矩阵的若尔当标准型及简单应用.doc

矩阵的及若尔当标准型及简单应用摘要： 矩阵的若尔当标准形是线性代数的一个重要的的组成部分，他通过数字矩阵的相似变换得到。矩阵的若尔当标准型理论在数学、理论力学、计算方法、物理、化学及数学的其他领域都有极其广泛应用。 每个n级得复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列顺序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形。对于n阶矩阵来说 ，如果他的特征根方程有重根且重根的个数等于其相应的特征向量个数时，此n阶矩阵就可通过相似变换化为对角形。 本文主要通过研究矩阵的极小多项式、可逆矩阵P的求法，以及若而当标准型的几种求解方法，对若而当标准型矩阵进行探讨。关键词：若尔当 线性变换 矩阵 标准定义1： 设是一个复数，矩阵 ，其中主对角上的元素都是，紧邻主对角线下方的元素都是1，其余位置都是零，叫做属于的一个若尔当（或若尔当块）. 当=0时，就是所谓的幂零若尔当矩阵.定理1 ： 设是维向量空间的一个线性变换，都是的一切互不相同特征值，那么存在的一个基，关于这个基的矩阵有形式 这里=，而都是属于的若尔当块，证： 设的最小多项式是，而在复数域上是不可约的因式分解，这里是互不相同的特征值，是正整数。 又=ker ，所以空间有直和分解= 对于每一，令是在上的限制，那么是子空间的一个幂零线性变换，而子空间可以分解为一循环子空间的直和：. 在每一循环子空间里，取一个循环基，凑成的一个基，那么关于这个基的矩阵有形状 这里是幂零若尔当块。 令，那么=+，于是对于加上基来说，的矩阵是这里都是属于的若尔当块。 对于每一子空间，按以上方式选取一个基，凑起来成为的基，那么关于这个基的矩阵就是有定理所求的形式（2）.注意 ： 在矩阵（2）里，主对角上的第块，是的矩阵.而子空间，显然由唯一确定，而出现在每一里的若尔当块里由唯一确定的，因而是由唯一确定。定义2 ： 形式如的阶矩阵，其中每一都是一个若尔当块，叫做一个若尔当标准形式.例如：都是若尔当标准形式.定理2： 复数域上每一阶矩阵都与一个当尔当标准形式相似，除了各若尔当块排列的次序外，与相似的若尔当标准形式是由唯一确定的。证： 在一个对角线分块矩阵里，重新排列各个小块矩阵的次序显然得到矩阵，在由若尔当块唯一性得到证明。定理3 ：（1）设为上的维线性空间，线性变换：的特征多项式分解为上的一次式的积.， 这里，是弱特征空间的直和=，又，dim=,在上的限制|的特征多项式和最小多项式为。（2） 设矩阵（，）的特征多项式分解为上一次式积.det,。这时，存在正则矩阵， 方阵的结束等于，构成的若尔当的个数等于属于的特征空间多项式的维数若尔当块矩阵称为矩阵的若尔当。注意 ： 中的，其阶若尔当块的个数又唯一确定。例1 ： 证明对，（，），存在正则矩阵，使=和具有相等的若尔当标准型。证 ： 设和具有相等的若尔当标准型，则存在正则矩阵，使=，=，令=，则正则接=反之， 设已存在正则矩阵，使=，设是若尔当标准型，则，故的若尔当标准型也是。例2 ： 求矩阵=，的若尔当标准型，求实矩阵使成为若尔当矩阵.解 ： （1），rank,故特征空间（5）的维数是3 rank (-5)=2，于是机若尔当块的个数为2，的若尔当标准型为. (2) 方程（+2）=0的通解为=.例如： 令=1，得=，dim=（-2）=1，（-3）=0，的通解是=，所以属于特征值3的特征空间（3）的维数是1.故属于特征值3的若尔当块是1个. 例如： 令=1，得=，方程（-3）=的通解是例如： 令，得=，= - 2，= 3，=+3.故若令（ ），则=（ ）=（-