2020届杭州市第二中学高三上学期期中数学试题（解析版）

2020届浙江省杭州市第二中学高三上学期期中数学试题一、单选题1若复数满足，则的虚部为( )ABC2D【答案】C【解析】先计算出，再整理得即可得解.【详解】即，.故选：C.【点睛】本题考查了复数的概念、复数的四则运算以及复数模的概念，属于基础题.2若，且，则向量的夹角为 （ ）A45B60C120D135【答案】A【解析】试题分析：根据题意，由于向量，故可知，故可知向量的夹角为45，故选A.【考点】向量的数量积点评：主要是考查了向量的数量积的运用，属于基础题3若，则( )A1BCD【答案】C【解析】先转化条件得，再化简原式即可得解.【详解】，原式.故选：C.【点睛】本题考查了三角函数的化简求值，考查了学生的计算能力，属于基础题.4已知各项不为0的等差数列满足，数列是等比数列且，则等于( )ABCD【答案】C【解析】根据等差数列的性质转化条件得，再根据等比数列的性质可知即可得解.【详解】，为等差数列，为等比数列，即，又 各项不为0，.故选：C.【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的性质，要求学生具有转化问题的能力，属于基础题.5若变量满足，则的最大值是（ ）A4B9C16D18【答案】C【解析】可行域为一个三角形及其内部，其中， 而，其中 为可行域内一点，因为，所以的最大值是选C.点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.6函数的图象大致为（ ）ABCD【答案】D【解析】先确定函数的定义域，再判断函数的奇偶性和值域，由此确定正确选项。【详解】解：函数的定义域为，则函数为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，当时，排除A，当时，排除C，故选：D.【点睛】本题通过判断函数图像考查函数的基本性质，属于基础题。7如图中，平分线交ABC的外接圆于点，设，则向量（）ABCD【答案】C【解析】根据中，的边角关系，结合圆的性质，得到四边形为菱形，所以【详解】解：设圆的半径为，在中，所以，平分线交的外接圆于点，所以，则根据圆的性质，又因为在中，所以四边形为菱形，所以故选C【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则，共线向量基本定理，圆的性质等知识，考查分析解决问题的能力和计算能力属于中档题8正方形的边长为2，对角线，相交于点，动点满足，若，其中，则的最大值是( )A1B2C3D4【答案】A【解析】先以为坐标原点，平行于边为轴，转化条件可得，再把转化为点与点连线的斜率利用圆的切线性质即可得解.【详解】如图建系：正方形的边长为2，设点，又 ，又 动点满足,，取点，,则直线，当直线与圆相切时满足,解得，的最大值为1.故选：A.【点睛】本题综合考查了向量的线性运算、直线的斜率、圆的方程以及直线与圆相切，考查了转化化归和数形结合的思想，属于中档题.9已知函数的定义域为，对任意的满足，当时，不等式的解集为( )ABCD【答案】B【解析】令，结合条件可知当，单调递增，当， 单调递减.转化条件后即可得解.【详解】令，又 对任意的满足，当，单调递增；当，单调递减.又 ，当，即的解集为.故选：B.【点睛】本题考查了导数的应用和三角恒等变换，要求学生具备一定的构造函数的能力，属于中档题.10已知函数的图象在点处的切线为，若函数满足（其中为函数的定义域，当时，恒成立，则称为函数的“转折点”，已知函数在区间上存在一个“转折点”，则的取值范围是ABCD【答案】B【解析】根据已知函数，求出切线方程，构造函数，求导，根据导数判断单调性，找出其转折点，并讨论的取值范围。【详解】由题可得，则在点处的切线的斜率，所以函数的图象在点处的切线方程为：，即切线，令，则，且 ，且，（1）当时，则在区间上单调递增，所以当，当，则在区间上单调递减，在上单调递增，所以当时，不满足题意，舍去，（2）当时， （），则在区间上单调递增，所以当，当，则在区间上单调递减，在上单调递增，所以当时，不满足题意，舍去，（3）当，（），则在区间上单调递增，取，则，所以在区间上单调递增，当时，恒成立，故为函数在区间上的一个“转折点”，满足题意。（4）当，令，解得：，且,则在区间上单调递减，在上单调递增，取，故在上恒成立，则在区间上单调递增，当时，则当，则，所以为函数在区间上的一个“转折点”，满足题意。（5）当，（），则在区间上单调递减，取，则，所以在区间上单调递减，当时，恒成立，故为函数在区间上的一个“转折点”，满足题意。（6）当时， （），则在区间上单调递减，所以当，当，则在区间上单调递增，在上单调递减，所以当时，不满足题意，舍去，综述所述：实数的取值范围为，故答案选B【点睛】本题主要根据导数求函数的切线方程和函数单调性，判断函数的转折点，属于难题。二、填空题11已知集合，若，则实数的取值范围是_，若，则实数的取值范围是_.【答案】 【解析】先转化出，再分别根据、即可求得a的范围.【详解】，若则，若，则,所以.故答案为：，.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法、集合的运算和集合间的关系，属于基础题.12若，则_【答案】【解析】用两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系式将已知条件左边展开，化简后求得的值.【详解】由得，.所以.故填：.【点睛】本小题主要考查两角和与差的正弦公式，考查同角三角函数的基本关系式，考查运算求解能力，属于基础题.13设函数，则不等式的解集为_，若存在实数满足成立，则实数的取值范围是_.【答案】或 【解析】去绝对值得，分类讨论即可得出不等式的解集；画出函数与图像，根据图像即可求出实数的范围.【详解】由，或或，或或，或，不等式的解集为或. 在直角坐标系中画出函数和的图象，如图所示.由图象可知，当直线过时，当时，直线与直线平行.存在实数满足成立，由图象可知或，的取值范围为.故答案为：或，.【点睛】本题考查了绝对值函数的化简，考查了分类讨论、转化化归和数形结合的思想，属于中档题.14对于函数，若存在区间，当时的值域为，则称为倍值函数.若是倍值函数，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【详解】试题分析：由题意得有两个不同的解，则，因此当时，当时，从而要使有两个不同的解，需【考点】函数与方程【思路点睛】（1）运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.（2）在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.15函数的图象与其对称轴在轴右侧的交点从左到右依次记为，在点列中存在三个不同的点，使得是等腰直角三角形，将满足上述条件的值从小到大组成的数列记为，则_.【答案】【解析】转化条件得，根据可得出，即可得解.【详解】设过的对称轴与线段交于点，则，依题意，是等腰直角三角形，所以，结合的周期性以及对称性可知，为整数个周期，所以 .故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质、数列的通项，考查了转化化归的数学思想，属于中档题.16点在的边上，且，则的最大值为_.【答案】【解析】根据条件可得， ，利用余弦定理即可得到、的关系，再利用基本不等式即可得解.【详解】设，三角形的边为，由，由余弦定理得，所以， 又，所以，化简得， 相除化简得，故，当且仅当成立，所以，所以的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查了余弦定理和基本不等式的应用，考查了方程思想和运算能力，属于中档题.17已知向量，向量满足，若对任意的，记的最小值为，则的最大值为_.【答案】【解析】转化条件可得向量，的夹角为，建立直角坐标系把条件转化为坐标运算，可得的坐标满足，再把转化为两点间的距离即可得解.【详解】由可知，向量，的夹角为，设，由，得，它表示以为圆心，以1为半径的圆.又表示圆上的点到的距离，最小值即为圆上点到轴的距离，如图，圆心到轴的距离为，则的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查了向量模的转化、数量积的运算、圆的方程和两点之间的距离公式，考查了转化化归与数形结合思想，属于难题.三、解答题18设函数.（）求函数的递增区间；（）在中，分别为内角，的对边，若，且，求的面积.【答案】()；().【解析】试题分析：()函数的解析式可化为：.结合正弦函数的性质可得的递增区间为.()由，结合()的结论可得，由，结合正弦定理得，所以，由余弦定理可得.的面积.试题解析：()函数的解析式可化为：.由，得函数的递增区间为.()因为，即，所以，因为是三角形的内角，所以，又因为，由正弦定理得，所以，所以，因为，由余弦定理得.所以，故的面积为.19如图，四棱锥中，底面，过点作平面垂直于直线，分别交，于点，.(1)求的长度；(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）连接，由条件可证，求出、即可得解；（2）建立坐标系，分别求出平面与平面的法向量即可得解.【详解】（1）连接，平面，.，为直角三角形，且，.，为中点，又 底面，.（2）由(1)可得，两两垂直，故以为原点建立空间直角坐标系（如图），底面，面，平面的法向量为，设平面的法向量为，.，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了线面位置关系的性质与判断以及空间向量的应用，考查了计算能力，属于中档题.20已知等比数列的前项和为成等差数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据等比数列的性质以及等差中项可求得公比，代入中，求出q，即可求得数列的通项公式；（2）把数列的通项公式代入中化简，代入求得，再利用裂项相消求得【详解】（1）设等比数列的公比为，由成等差数列知，所以，即.又，所以，所以，所以等差数列的通项公式.（2）由（1）知 ，所以所以数列的前 项和：所以数列的前项和【点睛】本题考查数列的知识，掌握等差等比数列的性质、通项是解题的关键，同时也需要掌握好数列求和的方法：分组求和、裂项相消、错位相减等，属于中档题21设椭圆的焦距为2，且点在椭圆上，左右顶点为，左右焦点为，.过点作斜率为的直线交椭圆于轴上方的点，交直线于点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与直线交于点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若，求的值；(3)若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）根据焦距为2，点在椭圆上代入即可得解；（2）设直线的方程,可得、，再利用即可得解；（3）联立方程组可得、，利用即可得解.【详解】（1）由题意可得，解得，椭圆方程为.（2）由(1)可得，则直线的方程为，由，可得，直线的方程为，即，由，消可得，解得，.，解得.（3）由(2)知，联立，得，方程，联立，得，.【点睛】本题考查了椭圆的概念与性质、椭圆与直线的位置关系，考查了转化化归和计算能力，属于难题.22已知，其中实数.(1)求的最大值；(2)若对于任意实数恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）1；（2）.【解析】（1）先求出，根据和的解集确定的单调区间即可得解；（2）根据时成立得出，围绕讨论并证明此时恒成立即可.【详解】（1）定义