2019-2020学年高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 第2课时 数列求和课件 新人教A版必修5.ppt

2 5等比数列的前n项和 第2课时数列求和 1 分组转化求和法如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成 并且各独立项也可组成等差或等比数列 则该数列的前n项和可考虑拆项后利用公式求解 3 错位相减法若数列 an 为等差数列 数列 bn 是等比数列 由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为 anbn 当求该数列的前n项的和时 常常采用将 anbn 的各项乘以公比q 然后错位一项与 anbn 的同次项对应相减 即可转化为特殊数列的求和 所以这种数列求和的方法称为错位相减法 1 已知数列 an 的前n项和为sn n2 5n 2 则数列 an 的前10项和为 a 56b 58c 62d 60 答案 d 3 已知等比数列的前n项和sn 4n a 则a的值等于 a 4b 1c 0d 1 答案 b 解析 等比数列的前n项和sn 4n a a1 s1 4 a a2 s2 s1 16 a 4 a 12 a3 s3 s2 64 a 16 a 48 122 48 4 a 解得a 1 故选b 4 在数列 an 中 a1 1 a2 2且an 2 an 1 1 n n n 则a1 a2 a3 a51 答案 676 例1 在等差数列 an 中 a2 a7 23 a3 a8 29 1 求数列 an 的通项公式 2 设数列 an bn 是首项为1 公比为c的等比数列 求 bn 的前n项和sn 分组转化求和 解析 1 设等差数列 an 的公差是d 依题意a3 a8 a2 a7 2d 6 从而d 3 所以a2 a7 2a1 7d 23 解得a1 1 所以数列 an 的通项公式为an 3n 2 方法规律 如果一个数列 an 的通项an是关于n的多项式或分式 根式或其他形式的函数时 这个数列的和又不能直接运用等差数列 等比数列及其他常用公式求和时 我们可以采用 化整为零 各个击破 的数学思想 将数列 an 的通项经过适当变形进行分解 使之转化为运用公式法能求解的基本数列的求和问题 从而使问题获解 已知数列1 1 2 1 2 22 1 2 22 2n 1 1 求其通项公式an 2 求这个数列的前n项和sn 解题探究 1 利用等比数列的通项公式及其前n项和的公式即可得出 2 利用对数的运算性质 裂项求和 即可得出 裂项相消求和 例3 已知数列 an 的前n项和为sn 且满足sn 2an n 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn 2n 1 an 1 求数列 bn 的前n项和tn 解题探究 1 根据题中已知条件sn 2an n 得出n 2时 sn 1 2an 1 n 1 此两式作差整理即可得到an 1所满足的关系 从而可求出数列 an 1 的通项公式得到所求 2 根据数列 bn 的通项可知利用错位相减法进行求和 从而可求出数列 bn 的前n项和tn 错位相减求和 2 bn 2n 1 2n tn 3 2 5 22 7 23 2n 1 2n 1 2n 1 2n 2tn 3 22 5 23 7 24 2n 1 2n 2n 1 2n 1 tn 6 2 22 23 24 2n 2n 1 2n 1 tn 2 2n 1 2n 1 方法规律 使用错位相减法求和时 要注意对项数进行准确判断 含有字母的数列求和 常伴随着分类讨论 已知数列 an 是等差数列且a1 2 a1 a2 a3 12 1 求数列 an 的通项公式 2 令bn an 3n 求数列 bn 的前n项和sn 解析 1 数列 an 是等差数列且a1 2 a1 a2 a3 12 2 2 d 2 2d 12 解得d 2 an 2 n 1 2 2n 示例 已知数列 an 的前n项和为sn 且sn 2n2 n 数列 bn 满足an 4log2bn 3 1 求an bn 2 求数列 an bn 的前n项和tn 错位相减法求和时项数处理不当致误 错因 1 利用公式an sn sn 1时 忽视n 2这个限制条件 不对n 1时进行验证 2 用错位相减求和时 相减后的和式中的4 2 22 2n 1 这是一个等比数列的前 n 1 项的和 处理不当会出错 正解 1 当n 1时 a1 s1 3 当n 2时 an sn sn 1 4n 1 所以an 4n 1 n n 由4n 1 an 4log2bn 3 得bn 2n 1 2 由 1 知an bn 4n 1 2n 1 所以tn 3 7 2 11 22 4n 1 2n 1 2tn 3 2 7 22 4n 5 2n 1 4n 1 2n 2tn tn 4n 1 2n 3 4 2 22 2n 1 4n 5 2n 5 故tn 4n 5 2n 5 n n 点评 1 利用错位相减法求解数列的前n项和时 应注意两边乘以公比后 对应项的幂指数会发生变化 为避免出错 可将相同幂指数的项对齐 这样有一个式子前面空出一项 另外一个式子后面就会多了一项 两式相减 除第一项和最后一项外 剩下的n 1项是一个等比数列 2 利用错位相减法求和时 转化为等比数列求和 若公比是个参数 字母 则应先对参数加以讨论 一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求