人教B版选修11 第二章 2.2.2　双曲线的几何性质 学案.docx

2.2.2双曲线的几何性质学习目标1.了解双曲线的几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质知识点一双曲线的几何性质类比椭圆的几何性质，结合图象得到双曲线的几何性质如下表：标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xaya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标a1(a,0)，a2(a,0)a1(0，a)，a2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)知识点二双曲线的离心率思考1如何求双曲线的渐近线方程？答案将方程1(a0，b0)右边的“1”换成“0”，即由0得0，如图，作直线0，在双曲线1的各支向外延伸时，与两直线逐渐接近，把这两条直线叫做双曲线的渐近线思考2椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？答案双曲线1的各支向外延伸逐渐接近渐近线，所以双曲线的“张口”大小取决于的值，设e，则.当e的值逐渐增大时，的值增大，双曲线的“张口”逐渐增大梳理双曲线的半焦距c与实半轴a的比叫做双曲线的离心率，其取值范围是(1，)e越大，双曲线的开口越开阔(1)双曲线与椭圆都有离心率e，且其取值范围相同()(2)双曲线的离心率越大，双曲线的张口越大()(3)双曲线可以和它的渐近线无限靠近，但不可能相交()类型一双曲线的几何性质问题命题角度1已知双曲线的标准方程求其简单性质例1求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程考点双曲线的几何性质题点由双曲线方程研究几何性质解将9y24x236变形为1，即1，所以a3，b2，c，因此顶点坐标为(3,0)，(3,0)；焦点坐标为(，0)，(，0)；实轴长是2a6，虚轴长是2b4；离心率e；渐近线方程为yxx.反思与感悟由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值(3)由c2a2b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质跟踪训练1求双曲线9y216x2144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程考点双曲线的几何性质题点由双曲线方程研究几何性质解把方程9y216x2144化为标准方程1.由此可知，实半轴长a4，虚半轴长b3；c5，焦点坐标是(0，5)，(0,5)；离心率e；渐近线方程为yx.命题角度2由双曲线的几何性质确定标准方程例2求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)虚轴长为12，离心率为；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为yx；(3)求与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点m(2，2)的双曲线方程考点双曲线性质的应用题点由双曲线的几何性质求方程解(1)设双曲线的标准方程为1或1(a0，b0)由题意知2b12，且c2a2b2，b6，c10，a8.双曲线的标准方程为1或1.(2)设以yx为渐近线的双曲线方程为(0)当0时，a24，2a26，得；当0时，a29，2a26，得1.双曲线的标准方程为1或1.(3)设与双曲线y21有公共渐近线的双曲线方程为y2(0)将点m(2，2)代入双曲线方程，得(2)22，双曲线的标准方程为1.反思与感悟(1)求双曲线的标准方程的步骤：确定或分类讨论双曲线的焦点所在的坐标轴；设双曲线的标准方程；根据已知条件或几何性质列方程，求待定系数；求出a，b，写出方程(2)与双曲线1共焦点的双曲线方程可设为1(0，b20)，则c210k，b2c2a2k.设所求双曲线方程为1或1.将(3,9)代入，得k161，与k0矛盾，无解；将(3,9)代入，得k9.故所求双曲线方程为1.(3)方法一双曲线的渐近线方程为yx，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则.a(2，3)在双曲线上，1.联立，无解若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则.a(2，3)在双曲线上，1.联立，解得a28，b232.所求双曲线的标准方程为1.方法二由双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线方程为y2(0)a(2，3)在双曲线上，(3)2，即8.所求双曲线的标准方程为1.类型二与双曲线有关的离心率问题例3分别求适合下列条件的双曲线的离心率(1)双曲线的渐近线方程为yx；(2)双曲线1(0ab)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为c.考点双曲线的几何性质题点求双曲线的离心率解(1)若焦点在x轴上，则，e ；若焦点在y轴上，则，即，e .综上可知，双曲线的离心率为或.(2)依题意，直线l：bxayab0.由原点到l的距离为c，得c，即abc2，16a2b23(a2b2)2，即3b410a2b23a40，321030.解得或3.又0ab，3，e 2.反思与感悟求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a，b，c的关系式，再根据c2a2b2，直接求a，c的值而在解题时常把或视为整体，把关系式转化为关于或的方程，解方程求之，从而得到离心率的值在本题的(2)中，要注意条件0a0，b0)的两个焦点，pq是经过f1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果pf2q90，求双曲线的离心率考点双曲线的几何性质题点求双曲线的离心率解设f1(c,0)，将xc代入双曲线的方程得1，那么y；|pf1|.由双曲线对称性，知|pf2|qf2|.又pf2q90，|f1f2|pq|pf1|，2c，则b22ac.c22aca20，2210.即e22e10，e1或e1(舍去)所求双曲线的离心率为1.类型三直线与双曲线的位置关系例4已知直线yax1与双曲线3x2y21.(1)如果直线与双曲线有两个公共点，求a的取值范围；(2)如果直线与双曲线只有一个公共点，求a的取值范围；(3)如果直线与双曲线没有公共点，求a的取值范围考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线的位置关系解把yax1代入3x2y21，整理得(3a2)x22ax20.(1)直线与双曲线有两个公共点，判别式4a28(3a2)244a20，且3a20，得a且a.故当a或a或a0，直线与双曲线有两个公共点，相交；若0，直线与双曲线有一个公共点，相切；若0)与直线l：xy1相交于不同的两点a，b，求双曲线c的离心率e的取值范围考点直线与双曲线的位置关系题点求双曲线离心率的取值范围解将yx1代入双曲线y21(a0)中，得(1a2)x22a2x2a20.因为双曲线c与直线l相交于不同两点，所以解得0a且e.1双曲线2x2y28的实轴长是()a2 b2 c4 d4考点双曲线的几何性质题点由双曲线方程研究几何性质答案c解析双曲线的标准方程为1，故实轴长为4.2设双曲线1的渐近线方程为3x2y0，则a的值为()a4 b3 c2 d1考点双曲线性质的应用题点以离心率或渐近线为条件的简单问题答案a解析方程表示双曲线，a0，b0)2a8，a4，由e，得c5，b2c2a252429.此时双曲线的标准方程为1.当焦点在y轴上时，设双曲线标准方程为1(a0，b0)，同理可求得a4，b29.此时双曲线的标准方程为1.因此所求双曲线的标准方程为1或1.1渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程1(a0，b0)右边的常数“1”换为“0”，就是渐近线方程反之由渐近线方程axby0变为a2x2b2y2，再结合其他条件求得就可得双曲线方程2准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形.一、选择题1下列双曲线中，渐近线方程为y2x的是()ax21 b.y21cx21 d.y21考点双曲线性质的应用题点以离心率或渐近线为条件的简单问题答案a解析由双曲线渐近线方程的求法知，双曲线x21的渐近线方程为y2x，故选a.2双曲线1的焦点到渐近线的距离为()a2 b2c. d1考点双曲线的几何性质题点由双曲线方程研究几何性质答案a解析双曲线1的一个焦点为f(4,0)，其中一条渐近线方程为yx，点f(4,0)到xy0的距离为2.3已知中心在原点的双曲线c的右焦点为f(3,0)，离心率等于，则双曲线c的方程是()a.1 b.1c.1 d.1考点双曲线性质的应用题点由双曲线的几何性质求方程答案b解析依题意得，c3，e，所以a2，从而a24，b2c2a25，故选b.4直线ykx1与双曲线1有且只有一个交点，则k的值为()ak bkck或k dk考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线的位置关系答案c解析将直线方程代入双曲线方程，得(94k2)x28kx400.当94k20，即k时，直线与双曲线只有一个交点；当94k20，0时，k，此时直线与双曲线相切，只有一个公共点5若实数k满足0k5，则曲线1与曲线1的()a实半轴长相等 b虚半轴长相等c离心率相等 d焦距相等考点双曲线的几何性质题点由双曲线方程研究几何性质答案d解析因为0k0，mb0)的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形是()a锐角三角形 b直角三角形c钝角三角形 d等腰三角形考点双曲线的几何性质题点双曲线的焦点三角形答案b解析双曲线的离心率e1，椭圆的离心率e2，由e1e21，得(a2b2)(m2b2)a2m2，故a2b2m2，因此三角形为直角三角形7设f1，f2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，若双曲线上存在一点p使得|pf1|pf2|3b，|pf1|pf2|ab，则该双曲线的离心率为()a. b. c. d3考点双曲线的几何性质题点求双曲线的离心率答案b解析不妨设p为双曲线右支上一点，|pf1|r1，|pf2|r2.根据双曲线的定义，得r1r22a.又r1r23b，故r1，r2.又r1r2ab，所以ab，解得(负值舍去)故e ，故选b.二、填空题8与双曲线x21有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程是_考点双曲线性质的应用题点由双曲线的几何性质求方程答案1解析设所求双曲线方程为x2，将点(2,2)代入，可得3，双曲线方程为1.9已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线方程为yx，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为_考点双曲线性质的应用题点由双曲线的几何性质求方程答案1解析顶点(a,0)到渐近线的距离为1，1，解得a2.，b.双曲线方程为1.10已知双曲线1的一个焦点在圆x2y22x80上，则双曲线的渐近线方程为_考点双曲线的几何性质题点求渐近线方程答案yx解析由已知得一个焦点坐标为(4,0)，故双曲线方程为1，双曲线的渐近线方程为yx.11已知双曲线c：1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m的取值范围是_考点双曲线性质的应用题点以离心率或渐近线为条件的简单问题答案(4，)解析等轴双曲线的离心率为，且双曲线c的开口比等轴双曲线更开阔，双曲线c：1的离心率e，即2，m4.三、解答题12过双曲线的一个焦点f2作垂直于实轴的弦pq，点f1是另一个焦点，若pf1q90，求双曲线的离心率考点双曲线的几何性质题点求双曲线的离心率解设f1，f2分别是双曲线的左、右焦点，由题意知在焦点三角形f1pf2中，|pf1|2c，|pf2|2c，又|pf1|pf2|2a，故有e1.13已知双曲线的一条渐近线方程为xy0，且与椭圆x24y264有相同的焦距，求双曲线的标准方程考点双曲线性质的应用题点由双曲线的几何性质求方程解椭圆方程为1，可知椭圆的焦距为8.当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为1 (a0，b0)，解得双曲线的标准方程为1.当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为1 (a0，b0)，解得双曲线的标准方程为1.由可知，双曲线的标准方程为1或1.四、探究与拓展14已知f是双曲线1(a0，b0)的左焦点，点e是该双曲线的右顶点，过f且垂直于x轴的直线与双曲线交于a，b两点若abe是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是_考点双曲线的几何性质题点求双曲线离心率的取值范围答案(1,2)解析要使abe是锐角三角形，只需满足aeb为锐角又abe是等腰三角形，其中|ae|be|，所以只需满足aef45.在rtafe中，tanaef1，即c2ac2a20，两边同除以a