2019-2020学年温州市共美联盟高二上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年浙江省温州市共美联盟高二上学期期末数学试题一、单选题1下列直线中与直线垂直的一条是（ ）ABCD【答案】A【解析】由题意利用两条直线垂直的判断方法，得出结论.【详解】解：已知直线的斜率为，而直线的斜率为，它与已知直线的斜率之积等于，故它和已知直线垂直，故满足条件，故A满足条件；而直线的斜率为，它与已知直线的斜率之积不等于，故它和已知直线不垂直，故不满足条件，故B不满足条件；而直线的斜率为，它与已知直线的斜率之积不等于，故它和已知直线不垂直，故不满足条件，故C不满足条件；而直线的斜率为，它与已知直线的斜率之积不等于，故它和已知直线不垂直，故不满足条件，故D不满足条件，故选：A.【点睛】本题考查两直线的垂直的判定，属于基础题.2双曲线的焦点坐标是（ ）ABCD【答案】B【解析】直接利用双曲线方程求解焦点坐标即可.【详解】解：双曲线，焦点在轴上，所以双曲线的焦点坐标为.故选：.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.3已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数a的值是ABCD【答案】B【解析】试题分析：圆化为标准方程为，所以圆心为（-1,1），半径，弦心距为 因为圆截直线所得弦长为4，所以故选B4已知实数x，y满足不等式组，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用平移法进行求解即可【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）.令得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大.即.当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小.即.故选：D.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属于基础题.5已知数列的前n项和为，则“（p、q是常数）”是“成等差数列”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也比不要条件【答案】C【解析】（p、q是常数），时，.时，可得.利用等差数列的通项公式及其性质即可判断出结论.【详解】解：（p、q是常数），时，.时，对于上式也成立.成等差数列，反之也成立.“（p、q是常数）”是“成等差数列”的充要条件.故选：.【点睛】本题考查了等差数列的定义、通项公式及求和公式及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）A若则B若，则C若，则D若，则【答案】B【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确.【考点】空间点线面位置关系7已知、是椭圆（）的短轴和长轴，点E是椭圆弧上异于B的任意一点，将坐标平面沿x轴折叠成大小为（）的二面角，记，则（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意画出图形，利用直线与平面所成角是直线与平面内所有直线所成角的最小角得答案.【详解】解：如图，折叠后，都与x轴垂直，看作是椭圆弧所在平面的一条斜线，其射影为，则为平面的一条斜线与平面所成角，而为平面内的一条与不重合也不平行的直线，为与所成角，根据直线与平面所成角是直线与平面内所有直线所成角的最小角，可知.故选：.【点睛】本题考查椭圆的性质，考查空间中直线与直线、直线与平面所成角的关系，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题8在平面直角坐标系内，已知，动点M满足，且M在直线上.若满足条件的点M是唯一的，则（ ）ABCD【答案】A【解析】先求出动点M的轨迹方程为圆，结合题意利用直线和圆相切，求出a即可.【详解】解：设动点，由题意得，化简可得：，动点M的轨迹方程为.曲线C是以为圆心，2为半径的圆，且M在直线上，故直线与圆相切，且切点为，由，得，故选：A.【点睛】本题考查动点的轨迹方程以及直线与圆相切求参数的值，属于中档题.9正方形沿对角线折成直二面角，下列结论：与所成的角为：与所成的角为：与面所成角的正弦值为：二面角的平面角正切值是：其中正确结论的个数为（ ）A4B3C2D1【答案】A【解析】取中点O，连结，以O为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法和空间中线线、线面、面面间的位置关系逐一判断四个命题得结论.【详解】解：取中点O，连结，正方形沿对角线折成直二面角，以O为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设，则，异面直线与所成的角为，故正确：，故正确：设平面的一个法向量为，由，取，得，设与面所成角为，则，故正确：平面的法向量，设平面的法向量，则，取，得，.二面角的平面角正切值是：，故正确.故选：A.【点睛】本题考查利用空间向量法解决立体几何中的问题，属于综合题.10设双曲线（，）的左、右焦点分别为，.若左焦点关于其中一条渐近线的对称点位于双曲线上，则该双曲线的离心率e的值为（ ）AB3CD5【答案】C【解析】设左焦点，渐近线方程为，对称点为，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值.【详解】解：设，渐近线方程为，对称点为，即有，且，解得，将，即，代入双曲线的方程可得，化简可得，即有，解得.故选：C.【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题二、填空题11经过两点A(2,3)，B(1,4)的直线的斜率为_，倾斜角为_【答案】1 135 【解析】由斜率定义式得k1，再结合斜率与倾斜角关系得倾斜角【详解】由斜率定义得k=1，设倾斜角为,则tan故，即135故答案为1 ； 135【点睛】本题考查直线的斜率及倾斜角，熟记斜率与倾斜角关系是关键，是基础题12已知椭圆C：，则该椭圆的长轴长为_：焦点坐标为_.【答案】8 【解析】利用椭圆方程求解a，b，c，推出结果即可.【详解】解：椭圆C：，可得，且焦点在轴上，则该椭圆的长轴长：，焦点坐标故答案为：；.【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，属于基础题.13某几何体的三视图如图所示（单位：)，则该几何体最长的一条棱的长度是_；体积为_.【答案】 【解析】【详解】几何体为一个四棱锥P-ABCD，如图，最长的一条棱的是P,长度 ,体积为14如图所示，分别在平面和平面内，在与的交线l上取线段，则与所成的角为_：二面角的大小为_.【答案】 【解析】作出图形，由异面直线所成角及二面角的定义直接可以得解.【详解】解：如图，在平面内过点A作，且，又，则为矩形，连接，又，平面，平面，平面，即，则与所成的角为：又，则，又，为二面角的平面角，又，则.故答案为：；.【点睛】本题考查二面角的计算，属于中档题.15在平面区域内含有一个圆，当圆的面积最大时圆记为，则的方程为_.【答案】【解析】先画出该平面区域，明确区域所围成的平面图形的形状，再由面积最大的圆则为该平面图形的内切圆.再由圆的相关条件求圆的方程.【详解】解：画出该区域得三角形，顶点坐标分别为，且为直角三角形，三边长分别为，由于面积最大，故圆M是内切圆，：设，则：解得，：所以圆M的方程为.故答案为：.【点睛】本题主要考查平面区域的画法，三角形的内切圆的几何性质以及圆的切线的应用还考查了数形结合的思想方法，属于中档题16已知过椭圆C：的左焦点F的直线交C于A，B两点，若恒成立，则k的最大值为_.【答案】【解析】由题意画出图形，再由，结合椭圆上的点右端点到左焦点的距离最大求解.【详解】解：如图，由椭圆C：，得，.，的最大值为，的最大值为，又恒成立，则k的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查数学转化思想方法，属于基础题17在平面直角坐标系中，已知点，从直线上一点P向圆引两条切线，切点分别为C，D.设线段的中点为M，则线段长的最小值为_.【答案】【解析】根据题意，求出直线的方程，设，分析可得点C、D在以为直径的圆上，求出以OP为直径的圆的方程，分析可得所在直线方程为：，又由直线的方程，联立3个方程可得点M的轨迹方程，结合点与圆的位置关系分析可得答案.【详解】解：根据题意，则直线的方程为，设，则，如图：又由，则点C、D在以为直径的圆上，又由的中点即该圆圆心为，其半径为，则以为直径的圆的方程为，联立两圆的方程，可得所在直线方程为：，又由线段的中点为M，则直线：，联立消去，可得M的轨迹方程为，其圆心为，半径：又由，则的最大值为：故答案为：【点睛】本题考查轨迹方程的计算以及应用，涉及直线与圆的位置关系，关键是分析点的轨迹，属于综合题三、解答题18已知直线，圆.（1）试证明：不论为何实数，直线和圆总有两个交点；（2）求直线被圆截得的最短弦长.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题解析：（1）因为不论k为何实数，直线l总过点A（1,0），而,所以点A在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点（2）由几何性质过点A（1,0）的弦只有和AC垂直时最短，而此时点A（1，0）为弦的中点，由勾股定理，弦长为，【考点】本题考查直线与圆的位置关系点评：解决本题的关键是利用圆的几何性质解题19如图，正方形所在平面，M是的中点，二面角的大小为.（1）设l是平面与平面的交线，证明；（2）在棱是否存在一点N，使为的二面角.若不存在，说明理由：若存在，求长.【答案】（1）见解析（2）存在，【解析】（1）先证明平面，再利用线面平行的性质即得证；（2）易知二面角的平面角，由此建立空间直角坐标系，并求出各点的坐标，设，求出平面的法向量，根据的二面角为，建立方程，解出即可得出结论.【详解】解：（1）证明：四边形为正方形，又在平面内，不在平面内，平面，又平面过直线，且平面平面，：（2）正方形所在平面，易知二面角的平面角即为，以A为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方形的边长为2，则，设，易得平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，又，则，则可取，解得，故存在存在一点N，使为的二面角，且.【点睛】本题考查线面平行的性质，及利用空间向量求解二面角问题，考查运算能力及逻辑推理能力，属于中档题20已知抛物线C：，过焦点F的直线l与抛物线C交于M，N两点.（1）若直线l的倾斜角为，求的长；（2）设M在准线上的射影为A，求证：A，O，N三点共线（O为坐标原点）.【答案】（1）8；（2）见解析【解析】（1）由题意知直线l的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长：（2）设直线l的方程与抛物线联立求出两根之积，得出纵坐标之间的关系，求出，的斜率，值相等，结合两直线有公共点O可得三点共线.【详解】解：（1）由题意知抛物线的焦点，直线l的倾斜角为，则直线的斜率为1，所以直线l的方程：，设，联立直线与抛物线的方程整理得：，所以，所以弦长，所以的长为8；（2）显然直线l的斜率不为0，设直线方程为：，设，由题意知，联立直线与抛物线的方程整理为：，因为，又有公共点，所以A，O，N三点共线.【点睛】考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题21如图，设矩形所在平面与梯形所在平面相交于.若，.（1）求证：；（2）若，求与面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）连结、，交于点O，连结，从而是边长为1的正三角形，取中点G，连结，连结，从而，由此能求出平面，由此能证明.（2）过B作，交于点H，连结，以H为原点，为x轴，为y轴，过H作平面的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出与面所成角的正弦值.【详解】解：（1）证明：连结、，交于点O，连结，矩形所在平面与梯形所在平面相交于.，.，是边长为1的正三角形，取中点G，连结，连结，平面，平面，平面，平面，.（2）解：，三棱锥和三棱锥都是棱长为1的正四面体，过B作，交于点H，连结，以H为原点，为x轴，为y轴，过H作平面的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，平面的法向量，设与面所成角为，则，与面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题22如图，椭圆的离心率为，点是椭圆内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与椭圆相交于点，与椭圆相交于点当点恰好为线段的中点时，（1）求椭圆的方程；（2）求的最小值【答案】（1）；（2