个法向量为n(a，b，c)，由得令a1，可得n(1，1,2).设a1b与平面aef的夹角为，所以sin |cosn，|，即a1b与平面aef的夹角的正弦值为.探究共研型求二面角探究如何利用向量求二面角的大小？【提示】当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角.只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的.如图3223，直三棱柱abca1b1c1中，d，e分别是ab，bb1的中点，aa1accbab.图3223(1)证明：bc1平面a1cd；(2)求二面角da1ce的正弦值.【精彩点拨】(1)能否运用线面平行的判定定理求解？(2)如何建立空间直角坐标系，能确定平面da1c和平面a1ce的法向量，进而利用公式求出二面角的正弦值？【自主解答】(1)证明：连接ac1，交a1c于点f，则f为ac1的中点.又d是ab的中点，连接df，则bc1df.因为df平面a1cd，bc1平面a1cd，所以bc1平面a1cd.(2)由accbab，得acbc.以c为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系cxyz.设ca2，则d(1,1,0)，e(0,2,1)，a1(2,0,2)，(1,1,0)，(0,2,1)，(2,0,2).设n(x1，y1，z1)是平面a1cd的法向量，则即可取n(1，1，1).同理，设m(x2，y2，z2)是平面a1ce的法向量，则即可取m(2,1，2).从而cosn，m，故sinn，m.即二面角da1ce的正弦值为.用向量法求二面角的大小，可以避免作出二面角的平面角这一难点，转化为计算两半平面法向量的夹角问题，具体求解步骤如下：(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；(3)求两个法向量的夹角；(4)判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角；(5)确定二面角的大小.再练一题3.如图3224，在空间直角坐标系cxyz中，ab是半圆o的直径，acbc2，dceb，dceb，taneab，求二面角daeb的余弦值. 【导学号：37792116】图3224【解】由题可知ab4，taneab，可得cdeb1，d(0,0,1)，e(0,2，1)，a(2，0,0)，b(0，2，0)，则(2，2，0)，(0,0,1)，(2，0，1)，(0,2，0)，设平面dae的法向量为n1(x1，y1，z1)，则即y10，令x11，则z12，平面dae的一个法向量为n1(1,0,2).设平面abe的法向量为n2(x2，y2，z2)，则即z20，令x21，则y21，平面abe的一个法向量为n2(1,1,0)，cosn1，n2.由图可以判断二面角daeb为钝角，二面角daeb的余弦值为.1.在正方体abcda1b1c1d1中，e是c1c的中点，则直线be与平面b1bd所成的角的正弦值为()a. b.c.d.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则d(0,0,0)，b(2,2,0)，b1(2,2,2)，e(0,2,1).(2，2,0)，(0,0,2)，(2,0,1).设平面b1bd的法向量为n(x，y，z).n，n，令y1，则n(1,1,0).cosn，设直线be与平面b1bd所成角为，则sin |cosn，|.【答案】b2.如图3225，在正四棱柱abcda1b1c1d1中，aa12ab，则异面直线a1b与ad1所成角的余弦值为() 【导学号：37792143】图3225a. b. c. d.【解析】以d为坐标原点，da，dc，dd1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系dxyz(图略)，设ab1.则b(1,1,0)，a1(1,0,2)，a(1,0,0)，d1(0,0,2)，(0,1，2)，(1,0,2)，cos，异面直线a1b与ad1所成角的余弦值为.【答案】d3.在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为_.【解析】设a(0，1,3)，b(2,2,4)，则cosa，b，又因为两向量的夹角与二面角相等或互补，所以这个二面角的余弦值为.【答案】4.如图3226，在三棱锥pabq中，pb平面abq，babpbq，d，c，e，f分别是aq，bq，ap，bp的中点，aq2bd，pd与eq交于点g，pc与fq交于点h，连接gh.图3226(1)求证：abgh；(2)求二面角dghe的余弦值.【解】(1)证明：因为d，c，e，f分别是aq，bq，ap，bp的中点，所以efab，dcab，所以efdc.又因为ef平面pcd，dc平面pcd，所以ef平面pcd.又因为ef平面efq，平面efq平面pcdgh，所以efgh.又因为efab，所以abgh.(2)在abq中，aq2bd，addq，所以abq90.又因为pb平面abq，所以ba，bq，bp两两垂直.以点b为坐标原点，分别以ba，bq，bp所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设babpbq2，则e(1,0,1)，f(0,0,1)，q(0,2,0)，d(1,1,