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数学最后总结范文 临考(模型切记）立体几何建系及二面角如图，以O为坐标原点，以OA,OB,1OA所在直线分别为,x yz轴建立空间直角坐标系,则O(0，0，0),A(3，0，0),1A(0，0，3),C(0，3?，0)可得11(3,=?3,0),(3,0,3),=?(0,0,3)ACAAOA=?设平面1ACA的法向量为(,)x yzn=?，则100n AC?n AA=?故33030,330xyxyxzxz?+=+=即令1,x=则3,1yz=?=故(1,3,1)n=?是平面1ACA的一个法向量9分1OAABC?=(0,0,3)是平面的一个法向量10分所以11135cos,553n OA?n OAnOA?=?由图可知所求二面角为锐角，所以二面角1AACB?的余弦值为5512分三角函数注意规范简洁19.函数)2|,0)(sin()(?+=xxf的部分图象如图示，将y=f(x)的图象向右平移4个单位后得到函数y=f(x)的图象.(I)求函数y=g(x)的解析式；(II)已知ABC中三个内角A，B，C的对边分别为a,b，c，且满足)122(+Ag+)122(+Bg26sinAsinaB,且C=32=4+126?+=，c=3，求ABC的面积.19解（）由图知（），解得=2再由()sin (2)11212f=?得2(Z)6?2kk?+=+，即2(Z)3kk?=+由22?，得3?=()sin (2)3f xx=+()sin2()sin (2)4436f xxx?=?+=，即函数y=g(x)的解析式为g(x)=sin (2)6x?6分（）由已知化简得sina=sin26sinsinABAB+3=2sinsinsinsin3bcRABC=(R为ABC的外接圆半径)，223R=，sinA=2aaR，sinB=2bR262222babRRR2-2abcosC，2-3abR+=?，即2abab+=由余弦定理，c即9=a2=a2+b2+b2-ab=(a+b)联立可得2(ab)2-3ab-9=0，解得ab=3或ab=23?(舍去)，故ABC的面积SABC=133sin24abC=12分16.已知函数2()f xcos()cos()3xmx mR=?的图象过3(0,)2p?，且ABC?内角A、B、C所对应边分别为,a bc，若3()f B,26,32ac=?=（）求m的值及()f x的单调递增区间（）求ABC?的面积。 16.（本小题满分12分）解（）213 (0)cos()322fmm=?=?=?1m=2分2123()f xcos()coscossincos32xxxxx=?=?+?332sincos3sin()23xxx?=?=4分22232kxk?+()kz52266kxk?+()kz6分()f x的单调递减增区间为52,266kk?+()kz7分（）3()f B3sin()32B?=?12sin()3B?=?oB2333B?36B?=?6B=10分则11132sin2632222SacB?=ABC?的面积为32212分16已知函数()f x3sin()sin()()2xx?=?0的图像上两相邻最高点的坐标分别为,2)34(),2,3(.（）求的值；（）在ABC中，cba,分别是角A,B,C的对边，且()f A=2求2bca?的取值范围.16解（）)6sin(2cossin3)(?=?=xxxxf由题意知2,2=T.（4分）?A又26=.（8分）（）,2)(=Af即,1)62sin(=6116 662、?=?a 16、在三角形ABC中，cba、分别是角A、B、C的对边，)cos,2(Ccbm?=，)cos,(Aan=，且mn. （1）求角A的大小； （2）当B是钝角，求函数22sincos (2)B3yB=+?的值域 16、解（）由m?n?得 (2)coscos0bcAaC?=，由正弦定理得2sincossincossincos0BACAAC?=2sincossin0BAB?=，B?、(0,)A，sin0B，得3A=5分（）131cos2sin2sin (2)1+226yBBB?=?+=7分当角B为钝角时，角C为锐角，则22223032BBB? （）求cos B的值；b=（）若3，求ABC?的面积的最大值.概率审题严密清晰18（本小题满分12分）M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位分），公司规定成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作.另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”.（）如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？（II）若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望.18.（本小题满分12分）解（）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是52208=.根据茎叶图，有“甲部门”人选10人，“乙部门”人选10人。 所以选中的“甲部门”人选有45210=人，“乙部门”人选有45210=人.3分用事件A表示“至少有一名”甲部门“人选被选中”，则它的对立事件A表示“没有一名”甲部门“人选被选中”，则141356411)(3834=?=?=Ap。 因此，至少有一人是“甲部门”的概率是14136分（）依题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X的取值分别为0,1,2,3.7分,3011204.310)0(3406=cXp,103.)1(3102416=cXp,21.310)2(1426=cXp,61.310)3(0436=cXp因此，X的分布列如下:X0123P301103216110分所以X的数学期望5930533015230913010=+=EX12分19.(四川省宜宾市高中xx届高三二诊考试理)某市城调队就本地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示收入在)2000,1500,单位元)（）求随机抽取一位居民，估计该居民月收入在)3500,2500的概率，并估计这10000人的人均月收入；（）若将频率视为概率，从本地随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月收入在)3500,2500上居民人数x的数学期望19.解频率组距月收入（元）0.00010.00020.00030.00040.0005150025003500450018题图（）依题意及频率分布直方图知，居民月收入在)3500,2500上的概率为0.000510000.5，（3分）估计这10000人的人均月收入为42505000001.037505000003.0300010000005.022505000004.017505000002.0+5.2125.5621500450175+=29000（元）；（6分）（）由（）知居民月收入在)3500,2500的概率为0.5,（7分）3个居民有0个、1个、2个、3个收入在此类的概率分别为303)21(C、313)21(C、323)21(C、333)21(C，（9分）数学期望5.1=812813832831810)(=+=E（12分）（注）也可用二次分布的数学期望5.1=213)(=nPE（12分） 17、(四川省眉山市高中xx届高三第二次诊断性考试理)（本小题12分）某示范高举办科技创新大赛，在50件科技作品参赛，大赛组委会对这50件作品分别从“创新性”和“实用性”两项进行评分，每项评分均按等级采用5分制，若设“创新性”得分为x，“实用性”得分为y，统计结果如下表实用性1分2分3分4分5分创1分13101频率组距月收入（元）0.00010.00020.00030.00040.0005150025003500450018题图新性2分107513分210934分1b60a5分00113（）求“创新性为4分且实用性为3分”的概率；（）若“实用性”得分的数学期望为16750，求a、b. 17、（本小题满分12分）（）从表中可以看出，“创新性为4分且实用性为3分”的作品数量为6件，“创新性为4分且实用性为3分”的概率为60.1250=.4分（）由表可知“实用性”得分y有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，且每个等级分别人5件，b+4件，15件，15件，a+8件.5分“实用性”得分y的分布列为y12345p550450b+又“实用性”得分的数学期望为16750，541515816712345505050505050ba+=.10分作品数量共有50件，3ab+=解得1,2ab=.12数列注意方法17.已知an是等差数列，a1=3,Sn是其前n项和，在各项均为正数的等比数列bn中，b1=1且b2+S2=1O,S5=5b3+3a2.(I)求数列an,bn的通项公式；(II)设nnSc2=，数列的前n项和为Tn,求证23 (321)22nnnSnn+=+，于是2112nncSnn=?+，11111111324352nTnn=?+?+?+?+?+1111212nn=+?+311212nn=?+，2n31()(x n*)nfNa；（）证明2121111nnaaan+?+解（）由211()()1 (1)tf xtxxx=?+，可得32()() (0) (1)ttxf xxx?=+，（2分）所以，()00tf xxt?，2n231112()x()1 (1)3nnfxaxx=?+(*)nN（7分）证法一（从已有性质结论出发）由（）知2nmax2n33213n1()x()233321nnnnffa=+（9分）即有2n31()(x n*)nfNa对于任意的0x恒成立（10分）证法二（作差比较法）由2103nna=+及2103nna?=（8分）2n22311112111()x() (1)1 (1)31 (1)nnnnnfxaxaaxxaxx?=?+?=?+?+2212101 (1)1nnnnaaaxxax?=?+=?+（9分）即有2n31()(x n*)nfNa对于任意的0x恒成立（10分）（）证法一（从已经研究出的性质出发，实现求和结构的放缩）由（）知，对于任意的0x都有211123n()1 (1)nxaxx?+，于是，2112111112()1 (1)3nkknxaaaxx=?+?+?+2212223n()1 (1)33nnxxx=?+?+?+（11分）对于任意的0x恒成立特别地，令013n10nx?=，即011 (1)03nxn=?，（12分）有221xx11n11111 (1)133nnnnnnnaaaxnn+?+=+?+?，故原不等式成立（14分）以下证明小组讨论给分证法二（应用柯西不等式实现结构放缩）由柯西不等式221222n21222n1122()()()nnx yxyx yxxxyyy+?+?+?+其中等号当且仅当(1,2,)iixky in=?时成立令1iixa=，iiya=，可得2212121212111111()()()nnnnaaaaaanaaaaaa+?+?+?+?+?+?=则21212111nnnaaaaaa+?+?+而由213nna=+，所以12131 (1)13132131nnnaaann?+?+=+=+?故22121111113nnnnaaann+?+?，所证不等式成立证法三（应用均值不等式“算术平均数”“几何平均数”）由均值不等式1212nnnaaaa aan+?+?，其中0ia可得1212nnnaaana aa+?+?，12121111nnnnaaaa aa+?+?两式相乘即得21212111()()nnaaanaaa+?+?+，以下同证法二证法四（逆向分析所证不等式的结构特征，寻找证明思路）欲证2121111nnaaan+?+，注意到13n213232nnna=?+，而2211?+111111nnnnnnnnn=?+=?+从而所证不等式可以转化为证明122223232321nnn+?+恒成立，求实数的取值范围19解析（）由12334nnaSn+=+，得12331nnaSn?+=+（2n），两式相减得11223()3nnnnaaSS+?+?=，即123nnaa+=，2分11322nnaa+=?+，则111 (1)2nnaa+?=?（2n），4分由12a=，又21237aS+=，得212a=，则211221?11112aa?=?，故数列1na?是以111a?=为首项，12?为公比的等比数列则111111 (1)()()22nnnaa?=?=?，11()12nna?=?+，6分（）由（）得，121211()1()22nnnbnn?=?+?=?，由题意得212nnbb?，则有22221211() (21)() (2)22nnnn?，即222211()1() (21) (2)22nnn?， (41)46nn?，10分而 (41)46nn?对于*nN时单调递减，则 (41)46nn?的最大值为 (41)?426?=?，故2?12分 19、(四川省眉山市高中xx届高三第二次诊断性考试理)（本小题12分）已知数列n a为等差数列，n a的前n项和为Sn,2331=+aa55=S. （1）求数列n a的通项公式； （2）数列n b满足1433221,41+=nnnnnbbbbbbbbTba?，若不等式nnbkTk时，由二次函数的性质，知02)1(2 (1)1112222knkk?=? (1)只要，即可满足02)1(2 由0,0k,23k,02)1()1(f 12分（注k0时，若x(lna，+)，0)(xf，得函数()f x在(lna，+)上是增函数；若x(-，lna)，0)(0时，函数f(x)的单调递增区间是(lna，+)，单调递减区间是(-，lna)5分21.已知函数3()f xln,()x gx2ax=?（a为实数）（）当a=1时，求函数()()f x()g xx?=?在x4，+）上的最小值；21.（本小题满分14分）解（）当1a=时，13()x()f x()g xln2xx?=?=+?，则22