2021版高考数学一轮复习 第十章 概率 第1讲 随机事件的概率教案 文 新人教A版.doc

第1讲随机事件的概率一、知识梳理1事件的分类确定事件必然事件在条件s下，一定会发生的事件叫做相对于条件s的必然事件不可能事件在条件s下，一定不会发生的事件叫做相对于条件s的不可能事件随机事件在条件s下，可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件s的随机事件2.概率与频率(1)在相同的条件s下重复n次试验，观察某一事件a是否出现，称n次试验中事件a出现的次数na为事件a出现的频数，称事件a出现的比例llln(a)为事件a出现的频率(2)对于给定的随机事件a，由于事件a发生的频率fn(a)随着试验次数的增加稳定于概率p(a)，因此可以用频率fn(a)来估计概率p(a)3事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件a发生，则事件b一定发生，这时称事件b包含事件a(或称事件a包含于事件b)ba(或ab)相等关系若ba且ab，那么称事件a与事件b相等ab并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件a发生或事件b发生，则称此事件为事件a与事件b的并事件(或和事件)ab(或ab)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件a发生且事件b发生，则称此事件为事件a与事件b的交事件(或积事件)ab(或ab)互斥事件若ab为不可能事件，那么称事件a与事件b互斥ab对立事件若ab为不可能事件，ab为必然事件，那么称事件a与事件b互为对立事件ab且ab常用结论概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0p(a)1.(2)必然事件的概率：p(a)1.(3)不可能事件的概率：p(a)0.(4)概率的加法公式如果事件a与事件b互斥，则p(ab)p(a)p(b)(5)对立事件的概率若事件a与事件b互为对立事件，则ab为必然事件p(ab)1，p(a)1p(b)二、习题改编1(必修3 p121练习t5改编)袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则恰有1个白球和全是白球；至少有1个白球和全是黑球；至少有1个白球和至少有2个白球；至少有1个白球和至少有1个黑球在上述事件中，是互斥事件但不是对立事件的为 答案：2(必修3 p123a组t3改编)容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：分组10，20)20，30)30，40)40，50)50，60)60，70)频数234542则样本数据落在区间10，40)的频率为 答案：0.45一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)事件发生的频率与概率是相同的()(2)随机事件和随机试验是一回事()(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值()(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生()(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件()(6)两互斥事件的概率和为1.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)二、易错纠偏(1)混淆对立事件和互斥事件的概念而判断错误；(2)频率与概率的关系理解不清致错1李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布：成绩人数90分以上428089分1727079分2406069分865059分5250分以下8经济学院一年级的学生王小明下学期将选修李老师的高等数学课，用已有的信息估计他得以下分数的概率：(1)90分以上的概率： ；(2)不及格(60分及以上为及格)的概率： 解析：(1)0.07；(2)0.1.答案：(1)0.07(2)0.12从一箱产品中随机地抽取一件，设事件a抽到一等品，事件b抽到二等品，事件c抽到三等品，且p(a)0.65，p(b)0.2，p(c)0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为 解析：因为“抽到的不是一等品”的对立事件是“抽到的是一等品”，且p(a)0.65，所以“抽到的不是一等品”的概率为p1p(a)10.650.35.答案：0.35随机事件的关系(师生共研) 从1，2，3，7这7个数中任取两个数，其中：恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；至少有一个是奇数和两个都是奇数；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一个是偶数上述事件中，是对立事件的是()a b c d【解析】中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从17中任取两个数，根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件【答案】c判断互斥、对立事件的2种方法(1)定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件(2)集合法由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥；事件a的对立事件a所含的结果组成的集合，是全集中由事件a所含的结果组成的集合的补集1设条件甲：“事件a与事件b是对立事件”，条件乙：“概率满足p(a)p(b)1”，则甲是乙的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件解析：选a.若事件a与事件b是对立事件，则ab为必然事件，再由概率的加法公式得p(a)p(b)1.设掷一枚硬币3次， 事件a：“至少出现一次正面”，事件b：“3次都出现正面”，则p(a)，p(b)，满足p(a)p(b)1，但a，b不是对立事件2一袋中装有5个大小形状完全相同的小球，其中红球3个，白球2个，从中任取2个小球，若事件“2个小球全是红球”的概率为，则概率为的事件是()a恰有一个红球b两个小球都是白球c至多有一个红球 d至少有一个红球解析：选c.因为1，所以概率为的事件是“2个小球全是红球”的对立事件，应为：“一个红球一个白球”与“两个都是白球”的和事件，即为“至多有一个红球”随机事件的频率与概率(师生共研) 某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量y(单位：kg)与它的“相近”作物株数x之间的关系如表所示：x1234y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米(1)完成下表，并求所种作物的平均年均收获量；y51484542频数4(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg的概率【解】(1)所种作物的总株数为1234515，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下：y51484542频数2463所种作物的平均年收获量为46.(2)由(1)知，p(y51)，p(y48).故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg的概率为p(y48)p(y51)p(y48).某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量x(单位：毫米)有关据统计，当x70时，y460；x每增加10，y增加5.已知近20年x的值为140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.(1)完成频率分布表；近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率解：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个故近20年六月份降雨量频率分布表为降雨量70110140160200220频率(2)由已知可得y425，故p(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)p(y530)p(x210)p(x70)p(x110)p(x220).故今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率为.互斥事件、对立事件的概率(师生共研) 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个记1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为a，b，c，求：(1)1张奖券的中奖概率；(2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率【解】(1)设“1张奖券中奖”为事件m，则mabc，依题意，p(a)，p(b)，p(c)，因为a，b，c两两互斥，所以p(m)p(abc)p(a)p(b)p(c)，故1张奖券的中奖概率为.(2)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件n，则事件n与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以p(n)1p(ab)1.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.求复杂互斥事件的概率的两种方法(1)直接法(2)间接法(正难则反，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法求解简单)1某人去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4.则他乘火车或乘飞机去的概率为 解析：设此人乘火车、轮船、汽车、飞机去开会分别用事件a，b，c，d表示，则事件a，b，c，d是互斥事件，p(ad)p(a)p(d)0.30.40.7，所以他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.答案：0.72(一题多解)经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率；(2)至少3人排队等候的概率解：记“无人排队等候”为事件a，“1人排队等候”为事件b，“2人排队等候”为事件c，“3人排队等候”为事件d，“4人排队等候”为事件e，“5人及5人以上排队等候”为事件f，则事件a、b、c、d、e、f彼此互斥(1)记“至多2人排队等候”为事件g，则gabc，所以p(g)p(abc)p(a)p(b)p(c)0.10.160.30.56.(2)法一：记“至少3人排队等候”为事件h，则hdef，所以p(h)p(def)p(d)p(e)p(f)0.30.10.040.44.法二：记“至少3人排队等候”为事件h，则其对立事件为事件g，所以p(h)1p(g)0.44.基础题组练1(2018高考全国卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()a0.3 b0.4 c0.6 d0.7解析：选b.设“只用现金支付”为事件a，“既用现金支付也用非现金支付”为事件b，“不用现金支付”为事件c，则p(c)1p(a)p(b)10.450.150.4.故选b.2(2020福建五校第二次联考)下列说法正确的是()a事件a，b中至少有一个发生的概率一定比a，b中恰有一个发生的概率大b事件a，b同时发生的概率一定比a，b中恰有一个发生的概率小c互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件d互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件解析：选d.对于选项a，“事件a，b中至少有一个发生”包括“事件a发生b不发生”“a不发生b发生”和“a，b都发生”，“事件a，b中恰有一个发生”包括“事件a发生b不发生”和“a不发生b发生”，当事件a，b为对立事件时，“事件a，b中至少有一个发生”的概率与“事件a，b中恰有一个发生”的概率相等，故错误；对于选项b，“事件a，b同时发生”与“事件a，b中恰有一个发生”是互斥事件，不能确定概率的大小，故错误；因为对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，所以选项c错误，选项d正确故选d.3设a与b是互斥事件，a，b的对立事件分别记为a，b，则下列说法正确的是()a与互斥 b与互斥cp(ab)p(a)p(b) dp()1解析：选c.根据互斥事件的定义可知，a与，与都有可能同时发生，所以a与互斥，与互斥是不正确的；p(ab)p(a)p(b)正确；与既不一定互斥，也不一定对立，所以d错误4掷一个骰子的试验，事件a表示“出现小于5的偶数点”，事件b表示“出现小于5的点数”，若表示b的对立事件，则一次试验中，事件a发生的概率为()a. b. c. d解析：选c.掷一个骰子的试验有6种可能结果依题意p(a)，p(b)，所以p()1p(b)1.因为表示“出现5点或6点”的事件，因此事件a与互斥，从而p(a)p(a)p().5某城市2019年的空气质量状况如表所示：污染指数t3060100110130140概率p其中污染指数t50时，空气质量为优；50t100时，空气质量为良；100t150时，空气质量为轻微污染则该城市2019年空气质量达到良或优的概率为 解析：由题意可知2019年空气质量达到良或优的概率为p.答案：6口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，若红球有21个，则黑球有 个解析：由题意知，摸出黑球的概率为10.420.280.3.设黑球有n个，则，故n15.答案：157某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题，每道题10分，然后作了统计，结果如下：贫困地区参加测试的人数3050100200500800得60分以上的人数162752104256402得60分以上的频率发达地区参加测试的人数3050100200500800得60分以上的人数172956111276440得60分以上的频率(1)计算两地区参加测试的儿童得60分以上的频率(保留两位小数)；(2)根据频率估计两地区参加测试的儿童得60分以上的概率解：(1)贫困地区表格从左到右分别为0.53，0.54，0.52，0.52，0.51，0.50；发达地区表格从左到右分别为0.57，0.58，0.56，0.56，0.55，0.55.(2)根据频率估计贫困地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.52，发达地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.56.8某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元)01 0002 0003 0004 000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率解：(1)设a表示事件“赔付金额为3 000元”，b表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得p(a)0.15，p(b)0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为p(a)p(b)0.150.120.27.(2)设c表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.11 000100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.212024(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为0.24，由频率估计概率得p(c)0.24.综合题组练1某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)解：(1)由已知得25y1055，x3045，所以x15，y20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1.9(分钟)(2)记a为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，a1，a2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率，得p(a1)，p(a2).p(a)1p(a1)p(a2)1.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.2某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰在购进机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用200元，另外实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次50