苏教版选修21 3.2.3空间的角的计算 学业分层测评.doc

2016-2017学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2.3 空间的角的计算学业分层测评 苏教版选修2-1 (建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1已知a(0,1,1)，b(2，1,0)，c(3,5,7)，d(1,2,4)，则直线ab与直线cd所成角的余弦值为_【解析】(2，2，1)，(2，3，3)，cos，直线ab，cd所成角的余弦值为.【答案】2在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别为a1b1，bb1的中点，则异面直线am与cn所成角的余弦值是_. 【导学号：09390088】【解析】依题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则a(1,0,0)，m，c(0,1,0)，n.，cos，故异面直线am与cn所成角的余弦值为.【答案】3已知点e，f分别在正方体abcda1b1c1d1的棱bb1，cc1上，且b1e2eb，cf2fc1，则平面aef与平面abc所成的二面角的正切值等于_【解析】如图，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1，平面abc的法向量为n1(0,0,1)，平面aef的法向量为n2(x，y，z)所以a(1,0,0)，e，f，所以，则即取x1，则y1，z3，故n2(1，1,3)，所以cosn1，n2，所以平面aef与平面abc所成的二面角的平面角满足cos ，sin ，所以tan .【答案】4已知正四棱柱abcda1b1c1d1中，aa12ab，则cd与平面bdc1所成角的正弦值等于_【解析】以d为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设aa12ab2，则d(0,0,0)，c(0,1,0)，b(1,1,0)，c1(0,1,2)，则(0,1,0)，(1,1,0)，(0,1,2)设平面bdc1的法向量为n(x，y，z)，则n，n，所以有令y2，得平面bdc1的一个法向量为n(2，2,1)设cd与平面bdc1所成的角为，则sin |cosn，|.【答案】5已知e，f分别是棱长为1的正方体abcda1b1c1d1的棱bc，cc1的中点，则截面aefd1与底面abcd所成二面角的余弦值是_【解析】以d为坐标原点，以da，dc，dd1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，则a(1,0,0)，e，f，d1(0,0,1)所以(1,0,1)，.设平面aefd1的法向量为n(x，y，z)，则取y1，则n(2,1,2)，而平面abcd的一个法向量为u(0,0,1)，cosn，u.【答案】6在正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别是棱长aa1和bb1的中点，则sinc，_.【解析】建立如图直角坐标系，设正方体的棱长为2.可知c(2，2,1)，(2,2，1)，cosc，sinc，.【答案】7. 如图3228，在四面体abcd中，ab1，ad2，bc3，cd2，abcdcb，则二面角abcd的大小为_图3228【解析】二面角abcd的大小等于ab与cd所成角的大小.，而22222|cos ，即1214922cos，cos，ab与cd所成角为，即二面角abcd的大小为.【答案】8在空间四边形oabc中，oboc，aobaoc，则cos，的值为_【解析】()|cos |cos |(|)0.cos，0.【答案】0二、解答题9如图3229，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，e为bd的中点，g为pd的中点，dabdcb，eaebab1，pa，连结ce并延长交ad于f.图3229(1)求证：ad平面cfg；(2)求平面bcp与平面dcp的夹角的余弦值【解】(1)证明：在abd中，因为e是bd中点，所以eaebedab1，故bad，abeaeb，因为dabdcb，所以eabecb，从而有fedbecaeb，所以fedfea，故efad，affd.因为pggd，所以fgpa.又pa平面abcd，所以gfad，故ad平面cfg.(2)以点a为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则a(0,0,0)，b(1,0,0)，c，d(0，0)，p，故，.设平面bcp的一个法向量n1(1，y1，z1)，则解得即n1.设平面dcp的一个法向量n2(1，y2，z2)，则解得即n2.从而平面bcp与平面dcp的夹角的余弦值为cos .10如图3230，在几何体abcde中，da平面eab，cbda，eaab，m是ec的中点，eadaab2cb.图3230(1)求证：dmeb；(2)求异面直线ab与ce所成角的余弦值；(3)求二面角mbda的余弦值【解】以直线ae，ab，ad为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系axyz，设cba，则a(0,0,0)，e(2a,0,0)，b(0,2a,0)，c(0,2a，a)，d(0,0,2a)，所以m，(1)证明：，(2a,2a,0)，a(2a)a2a00，即dmeb.(2)(0,2a,0)，(2a，2a，a)，设异面直线ab与ce所成的角为，则cos ，即异面直线ab与ce所成角的余弦值为.(3)da平面eab，ad平面dab，平面dab平面eab.ea平面eab，平面eab平面dabab，eaab.ea平面dab.(2a,0,0)是平面dab的一个法向量设平面mbd的一个法向量为n(x，y，z)，(0，2a,2a)，则即令za，则n，设二面角mbda的平面角为，则cos .即二面角mbda的余弦值为.能力提升1如图3231，在三棱锥vabc中，顶点c在空间直角坐标系的原点处，顶点a，b，v分别在x，y，z轴上，d是线段ab的中点，且acbc2，vdc.当时，则异面直线ac与vd所成角的余弦值是_图3231【解析】由于acbc2，d是ab的中点，所以c(0,0,0)，a(2,0,0)，b(0,2,0)，d(1,1,0)当时，在rtvcd中，cd，故v(0,0，)所以(2,0,0)，(1,1，)，所以cos，所以异面直线ac与vd所成角的余弦值为.【答案】2如图3232，在空间直角坐标系中有直三棱柱abca1b1c1，cacc12cb，则直线bc1与直线ab1夹角的余弦值为_. 【导学号：09390089】图3232【解析】不妨令cb1，则cacc12.可得o(0,0,0)，b(0,0,1)，c1(0,2,0)，a(2,0,0)，b1(0,2,1)，(0,2，1)，(2,2,1)，cos，0.与的夹角即为直线bc1与直线ab1的夹角，直线bc1与直线ab1夹角的余弦值为.【答案】3在三棱锥oabc中，三条棱oa，ob，oc两两垂直，且oaoboc，m是ab边的中点，则om与平面abc所成角的正切值是_【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，设oaoboc1，则a(1,0,0)，b(0,1,0)，c(0,0,1)，m，故(1，1,0)，(1,0,1)，.设平面abc的法向量为n(x，y，z)，则由得令x1，得n(1,1,1)故cosn，所以om与平面abc所成角的正弦值为，其正切值为.【答案】4如图3233，pa平面abc，acbc，bc，paac1，求二面角apbc的余弦值图3233【解】建立如图所示