高等数学第六章向量代数与空间解析几何习题.pdf

一 内容小结一 内容小结 二 实例分析二 实例分析 习题课 空间解析几何习题课 空间解析几何 四 作业四 作业 三 思考与练习三 思考与练习 向量的 线性运算 向量的 线性运算 向量的 线性运算 向量的 线性运算 向量的 表示法 向量的 表示法 向量的 表示法 向量的 表示法 向量积向量积 向量积向量积 数量积数量积 数量积数量积 混合积混合积 混合积混合积 向量的积向量的积 向量概念向量概念 向量概念向量概念 一 向量代数 一 向量代数 直 线直 线 直 线直 线 曲面曲面 曲面曲面 曲线曲线 曲线曲线 平 面平 面 平 面平 面 参数方程参数方程 参数方程参数方程 旋转曲面旋转曲面 旋转曲面旋转曲面 柱面柱面 柱面柱面 二次曲面二次曲面 二次曲面二次曲面 一般方程一般方程 一般方程一般方程 参数方程参数方程 参数方程参数方程 一般方程一般方程 一般方程一般方程 对称式方程对称式方程 对称式方程对称式方程 点法式方程点法式方程 点法式方程点法式方程 一般方程一般方程 一般方程一般方程 空间直角坐标系空间直角坐标系 空间直角坐标系空间直角坐标系 二 空间解析几何 二 空间解析几何 a b xxyyzz a ba ba b ba 0 zzyyxx bababa 222222 cos xxyyzz xyzxyz a ba ba b a b ab aaabbb i i 一 内容小结一 内容小结 1 1 向量的乘法运算向量的乘法运算向量的乘法运算向量的乘法运算 1 1 数量积数量积 点积 内积 点积 内积 cosab 2 向量积2 向量积 sin bac 其中其中 为为a 与与b 的夹角的夹角 叉积 外积 叉积 外积 zyx zyx bbb aaa kji ba ba z z y y x x b a b a b a cba abc zyx zyx zyx ccc bbb aaa 3 混合积3 混合积 0abc a b c 共面共面 abc 1 1 1 1 空间平面空间平面空间平面空间平面 一般式一般式 点法式点法式 截距式截距式 0 DCzByAx 0 222 CBA 1 c z b y a x 三点式三点式0 131313 121212 111 zzyyxx zzyyxx zzyyxx 000 2 2 空间直线与平面的方程空间直线与平面的方程空间直线与平面的方程空间直线与平面的方程 zyx点点 0 000 zzCyyBxxA CBAn 法向量法向量 为直线的方向向量为直线的方向向量 2 2 2 2 空间直线空间直线空间直线空间直线 一般式一般式 对称式对称式 参数式参数式 0 0 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxA tpzz tnyy tmxx 0 0 0 p zz n yy m xx 000 000 zyx pnms 为直线上一点为直线上一点 面与面的关系面与面的关系面与面的关系面与面的关系 0 212121 CCBBAA 2 1 2 1 2 1 C C B B A A 平面平面 平面平面 垂直垂直 平行平行 夹角公式夹角公式 3 3 线面之间的相互关系线面之间的相互关系线面之间的相互关系线面之间的相互关系 0 111111111 CBAnDzCyBxA 0 222222222 CBAnDzCyBxA 0 21 nn 0 21 nn 21 21 cos nn nn 1 1 1 1 1 1 1 p zz n yy m xx L 直线直线 0 212121 ppnnmm 2 2 2 2 2 2 2 p zz n yy m xx L 2 1 2 1 2 1 p p n n m m 线与线的关系线与线的关系线与线的关系线与线的关系 直线直线 垂直垂直 平行平行 夹角公式夹角公式 1111 pnms 2222 pnms 0 21 ss 0 21 ss 21 21 cos ss ss C p B n A m 平面平面 垂直 垂直 平行 平行 夹角公式夹角公式 0 CpBnAm 面与线间的关系面与线间的关系面与线间的关系面与线间的关系 直线直线 0CBAnDCzByAx pnms p zz n yy m xx 0 ns 0 ns ns ns sin 4 4 相关的几个问题相关的几个问题相关的几个问题相关的几个问题 1 过直线过直线 0 0 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxA L 的的平面束平面束平面束平面束 1111 DzCyBxA 0 2222 DzCyBxA 方程方程 0 21 不全为不全为 1 2 1111 DzCyBxA 0 2222 DzCyBxA 0 M d 2 点点 的距离为的距离为 DzCyBxA 000 222 CBA 到平面 到平面 A x B y C z D 0 0000 zyxM 1 M n n nMM d 01 kji 0000 zyxM 到直线到直线 的距离的距离 p zz n yy m xx L 111 为 为 3 点点 222 1 pnm 010101 zzyyxx pnm d s sMM d 10 pnms 1111 zyxM 0000 zyxM L 二 实例分析二 实例分析 例例例例 1 1 练习册判断题练习册判断题 选择题选择题 向量概念题向量概念题 例例例例2 2 2 2 设一平面平行于已知直线设一平面平行于已知直线 05 02 zyx zx 0且垂直于已知平面且垂直于已知平面347 zyx求该平面法线的求该平面法线的 的方向余弦的方向余弦 提示提示提示提示 已知平面的法向量已知平面的法向量 求出已知直线的方向向量求出已知直线的方向向量 取所求平面的法向量取所求平面的法向量 3 cos 50 50 4 cos 50 5 cos 1 nsn 4 1 7 1 n 2 1 1 s 417 211 kji 4 5 3 2 所求为所求为 例例例例3 3 3 3 求过直线求过直线L 04 05 zx zyx zyx84 且与平面且与平面 4 夹成夹成角的平面方程角的平面方程 04 1 5 1 提示提示提示提示 过直线过直线 L 的平面束方程的平面束方程 zyx 其法向量为其法向量为 已知平面的法向量为已知平面的法向量为 选择使选择使 4 3 012720 zyx 从而得所求平面方程从而得所求平面方程 n 1 n 4 012 1 1 4 cos nn nn 1 5 1 1 n L 8 4 1 n 思路思路 先求交点先求交点 1 1 1 0 例例例例4 4 4 4 求过点求过点M 1 2 1 xz xy L且与两直线 且与两直线 12 43 2 xz xy L都相交的直线都相交的直线 L 提示提示提示提示 21 LL将 的方程化为参数方程 将 的方程化为参数方程 12 43 1 2 21 tz ty tx L tz ty tx L L 1 L 2 L 0 M 1 M 2 M 设设 L 与它们的交点分别为与它们的交点分别为 12 43 2222 tttM 再写直线方程再写直线方程 21 MM 1 2 1111 tttM 2 0 21 tt 3 2 2 1 0 0 21 MM 2 1 1 1 1 1 zyx L 210 MMM 1 12 1 1 1 43 12 1 1 2 1 2 1 2 1 t t t t t t 三点共线三点共线 2010 MMMM L 1 L 2 L 0 M 1 M 2 M 思考 怎样求与两条直线都垂直相交的直线思考 怎样求与两条直线都垂直相交的直线 L 12 43 2222 tttM 1 2 1111 tttM 1 1 1 0 M L 1 L 2 L 1 M 2 M 求与两条直线都垂直相交的直线求与两条直线都垂直相交的直线L L 12 43 2222 tttM 1 2 1111 tttM 121 M Ms 1 1 2 1 s 2 1 3 2 s 122 M Ms 12212121 342 2 M Mtttttt 212121 2 342 2 0tttttt 212121 3 342 2 2 0tttttt 12 4 0 3 tt 2 0 4 1 M 1 487 333 M 241 111 xyz L 10 0 yz L x 0 1 1 1 M 设一平面垂直于设一平面垂直于 并通过从点 求此平面的方程 并通过从点 求此平面的方程 0z 到直线的垂线到直线的垂线 例例例例5 5 5 5 0 M 设交点为设交点为 1111 Mxy z 解 解 解 解 过作直线与垂直相交 过作直线与垂直相交 L 0 M 1 11 11 0 1 x yt zt 01 M ML 1 011 xyz 由的对称式方程 由的对称式方程L 必使必使 1 t 1 n 1111 Mxyz t 111 0 1 Mt t 0111 1 1 M Mtt 01 M M 0 1 1 0 1 1 2 t 得 得 01 M M 11 1 22 1 2 1 1 2 1 nns 2 1 1 s 001 211 ijk 1 2 0 平面的方程平面的方程 0 1 1 1 M 1 2 1 0 xy 210 xy 即 即 取取 1 1 1 0 2 2 M 0 M 1 n 1111 Mxyz 0111 1 1 M Mtt 1 0 1 1 s 例例例例6 6 6 6 如何判断两直线共面 如何判断两直线共面 如何判断两直线共面 如何判断两直线共面 1 M 2 M 1 S 2 S 1212 0SSM M 思考与练习思考与练习 2 1 2 xy 抛物柱面 抛物柱面0 z平面平面 1 224 zyx 及及 1 2 2 zx 抛物柱面 抛物柱面 10 0 画出下列各曲面所围图形画出下列各曲面所围图形 yxzy及平面及平面 222 xyzyx 柱面 柱面0 z平面平面 1 x及及 3 旋转抛物面旋转抛物面 1 解答解答 x y z o xy 2 2 0 z 1 224 zyx 0 1 2 0 2 8 4 x y z o 2 x y z 1 1 1 1 x y z 2 1 1 1 1 o zx 1 2 1 yx 0 y 0 z 1 1 1 1 1 z x yo zyx 22 xy 2 0 z 1 x 3 r 例例例例7 7 7 7 直线直线 110 1 zyx L 绕绕z轴旋转一周轴旋转一周 求此旋转求此旋转 转曲面的方程转曲面的方程 解解解