2021版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系高效演练分层突破 文 新人教A版.doc

第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系基础题组练1已知异面直线a，b分别在平面，内，且c，那么直线c一定()a与a，b都相交 b只能与a，b中的一条相交c至少与a，b中的一条相交 d与a，b都平行解析：选c.若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知ab，与a，b异面矛盾2已知直线a和平面，l，a，a，且a在，内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()a相交或平行 b相交或异面c平行或异面 d相交、平行或异面解析：选d.依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面故选d.3已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()a空间四边形 b矩形c菱形 d正方形解析：选b.如图所示，易证四边形efgh为平行四边形因为e，f分别为ab，bc的中点，所以efac.又fgbd，所以efg或其补角为ac与bd所成的角而ac与bd所成的角为90，所以efg90，故四边形efgh为矩形4已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件解析：选a.若直线a，b相交，设交点为p，则pa，pb.又a，b，所以p，p，故，相交反之，若，相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行故“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件5(2020内蒙古集宁一中四模)如图，在四面体abcd中，e，f分别是ac，bd的中点，若cd2ab4，efba，则ef与cd所成的角为()a30 b45c60 d90解析：选a.取cb的中点g，连接eg，fg.则egab，fgcd.所以ef与cd所成的角为efg(或其补角)，因为efab，所以efeg.egab1，fgcd2，所以在rtefg中，sinefg，所以ef与cd所成的角为30.故选a.6已知棱长为a的正方体abcdabcd中，m，n分别为cd，ad的中点，则mn与ac的位置关系是 解析：如图，由题意可知mnac.又因为acac，所以mnac.答案：平行7给出下列四个命题：平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；若平面内的一条直线a与平面内的一条直线b相交，则与相交；若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面；若三条直线两两相交，则这三条直线共面其中真命题的序号是 解析：正确，因为直线在平面外即直线与平面相交或直线平行于平面，所以最多有一个公共点正确，a，b有交点，则两平面有公共点，则两平面相交正确，两平行直线可确定一个平面，又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上，所以过这两交点的直线也在平面内，即三线共面错误，这三条直线可以交于同一点，但不在同一平面内答案：8如图，四边形abcd和adpq均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线ap与bd所成的角为 解析：如图，将原图补成正方体abcdqghp，连接ag，gp，则gpbd，所以apg为异面直线ap与bd所成的角，在agp中，aggpap，所以apg.答案：9如图，在正方体abcda1b1c1d1中，o为正方形abcd的中心，h为直线b1d与平面acd1的交点求证：d1，h，o三点共线证明：如图，连接bd，b1d1，则bdaco，因为bb1dd1，所以四边形bb1d1d为平行四边形，又hb1d，b1d平面bb1d1d，则h平面bb1d1d，因为平面acd1平面bb1d1dod1，所以hod1.即d1，h，o三点共线10.如图，在三棱锥pabc中，pa底面abc，d是pc的中点已知bac，ab2，ac2，pa2.求：(1)三棱锥pabc的体积；(2)异面直线bc与ad所成角的余弦值解：(1)sabc222，三棱锥pabc的体积为vsabcpa22.(2)如图，取pb的中点e，连接de，ae，则edbc，所以ade(或其补角)是异面直线bc与ad所成的角在ade中，de2，ae，ad2，cosade.故异面直线bc与ad所成角的余弦值为.综合题组练1如图所示，平面平面l，a，b，abld，c，cl，则平面abc与平面的交线是()a直线ac b直线abc直线cd d直线bc解析：选c.由题意知，dl，l，所以d，又因为dab，所以d平面abc，所以点d在平面abc与平面的交线上又因为c平面abc，c，所以点c在平面与平面abc的交线上，所以平面abc平面cd.2.如图，已知线段ab垂直于定圆所在的平面，b，c是圆上的两点，h是点b在ac上的射影，当点c运动时，点h运动的轨迹()a是圆 b是椭圆c是抛物线 d不是平面图形解析：选a.如图，过点b作圆的直径bd，连接cd，ad，则bccd，再过点b作bead于点e，连接he，因为ab平面bcd，所以abcd.又bccd，且abbcb，所以cd平面abc，所以cdbh.又bhac，且accdc，所以bh平面acd，所以bhad，bhhe.又注意到过点b与直线ad垂直的直线都在同一个平面内，于是结合点b，e位置，可知，当点c运动时，点h运动的轨迹是以be为直径的圆故选a.3.如图所示，a是bcd所在平面外的一点，e，f分别是bc，ad的中点(1)求证：直线ef与bd是异面直线；(2)若acbd，acbd，求ef与bd所成的角解：(1)证明：假设ef与bd不是异面直线，则ef与bd共面，从而df与be共面，即ad与bc共面，所以a，b，c，d在同一平面内，这与a是bcd所在平面外的一点相矛盾故直线ef与bd是异面直线(2)取cd的中点g，连接eg，fg，则acfg，egbd，所以相交直线ef与eg所成的角，即为异面直线ef与bd所成的角又因为acbd，则fgeg.在rtegf中，由egfgac，求得feg45，即异面直线ef与bd所成的角为45.4.(综合型)如图，e，f，g，h分别是空间四边形abcd各边上的点，且aeebahhdm，cffbcggdn.(1)证明：e，f，g，h四点共面；(2)m，n满足什么条件时，四边形efgh是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若acbd，试证明：egfh.解：(1)证明：因为aeebahhd，所以ehbd.又cffbcggd，所以fgbd.所以ehfg.所以e，f，g，h四点共面(2)当ehfg，且ehfg时，四边形efgh为平行四边形因为，