人教A版必修2 第四章 圆与方程 章末复习 学案.docx

章末复习学习目标1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活、熟练运用待定系数法求解圆的方程，能解决直线与圆的综合问题，并学会运用数形结合的数学思想1圆的方程(1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2.(2)圆的一般方程：x2y2dxeyf0(d2e24f0)2点和圆的位置关系设点p(x0，y0)及圆的方程(xa)2(yb)2r2.(1)(x0a)2(y0b)2r2点p在圆外(2)(x0a)2(y0b)2r相离；dr相切；dr1r2dr1r2|r1r2|dr1r2d|r1r2|d0的前提下，可利用根与系数的关系求弦长(2)几何方法：若弦心距为d，圆半径为r，则弦长为l2.解决直线与圆相交问题时，常利用几何方法，即构造直角三角形，利用勾股定理，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，圆心和切点的连线垂直于切线跟踪训练2已知点p(0，5)及圆c：x2y24x12y240.(1)若直线l过点p，且被圆c截得的线段长为4，求l的方程；(2)求过点p的圆c的弦的中点的轨迹方程考点直线和圆的位置关系题点直线和圆的位置关系解(1)如图所示，|ab|4，设d是线段ab的中点，则cdab，|ad|2，|ac|4.在rtacd中，可得|cd|2.设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y5kx，即kxy50.由点c到直线ab的距离为2，得k，此时直线l的方程为3x4y200.又当直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x0，所求直线l的方程为x0或3x4y200.(2)设过点p的圆c的弦的中点为e(x，y)，则cepe，所以kcekpe1，即1，化简得所求轨迹方程为x2y22x11y300.类型三圆与圆的位置关系例3已知一个圆的圆心坐标为a(2，1)，且与圆x2y23x0相交于p1，p2两点，若点a到直线p1p2的距离为，求这个圆的方程考点圆与圆的位置关系题点已知圆与圆的位置关系，求参数的值或范围解设圆的方程为(x2)2(y1)2r2，即x2y24x2y5r20，所以直线p1p2的方程为x2y5r20.由已知得，解得r26.故所求圆的方程是(x2)2(y1)26.反思与感悟(1)当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法若圆c1：x2y2d1xe1yf10与圆c2：x2y2d2xe2yf20相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(d1d2)x(e1e2)yf1f20.(2)公共弦长的求法代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解跟踪训练3已知两圆(x1)2(y1)2r2和(x2)2(y2)2r2相交于p，q两点，若点p的坐标为(1，2)，则点q的坐标为_考点圆与圆的位置关系题点已知圆与圆的位置关系，求参数的值或范围答案(2，1)解析两圆的圆心坐标分别为o1(1，1)和o2(2，2)，由平面几何知，直线o1o2垂直平分线段pq，则kpq1，kpq1.直线pq的方程为y2x1，即yx1.由点p(1，2)在圆(x1)2(y1)2r2上，可得r，联立解得或q(2，1)类型四圆中的最值问题例4圆x2y22ax2ay2a210与x2y22bx2by2b220的公共弦长的最大值为()a2 b2c. d1考点与圆有关的最值问题题点与圆的几何性质有关的最值答案b解析由题意得，两圆的标准方程分别为(xa)2(ya)21和(xb)2(yb)22，两圆的圆心坐标分别为(a，a)，(b，b)，半径分别为1，则当公共弦为圆(xa)2(ya)21的直径时，公共弦长最大，最大值为2.反思与感悟与圆有关的最值问题包括(1)求圆o上一点到圆外一点p的最大距离、最小距离：dmax|op|r，dmin|op|r|.(2)求圆上的点到某条直线的最大、最小距离：设圆心到直线的距离为m，则dmaxmr，dmin|mr|.(3)已知点的运动轨迹是(xa)2(yb)2r2，求；x2y2等式子的最值，一般是运用几何法求解跟踪训练4已知p是直线3x4y80上的动点，pa，pb是圆x2y22x2y10的两条切线，a，b是切点，c是圆心，那么四边形pacb的面积的最小值为_考点与圆有关的最值问题题点与面积有关的最值答案2解析圆x2y22x2y10的圆心为c(1，1)，半径为1，由题意知，当圆心c到点p的距离最小，即为圆心到直线的距离最小时，四边形的面积最小，由圆心到直线的距离d3，|pa|pb|2，s四边形pacb2|pa|r2.1以点(3，4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是()a(x3)2(y4)216b(x3)2(y4)216c(x3)2(y4)29d(x3)2(y4)29考点圆的标准方程题点求与某直线相切的圆的标准方程答案b2若过点p(，1)的直线l与圆x2y21有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是()a030 b060c030 d060考点直线与圆的位置关系题点已知直线与圆的位置关系，求参数的值或范围答案d解析设l：y1k(x)，即kxyk10，圆心(0，0)到直线l的距离为d1，解得0k，即0tan ，060.3两圆x2y26x16y480与x2y24x8y440的公切线的条数为()a4 b3 c2 d1考点圆与圆的位置关系题点两圆的位置关系与其公切线答案c解析两圆的标准方程分别为(x3)2(y8)2121；(x2)2(y4)264，则两圆的圆心与半径分别为c1(3，8)，r111；c2(2，4)，r28.圆心距为|c1c2|13.r1r2|c1c2|r1r2，两圆相交，则公切线共2条4一个圆与y轴相切，圆心在直线x3y0上，且在直线yx上截得的弦长为2，则该圆的方程为_答案x2y26x2y10或x2y26x2y10解析方法一所求圆的圆心在直线x3y0上，设所求圆的圆心为(3a，a)，又所求圆与y轴相切，半径r3|a|，又所求圆在直线yx上截得的弦长为2，圆心(3a，a)到直线yx的距离d，d2()2r2，即2a279a2，a1.故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29，即x2y26x2y10或x2y26x2y10.方法二设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2，则圆心(a，b)到直线yx的距离为，r27，即2r2(ab)214.由于所求圆与y轴相切，r2a2，又所求圆的圆心在直线x3y0上，a3b0，联立，解得或故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29，即x2y26x2y10或x2y26x2y10.方法三设所求圆的方程为x2y2dxeyf0，则圆心坐标为，半径r.在圆的方程中，令x0，得y2eyf0.由于所求圆与y轴相切，0，则e24f.圆心到直线yx的距离为d，由已知得d2()2r2，即(de)2562(d2e24f)又圆心在直线x3y0上，d3e0.联立，解得或故所求圆的方程为x2y26x2y10或x2y26x2y10.5已知直线xmy30和圆x2y26x50.(1)当直线与圆相切时，求实数m的值；(2)当直线与圆相交，且所得弦长为时，求实数m的值考点直线和圆的位置关系题点直线和圆的位置关系解(1)因为圆x2y26x50可化为(x3)2y24，所以圆心坐标为(3，0)因为直线xmy30与圆相切，所以2，解得m2.(2)圆心(3，0)到直线xmy30的距离为d.由2 ，得22m220m2160，即m29.故m3.圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质那么，经常使用的几何性质有(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理(3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角一、选择题1已知圆c与直线xy0和xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆c的方程为()a(x1)2(y1)22b(x1)2(y1)22c(x1)2(y1)22d(x1)2(y1)22考点圆的切线问题题点求圆的切线方程答案b2在平面直角坐标系xoy中，已知圆x2y24上有且只有四个点到直线12x5yc0的距离为1，则实数c的取值范围是()a(13，13)b13，13c(，13)(13，)d(，1313，)考点直线与圆的位置关系题点已知直线与圆的位置关系，求参数的值或范围答案a解析由题设得，若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0，0)到直线的距离d满足0d1.d，0|c|13，即c(13，13)3已知圆o1的方程为x2y24，圆o2的方程为(xa)2y21，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是()a1，1b3，3c1，1，3，3d5，5，3，3考点圆与圆的位置关系题点已知圆与圆的位置关系求参数的值或范围答案c解析两个圆有且只有一个公共点，两个圆内切或外切，当两圆内切时，|a|1，当两圆外切时，|a|3，实数a的取值集合是1，1，3，3，故选c.4设a(1，1，2)，b(3，2，8)，c(0，1，0)，则线段ab的中点p到点c的距离为()a. b. c. d.考点空间两点间的距离公式题点空间两点间的距离的计算答案d解析利用中点坐标公式，得点p的坐标为，由空间两点间的距离公式，得|pc|.5已知圆心为(2，0)的圆c与直线yx相切，则切点到原点的距离为()a1 b. c2 d.考点圆的切线问题题点圆的切线长问题答案b解析如图，设圆心为c，切点为a，圆的半径为r，|oc|2，切点到原点的距离为.故选b.6直线xy20截圆x2y24所得的劣弧所对的圆心角为()a30 b45 c60 d90考点直线和圆的位置关系题点直线和圆的位置关系答案c解析设直线与圆相交于a，b两点，过o作ocab，垂足为点c，由圆的方程x2y24，得圆心o的坐标为(0，0)，半径为r2.圆心到直线xy20的距离为d|oc|，直线被圆截得的弦长为|ab|22，aob为等边三角形，即aob60，直线被圆截得的劣弧所对的圆心角为60，故选c.7已知直线l：kxy20(kr)是圆c：x2y26x2y90的对称轴，过点a(0，k)作圆c的一条切线，切点为b，则线段ab的长为()a2 b2c3 d2考点圆的切线问题题点圆的切线长问题答案d解析由圆c：x2y26x2y90，得(x3)2(y1)21，表示以c(3，1)为圆心，1为半径的圆由题意可得直线l：kxy20经过圆c的圆心(3，1)，故有3k120，得k1，则点a(0，1)，即|ac|，则|ab| 2，故选d.二、填空题8以正方体abcda1b1c1d1的棱ab，ad，aa1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为1，则棱cc1的中点坐标为_考点空间中点的对称问题题点中点坐标公式及其应用答案解析画出图形(图略)即知cc1的中点坐标为.9若两圆x2(y1)21和(x1)2y2r2相交，则正数r的取值范围是_考点圆与圆的位置关系题点已知圆与圆的位置关系求参数的值或范围答案(1，1)解析两圆x2(y1)21和(x1)2y2r2相交，圆x2(y1)21的半径和圆心分别是1，(0，1)，圆(x1)2y2r2的半径和圆心分别是r，(1，0)，两个圆的圆心的距离大于两个圆的半径之差的绝对值，小于两个圆的半径之和，即|r1|r1，r1r1，r(1，1)，即正数r的取值范围是(1，1)10已知在平面直角坐标系xoy中，过点(1，0)的直线l与直线xy10垂直，且l与圆c：x2y22y3交于a，b两点，则oab的面积为_考点圆的弦长问题题点直线和圆位置关系的综合问题答案1解析直线l的方程为y(x1)，即xy10.又由圆c：x2y22y3，得x2(y1)24，圆心c(0，1)到l的距离为d，|ab|222，又原点o到l的距离为，soab21.11设圆c同时满足三个条件：过原点；圆心在直线yx上；截y轴所得的弦长为4，则圆c的方程是_考点求圆的方程题点求圆的方程答案(x2)2(y2)28或(x2)2(y2)28解析由题意可设圆心c(a，a)，如图，得22222a2，解得a2，r28.所以圆c的方程是(x2)2(y2)28或(x2)2(y2)28.三、解答题12如图，已知以点a(1，2)为圆心的圆与直线l1：x2y70相切过点b(2，0)的动直线l与圆a交于m，n两点(1)求圆a的方程；(2)当|mn|2时，求直线l的方程考点直线和圆的位置关系题点直线和圆的位置关系解(1)由题意知，a(1，2)到直线x2y70的距离为圆a的半径r，r2，圆a的方程为(x1)2(y2)220.(2)设mn的中点为q，连接qa，则由垂径定理可知mqa90，且|mq|，在rtamq中，由勾股定理知，|aq|1，当动直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x2，显然符合题意，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x2)，即kxy2k0.1，得k，直线l：3x4y60.综上，直线l的方程为x2或3x4y60.13已知圆c1：x2y22x2y80与圆c2：x2y22x10y240相交于a，b两点(1)求公共弦ab所在的直线方程；(2)求圆心在直线yx上，且经过a，b两点的圆的方程；(3)求经过a，b两点且面积最小的圆的方程考点与圆有关的最值问题题点与面积有关的最值解(1)由得x2y40.圆c1：x2y22x2y80与圆c2：x2y22x10y240的公共弦ab所在的直线方程为x2y40.(2)由(1)得x2y4，代入x2y22x2y80中，得y22y0，或即a(4，0)，b(0，2)又圆心在直线yx上，设圆心为m(x，x)，则|ma|mb|，即