促进学生图式表征解决问题能力的策略研究.doc

促进学生图式表征解决问题能力的策略研究 【内容摘要】目前关于指导低段学生运用图式表征解决问题的研究，很少围绕学生在图式过程中遇到的难点展开。笔者就此作为切入点，在对人教版（1-4册）、新思维数学（1-4册）、美国加州小学数学课本（1-2年级）三者比较后，提出以板块图解、补充图式、改造习题三条措施对人教版教材进行图式化处理，为具体指导提供素材；再从学生图式表征的难点入手，提出调整图式类型、化解图式难点、显性图式过程、进行图式统摄四条措施进行图式精细化指导，经过三年的研究取得了不错的成效。【关键词】 图式 图式表征 图式表征问题 低段学生 一、问题提出很多教师在问题解决的教学中，都会用图式（线段图、几何图、结构图等）来简化结构，分析数量关系，寻找问题解决的路径。我们习惯将这种方法称为数形结合法或画图法，它是个人运用图式表征解决问题的外在表现。研究表明个人拥有图式数量的多少与品质的优劣，将决定其解决问题能力的强弱。因此，我们可以通过丰富学生图式数量，完善学生图式品质，来提高学生问题解决的能力。 目前，我们所使用的人教版教材采用了大量的主题图，学生可以积累丰富的图式经验；并且教材还对画图策略进行了单独介绍，学生有机会提升其图式品质。但是学生运用图式表征解决问题的能力，在这样的背景下又处于怎样的水平？我们来看以下一组数据：年级题目正确率三年级25%四年级245%五年级第题16.7%六年级18.1% 图1 09年第一学期3-6年级区统测部分试题及其正确率 数据反应出三到六年级的学生，在运用图式表征解决问题的能力上普遍比较薄弱，而这些弱点集中表现在三个方面： （一）无从下手 多数学生已经习惯于用定理、规则解决那些熟悉的问题，而不善于对付那些需要自己寻找策略加以解决的题目。以三年级试题为例： 对于这样的题型平时就很少见到，好多学生不知道题目中的长方形究竟有什么用，更不清楚怎样在长方形上表示出欢欢花钱的过程，因此有不少学生是把题目空着不会解。 （二）图不对文在为数不多的用图式解决问题的试卷中，笔者发现有些学生画的图与题目并不符合，以四年级另一试题为例：丁丁用玩具小人摆了一个方阵，最外层每边12个，最外层最少有多少人？（可以画图）很多学生根据“每边12个”的信息，把图画成这样： 12人 12人 12人 12人得到“48”这个答案，显然这样的图只考虑到了条件中的信息，却忽视了问题中的信息。到底怎么样画图，才能使图与题意相符合，这恐怕是很多学生不清楚的地方。 （三）图不对式 除此以外，还存在算式与图不符合的现象。以六年级试题为例： 学生用图表示出了“把长方体正好锯成两块立方体”的意思，但他们却未能通过图发现两者表面积之间的联系。而根据直觉写出N2的算式，这样的学生比比皆是。可见，运用图式表征解决问题是一个相当复杂的过程，无论是从文到图还是从图再到式，其中有一步出现问题就会导致策略使用的无效。因此，笔者认为有效的指导应该从学生图式的难点处入手。然而就目前学生运用图式表征解决问题的现状来看，我们还是存在很多的误区与不足，究其原因主要有以下两点。 二、原因分析 （一）教材层面 笔者在研究中，先后将人教版教材（1-4册）与新思维数学读本（1-4册），以及美国加州小学数学课本（1-2年级）进行了对比，进而发现人教版教材在图式表征方法的编排上存在以下不足。 1.缺少图式训练的针对性在对人教版教材与新思维数学读本的比较中，笔者发现新思维数学读本，有针对学生图式难点进行编排（见下图），而人教版教材却没有这样的编排。类型例子作用一上专项编排了看式选图的训练建立图式双向互通渠道一上以看统计图训练看条形线段图的训练打通两种图式间的联系，将统计、数与代数、几何与图形领域的知识融合起来。一上重视点、线的图式与代数式间的对应训练进行数型结合思想的渗透一下以数学百花园形式，介绍古今图式表征类型丰富学生图式类型，积累图式表征的感性经验。二上对例题解决补充图式，训练学生图文对应的能力建立图文双向互通渠道二下对习题补充看图填问题的训练建立图文双向互通渠道 2缺失解题过程的完整性在对人教版教材与美国加州小学数学课本比较中，笔者发现美国教材在编写每个解决问题时，都分理解题意（可以用图式等方法）、制定计划、解决问题、回顾检查四个步骤展开，这对于教学经验尚浅的新教师和年轻教师，以及训练学生解题完整性上都有指导价值，而这也是人教版教材中所没有的：特点例子介绍解题过程步骤明确美国加州小学数学课本在解决问题都安排了：理解题意、制定计划、解决问题、回顾检查四个环节，使解题过程更具条理性和逻辑性。步骤中有图式表征的要求除了有四个环节之外，教材要求学生用画图方法尝试解决，使之成为问题解决过程的一部分。 （二）教师层面 1教师认识上的误区 人教版教材把画图策略放在四下“数学广角”单元进行教学，部分低段和高段的老师认为教材中没有出现这个内容，就不需要教，等出现了再教也不迟；部分四年级老师认为，教材编几课时我就上几课时，上完就可以了。因此我们看到在整个小学阶段，对图式表征能力的指导其实是不连续的、流于表面的。这也导致很多学生不会用图式简化题目，寻找数量关系，解决问题。 2教师指导上的不足笔者在对目前关于指导低段学生图式表征研究的文献综述时，发现大量的研究侧重于以下三点：（1） 在运用画图策略解决问题过程中，让学生体会到画图策略具有简化题意、理清数量关系的功能，从而激发学生尝试画图的动机与兴趣；（2） 在对学生进行画图策略指导的过程中，注重用操作活动去促进学生建立表象，并借助表象来画图解题；（3） 鼓励学生个性化画图，并在对学生画图作品的比较中，总结经验提炼方法。 笔者感到这些切入点都没有真正围绕学生图式的难点进行展开，因而由此提出的指导策略也不具备很强的操作性和可复制性。就此我们在培养低段学生图式表征解决问题的能力上，陷入了两难境地：一方面是教材缺少针对性的图式训练与完整的解题过程；另一方面是他人成果不具备可操作性。对此笔者展开了为期三年的研究，通过教材处理和图式指导两条路径，探寻促进学生图式表征解决问题能力的培养策略。 三、策略 （一）教材处理图式化在教材处理上，笔者大胆借鉴新思维数学对图式编排的优势，以及美国加州小学数学课本在解题完整性上的编排，通过板块图解、补充图式、改造习题的措施，让学生在使用人教版教材学习时，也能积累丰富的图式经验，提升自身的图式品质，养成条理清晰、过程完整的解题思路。 1板块图解，整体把握笔者对人教版一上和二上教材进行了板块图解，在每一个板块中我都会根据问题的类型整体添加相应的图式，通过图式间的递进关系，以达到丰富学生图式的目的。一上图式问题板块图解如下：类型例题图式目标一图一式 ？ 指导学生用三句话表述图意；去除情境补充几何图 和 学会看图写式；根据几何图学会编新的数学问题并解决，对方法回顾。一图二式在学生熟练表述图意，看图写式的基础上，提供图式进一步引导学生感受两式间的联系与区别； 引导学生结合上图编数学问题并解决，对方法回顾。一图四式 在学生对一图中的两式形成认识的基础上，提供可抽拉的图式： ，建立图、文、式三者的对应。选自钱怡撰写的优化多元表征在“一图四式”教学中的运用，该文在江干区2011年数学疑难问题案例评比中获三等奖。二上教材板块图解如下：选自钱怡撰写的定向 操作 缩减 内化，该文在江干区第九届教学专题论文评比中获一等奖。单元可以添加图式的内容使用图式表征的优势第一单元长度单位；第二单元100以内的加法和减法；第四单元角的初步认识；第八单元排列组合握手问题数线段、数角、搭配买物品算价格，其问题原型就是握手问题。通过图式表征可以清楚地反应学生有序思考的过程，对能力弱的学生，有助于其理解过程，掌握方法；对能力强的学生，可以进步提出要求形成算式。第四单元表内乘法（一）乘法的意义的建立通过图式表征，有助于学生对加法与乘法概念的比较与沟通，从而增强学生解决实际问题的能力。第五单元观察物体画出镜子里的你镜面中的左右与一下学习的左右的相对性很容易混淆，但可以通过让学生画镜中自己左右手各拿什么物品的方法进行加强。从而正确区别两个相似概念。第六单元表内乘法（二）倍的初步认识教材首次出现线段图，需要增加一节课让学生体会使用线段图的优势，并对上面的线段的形成过程进行介绍。第七单元统计统计图的制作通过引导学生观察同一组数据,在“以一当1、以一当2、以一当5”中图式的变化，得出纵轴数据的取值要符合实际需要的思考。第九单元复习植树问题用图式发现问题中隐含的条件，打破常规题的思维。 经过这样系统整理之后，教师就很明确在一上、二上教学时，需要在单元教学中增加哪些图式内容，它们有何作用，可以增加哪些类型，从而减少选图的盲目性与随意性。 2.完善教材，补充图式 （1）补充图式分析例题题意借鉴新思维数学教材对某些例题补充图式的特点，笔者对人教版教材也进行了补充。内容新思维数学人教版退位减法（二）8?36补充图式比较两个数的多少（一）人教版教材用一幅主题图解决多与少两个正向思考问题，除了补充新思维数学中的条形线段图之外，还补充对比了逆向思考的问题,也以条形线段图方式分析题意。 比较两个数的多少（二） （2）补充图式完善习题类型在对新思维数学与人教版的比较中，笔者也发现两种教材在对某些习题的选择上，存在各取了一边的现象。比如“求原来“的问题。人教版选择了正向思考的问题： 新思维数学选择了逆向思考的问题： 笔者的处理是给人教版习题补充条形线段图之后，再补充逆向思考问题的图式： （原来 ？架） （现在 78册） (停了18架) (飞走了 7架 ) (原来？册) (新买 36册 )通过打破学生原有固定的图式表征类型，建立新的图式表征库，来促进学生看图思意的能力。 3改造习题，图式表征教材的习题多数为良构问题，因此很难有运用图式表征加以解决的机会。但是有些习题完全可以通过改造，不仅使其具备原来的解题功能，而且还能促进学生对图式表征方法的运用。比如二下第62页第7题练习 选自2010年第10期教学月刊中练习题的合理改造 钱怡 ： 我将其改造成这样： 改变后的习题成了一道非良构问题，其对图式表征使用依赖性被增强，从而有效激发学生运用图式表征解决问题的动机，也为教师进行图式指导提供了一次绝佳的机会。 （二）图式指导精细化教材图式化一方面是为了简化题目、分析题意、便于从中寻找数量关系正确解题，另一方面则是为教师指导学生看图、想图、仿图、用图创造机会，使教师有机会引导学生比较不同图式的优劣点，统一图式类型；有机会对图式表征的难点进行专项训练，促使表征能力提高；有机会把图式过程外显化，让不同水平的学生得到不同的发展；也有机会指导学生借助图式解决类型一致的问题，用图式统摄问题。 1根据数的大小调整图式类型从一上认识20以内的数，到一下认识100以内的数，再到二下认识万以内的数，随着学生学习数的概念的不断扩大，画图时再也不能像一上那样用实物或图形的个数表示题目中的大数。因此在指导中，笔者根据数的大小，及时做好图式类型调整和指导。年级可选择的图式指导方法一上几何图或者点子图36 ？在教学主题图时，引入 几何图，指导学生看几何图编数学问题，并进行解决，用几何图来建模加法的意义并总结。 一下条形线段图8?在教学中，引入 条形线段图，通过图分析题意，找出各部分之间的关系，进行解决，再根据条形线段图编数学问题，对问题进行建模，回顾思考过程和答案检查。二下线段图补充一节线段图引入课，以揭示其图式的优势，并尝试用线段图表示问题。【课例片段】环节一展现线段图的抽象过程。设计目标：通过学生已有的图式类型经验，让学生在经历图式逐步由实物抽象为线段的过程中，感受用线段图表示的优势。问题一：可以用什么符号来表示“3只小鸟”？学生作品按具体到抽象的过程进行呈现： 实物图 画了3只小鸟 几何图 点子图 三个圆点 线段图问题二：那么“自行车比小汽车多2辆”，你可以用怎样的符号来表示？ 实物图 上面一行为自行车 ，下面一行为汽车 几何图 用同一图形分别表示汽车和自行车 用不同图式分别表示汽车和自行车 线段图问题三：你认为哪种符号来表示更好？（突出线段的优势表示更多的数量，更简洁）环节二：练习，认识线段图。练习一：请用线段图表示下列生活语言 鸡和鸭一共50只练习二：请用语言陈述下列线段图所表示的意义 鸡 鸭 2结合专项训练化解图式难点学生在运用图式表征解决问题时遇到最大的障碍，就是图不对文和图不对式，因此在指导中一定要时时关注对这两个难点的突破。笔者采取两条途径： （1）以对比图式，沟通图文双向渠道 图不对文主要在于个人对字意理解上的差异，比如有的学生不能结合具体情境，就简单将“多”字认为是加法，将“少”字认为是减法，产生望“字”生意的现象。所以笔者通过对比图式的方式，训练学生图文互通的能力。比如在二上加减混合运算的问题解决中，学生学习教材例题会产生“上”就是加，“下”就是减的思维定势。就需要及时增加对比图式训练，以提高学生图文对应的能力。 【指导案例1】商场二楼原来有73人。 三楼 上去13人 下去8人 二楼现在二楼有多少人？商场二楼原来有73人。 二楼 上去13人 下去8人 一楼现在二楼有多少人？由题目教师提供两幅图，让学生结合题目进行选择，理清每个问题中二楼人数变化的情况：（ ）8人（ ）13人图1： 二楼原来73人 现在？人（ ）8人（ ）13人图2： 二楼原来73人现在？人再补充问题1的另一种情况的图式，与图2进行比较：多8人少13人图3： 二楼原来73人 现在？人多13人少8人图2： 二楼原来73人现在？人引导学生观察图与图之间的异同点，进而沟通两题间的联系，最后回顾问题解决的过程，提炼解题的方法。通过观文思图，观图思文、图图对比的训练，有效扭转了学生关注字面意思，忽视数量关系的解题定势，从而提高学生图文合一、触类旁通的能力。 （2）以对比题组，沟通图式双向渠道 教材提供的图式问题都是图、文、式三者互相对应的，因此学生很容易忽视运用图中数据进行算式表达，从而产生图不对式的现象。笔者在这方面指导时，采取对比题组的方式，通过引导学生对两幅图与式的比较，来训练学生从图中寻找数据与数量关系，建立算式的能力。【指导案例2】对比题组：从前数我排第9个，从后数我排第5个 学生图式分别为： 9个 1个 5个 8个 1个 4个 算式：9+1+5=15（人） 9+5=14（人）、9+1+5=15（人）、8+1+4=13（人） 去掉主题图，对学生图式进行比较，发现算式的数字必须与图中的数字统一起来。进一步追问：为什么第一题的算式都用到了9和5，第二题的算式都没用到？这个“9”和“5“藏在图的那里，你能表示出来？进一步图式： 9个 5个 8个 1个 4个通过观图得到另一种算式表达：9+5-1=13（人），追问为什么这里是减去1个人，而第一题则是加上1个人？让学生感受到两题间的本质差异，最后回顾解题过程，思考图式表征解决问题时需要注意哪些问题。经过类似训练后，学生对图上数据的敏感性会加强，也能有效减少学生图式分离的现象，将图式过程的条理性和逻辑性凸显出来。 3通过出声言语显性图式过程 因为语言是思维的外衣，因此笔者在运用图式表征分析题意时，都会用语言把图式过程的每一步进行讲解；在让学生互评图式时，也会让学生先猜测一下该图式每一部分表示的意思，再对比题目是否都将其反应出来；在让学生介绍图式过程时，也要求学生用语言说清自己所画的图式，每一步是怎么思考的，为什么要怎么画，而不是那么画。 【指导案例3】 比如在期末复习阶段，笔者把08年江干区第三册数学期末卷里的一道题目改编如下：5个小朋友手拉手一共有几只手拉在一起？学生产生了两类图式：产生了两种算式： 24=8(只) 25=10(只) 当时学生就为这两种图式争论不休，于是我让学生逐图去猜测画图者的想法，再让画图者自己来介绍思考过程，以此发现两幅图都符合题目的意思，只是队形有差异。为了进一步沟通两个图式之间的联系，我在第一幅图上加了一笔：这下全班都惊呼起来：看，老师把第一幅图变成了第二幅图；呀，有多了两只手拉在一起；要是把第二幅图改一下，也可以变成第一幅图；对啊，那样就少了两只手。学生不断表达着自己的想法，把对原题的肤浅认识逐渐上升到，对解决问题方法之间的沟通与融合。因此在指导学生运用图式表征解决问题的过程中，一定以出声言语将图式过程表述出来，让原来隐形化的过程显性出来。 4集中解决问题进行图式统摄二上的数线段、数角、用搭配解决问题、握手问题都属于同类问题，在教学这些问题时笔者并不是逐一教学，而是将它们都统一到握手问题上，通过用一种图式，指导学生解决同类问题。【指导案例4】出示：三人握手，每两人之间握一次，一共握了几次？ 操作演示，经历由无序到有序握手的过程。回想、表述，在头脑中回放有序握手过程。结合语言，展现图式：这是老大、老二和老三（板：画了三个颜色不同的），互相握手来道别，老大先握老二手（板：在老大和老二之间加一条线），老大再握老三手（板：在老大和老三之间加了一条线）