2014年苏州市高考数学有奖竞猜题(第二稿）.doc

2009年苏州市高考数学有奖竞猜40题（内部资料 请勿外传）一、填空题1. 正方体的俯视图如图，则其左视图的面积为 （江苏省木渎高级中学吴亭 改编）答案：提示： 正方体的放置如图：则左视图为对角面，所以面积为2. 三边长分别为的直角的斜边的两端点分别在两坐标轴上滑动记 的外接圆圆心为，某区域内的动点满足，则区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）个数是_（吴中区苏苑中学 杨品方 原创）答案：68提示：圆心到原点的距离为斜边的一半，即5，则点轨迹是圆心在原点半径为5的圆，点到点的距离不超过1，则的活动范围即区域是一个圆环，圆心在原点，半径分别为4和6的两个圆所组成的圆环画出图形，第一象限内，圆环内的整点有14个，分别为 ，对称到其它三个象限，共56个；还有坐标轴上的点，如轴正半轴上的点，共12个所有满足条件的点的个数是68 3. 中，A、B分别对应复数，点C位于以A、B为焦点，长轴长是4的椭圆上，且，点P对应的复数为且满足=，则_ （新区一中吕有杰改编）答案：解：由已知得为直角三角形，或点P在线段AB的垂直平分线（即y轴）上，设原点为O，则=4. 已知、是平面内两个单位向量，若向量满足，则的最大值是 （新区一中顾日新改编）答案：解：不妨设 则点C的轨迹是以线段AB为直径的圆，其圆心M的坐标为则原点到圆心的距离：OM= =半径=所以 =若，则当且仅当时取“=”， 此时；若，则当且仅当时取“=”， 此时故的最大值是5. 已知函数，若对于任意的，都存在使得，则实数的范围为 （吴县中学 潘九洲 原创）答案：解：因为，对于任意的，都存在使得，的值域包含的值域，则6. ABC内接于以O为圆心的圆，且，则的面积 (苏大附中 徐开 改编) 答案：解：如图，,则,易得，且,所以7. 某同学在计算的值时，发现了可用如下的方法： 将以上各式分别相加得： （1）即：他欲类比上述求法，试图求出的值，在类比求解的过程中，（1）式可以类比得到：_（相城实验中学 万福昌 原创题）答案：解： （1） 式可以类比得到：8. 用电脑浏览网页时，经常会跳出移动着的广告，当鼠标点在广告的区域中时，就会打开广告，如使用的电脑屏幕的大小是15英寸，(电脑屏幕的大小是指屏幕的对角线的长度，其长与宽的比值满足标准黄金分割为16：9；英寸2.54cm)，若广告是10cm7.5cm的矩形，则在浏览网页时，点开广告的概率是_(结果保留一位小数) (吴江市高级中学 陆颖 原创)答案：0.1解：由题意得电脑屏幕的长：宽=16：9，分别设为16，9， 屏幕对角线的长度为15英寸=15254=381cm，所以 解得， 屏幕长为33.6，宽为18.9， 所求的概率是9. 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线：的准线与y轴交于点A，以点A为圆心，焦准距大2为半径做圆，交曲线于点B，若曲线与圆A在点B处的切线互相垂直，则_(吴江市高级中学 韩保席 改编)答案：解：由题意得：圆A方程为， 曲线：，设点B（），则，解之得10. 如图1，在等腰直角ABC中，点M，N分别是AB、BC的中点，P点是ABC（包括边界）内任一点，则的取值范围是 (吴江市高级中学 韩保席 原创 )CABMNP图1CABMNP图2答案：解：如图2所示，建立平面直角坐标系，设，则，由易求得：，所以，令，即求的取值范围由线性规划知识可知当过B时最大，当过A时最小于是，即11. 如图，正方形的边长为1，分别作边上的三等分点，得正方形，再分别取上的三等分点，得正方形，如此继续下去，得正方形，记正方形的面积为，则数列的前项的和 （吴江市松陵高级中学 金晔 改编）答案：12. 已知A(-2，0)，B(2，0)，P是直线x=1上一动点，则以A、B为焦点，且过点P的双曲线的离心率的取值范围是 (昆山中学 薛国清 原创)答案：eABCDFGHIE解： A、O关于直线x=-1对称， e=，POB中，=2 ，e13. 古希腊大数学家欧几里得借助下图证明了勾股定理，即在RtABC（C=90）边 AB、BC 和 AC 之上分别画上三个正方形 ABGF、BCIH 和 ACDE，若ABC的面积为定值S，则多边形DEFGHI的面积的最小值是 (昆山中学 薛国清 原创) 答案：12S解：SAEF= SBGH=SCID=SABC，SDEFGHI=4S+a2+b2+c2=4S+2(a2+b2)4S+4ab=12S14. 双曲线的左右焦点分别为，为左支上一点，点在右准线上，且满足,，则该双曲线的离心率为 （昆山中学顾美花 原创）答案：e2解：由已知条件，四边形为菱形，所以，由椭圆的定义知，由椭圆的第二定义得，解得（舍去）15. 已知全集，集合，则集合所表示的平面区域面积为 （震川高级中学 李小峰 原创）答案：解答：集合中的方程可整理成直线，则定点到直线的距离为定值2，所以直线为定圆的所有切线，如图所示，则集合表示圆的外部及边界，所以集合的补集为圆的内部(不含边界)，故所求面积为16. 若不等式在上恒成立，则的取值范围为 （江苏省常熟中学 周文英原创）答案：解：不等式即为在恒成立而函数的图像如右图：所以在上的最大值为1，所以17. 已知函数的定义域是，且，为的导数，且的图像如图所示，则平面区域所围成的面积是_（常熟市中学 夏国良改编）答案：418. 若函数满足对于任意的都有恒成立，则的取值范围是 （常熟市中学 夏国良改编）答案：19. 已知公差（1）的等差数列和公比为（）的等比数列若集合则_（常熟市练塘中学朱文军原创）答案：1620. 已知则满足条件的点所形成区域的面积为_（常熟市练塘中学朱文军原创）答案：121. 已知函数定义域是，值域是，则满足条件的整数对有 对（江苏省苏州市第十中学 吴锷 原创）答案： 5解：函数中，令，定义域为，又，为：（2，0），（2，1），（2，2），（1，2），（0，2），共有5对22. 设为等差数列的前n项和，已知，记，则使取得最大值的自然数n （江苏省苏州市第十中学 吴锷 原创）答案：8解：由，可知，且，是最小的正数项，是前n项和的最大值，以此取得最大值时的自然数n823. 2009年江苏省学业水平测试规定：考生一门科目得A，则可加1分，若四门科目均得A，则可加5分考生甲、乙参加四门科目考试每门得A的概率均为，则考生甲比考生乙多得2分加分的概率为 （江苏省苏州市第十中学 王 岳 原创)答案： 解：有三种情况： 甲得2A，乙没有A，； 甲得3A，乙得1A，； 甲得4A，乙得3A，；则甲比考生乙多得2分加分的概率为24. 已知函数和的定义域都是实数集，是奇函数，是偶函数，且当时，则不等式的解集是 （江苏省苏州市第十中学 徐青 改编)答案：25. 已知数列：依它的前项规律，此数列第2009项_ (张家港市暨阳高级中学罗建宇原创)答案：26. 已知中，的对边分别为，三角形的重心为，若有，则_(张家港市暨阳高级中学罗建宇原创)答案： 简析：27. 已知圆上两点,若，这_（苏州三中 雷虎珍 题）答案：28. 设函数，若时，不等式，则实数的取值范围是 （张家港外国语学校 戈永石 改编）答案：解：设，则为上的奇函数，且恒单调递增，则原不等式可化为，即：，所以恒成立，当时，当时，恒成立所以，而，所以29. 一束光线从平面直角坐标系中的点沿与轴垂直的方向发出，经过直线反射后在这些直线上分别得到一系列的投射点，设这些点的坐标为，则当这束光线经过第20次反射后，得到的投射点的坐标是_ （江苏省苏州市第十中学 朱嘉隽 改编）答案：（191，172）解：是以1为首项，4为公差的等差数列30. 设函数，若，不等式，恒成立，则正数的取值集合为_（苏州市田家炳中学 秦月新）答案： 二、解答题31. 设函数 ，（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）设A为锐角三角形ABC的一个内角，BC=2，求ABC面积的最大值（吴中区苏苑中学 艾建生 改编）解：=（1）的最小正周期，的单调递增区间：；（2），又，（当且仅当b=c时取等号）故ABC面积的最大值为232. 已知函数，是公差为的等差数列（1）设，比较与，以及与的大小，并依据合情推理给出一个一般性的结论（不必证明）（2）问是否存在实数，使方程存在唯一的实数根，若存在求出和的值，若不存在说明理由（吴中区苏苑中学 张国棣 原创）解：（1）易得，一般性的结论（）当且仅当时取“=”（可用数学归纳法证明，略）（2）当为奇数时，设，且时取“=” ，当且仅当取“=”号又，当且仅当时取“=”号，且，当时取“=”号同理： ，当时取“=”号，当时取“=”号又，当时取“=”号，且当时，有最小值当为偶数时，设，当且仅当取“=”号又，当且仅当时取“=”号，且，当时取“=”号同理：，当时取“=”号，当时取“=”号又，当时，有最小值又，当时，有最大值0，若使方程存在唯一的实数根，则为的最小值当为奇数时，；当为偶数时，33. 已知Sn是数列的前n项和，且数列满足（1）求数列和的通项公式；（2）设圆，若圆与圆外切，是各项都是正数的等比数列，设个圆的面积之和，求（江苏省木渎高级中学吴亭 改编）解：（1）由已知 得 ，得 ，数列 是一个以2为首项，2为公比的等比数列，则（2） 由题意： ，则，的公比 由得 34. 已知点是某直线上的点，以为圆心作圆所作的圆与轴交于和两点，记、的横坐标分别为、其中（1）证明是常数，并求数列的通项公式；（2）若l的方程为中是否存在直角三角形，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由(新区一中 盛邦南 改编)解：（1）因这顶点的等腰三角形，（1）从而由（2）（1）得，显然分别成等差数列（2）当n为奇数时，当n为偶数时，作轴于 要使（）ABMxyOE当时，方程（）无解当n为偶数时，有综上所述，当时，存在直角三角形35. 如图所示,已知圆交x轴分别于A,B两点,交y轴的负半轴于点M,过点M作圆E的弦MN（1）若弦MN所在直线的斜率为2,求弦MN的长；（2）若弦MN的中点恰好落在x轴上,求弦MN所在直线的方程；（3）设弦MN上一点P(不含端点)满足成等比数列(其中O为坐标原点),试探求的取值范围（苏州外国语学校 张锦成 原创）解：（1）在圆E的方程中令x=0,得M(0,1),又,所以弦MN所在直线的方程为,即圆心到直线MN的距离为,且,（2）因为,所以,代入圆E的方程中得由M(0,1), 得直线MN的方程为或易得,设,则由,得,化简得 由题意知点P在圆E内,所以,结合,得,解得从而=36. 设椭圆焦点坐标为F1（-c,0）, F2（c,0）,点Q是椭圆短轴上的顶点，且满足 （1）求椭圆的方程； （2）设A,B是圆与与y轴的交点，是椭圆上的任一点，求的最大值（3）设0是椭圆上的一个顶点，为圆的任一条直径，求证为定值(园区二中 耿道永 原创)解:（1），故a2=8+8=16,故椭圆方程为：（2）令x=0,得y=3或y=1故A（0，3）,B（0，1）设P（x,y）,则=（-x,3-y）(-x,1-y)=x2+(3-y)(1-y)= x2+y2-4y+3又，故x2=16-2 y2所以=16-2 y2+y2-4y+3=-2（y+1）2+21又，故y=-1时，取最大值21（3）方法一：故为定值方法二：设P（x0,y0）, E（x1,y1）,F（x2,y2）,N（0，2）,EF为直径，x1 +x2=0,y1+y2=4， =x1x2-(x1+x2)x+x02+y1y2-(y1+y2)y0+y02= x1x2+y1y2+x02 +y02-4y0设A是（2）中圆与y轴的交点，即A（0，3），则=0，即（x1,y1-3）（x2,y2-3）=0,即x1x2+y1y2-3(y1+y2)+9=0,x1x2+y1y2=3故= x02 +y02-4y0+3为定值37. 设函数在内的所有零点之和为(1)求、的值，并求数列的通项公式；(2)设数列满足条件：，求证：当时，（苏大附中 葛桂华 改编）解：令得或，故或（1）当时，则，或，得或，故；当时，则，或，得或，故；当时，或，得或，故（2）由（1）得，即由题意知是正整数，故，当时，故38. 已知：在区间上是增函数，求函数的减区间（吴江市青云中学 陈敬国 原创）解： 因为：在区间上是增函数所以在区间上恒成立，因为所以恒成立即在区间上恒成立令，则，因为所以恒成立，所以，所以（1） 当时，此时函数的减区间为（2） 当时，此时函数的减区间为当时，此时函数的减区间为39. 过点作C：的两条切线，分别为切点，的外接圆M被轴截得的弦记为，的最小值为（1）求数列的通项公式； （2）求证： （吴江市青云中学 陈敬国 原创）解：（1）由平面几何知识可知：的，的外接圆也就是四边形的外接圆，所以线段就是M的直径，设 ，M的方程为： ，令时，得的方程为：当时，取得最小，且的最小值为，即（2）因为，则OMNF2F1yx40. 如图，椭圆(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，M、N是椭圆右准线上的两个动点，且 （1）求证MON为锐角；（2）设椭圆的离心率为，MN的最小值为，求椭圆方程（常熟市练塘中学朱文军原创）解：（1）设椭圆的焦距为2c(c0)，则其右准线方程为x，且F1(c, 0),F2(c, 0)设M，则因为，所以，即 于是，故MON为锐角（2）因为椭圆的离心率为，所以a=2c， 于是M ，且MN2(y1y2)2y12+y222y1y2 当且仅当 y1y2或y2y1时取“=”号， 所以(MN)min= 2c2，于是c=1, 从而a2，b，故所求的椭圆方程是 41. 已知函数是在上的增函数，函数是在上的减函数（1）求实数的值；（2）求证：对任意的 ，总存在使得（江苏省沙溪高级中学 建新 改编）解：（1） 在上恒成立 ，即在上恒成立 ， 又在上恒成立， 即在上恒成立 （2）要证原命题成立，即证的值域A是的值域B的子集在上是减函数 在上为减函数 要使 即证 -*即证 令 则由 得 ，且在上为间减函数，在上为增函数, *式成立 原命题成立42. 设点为曲线上任一点，以点为圆心的圆与轴交于点，与轴交于点、（1）证明：多边形的面积是定值，并求这个定值；（2）设直线与圆交于点，若，求圆的方程（江苏省苏州市第十中学 吴锷 原创）解: （1）点,因为以点为圆心的圆与轴交于点，与轴交于点、所以,点是直角坐标系原点,即 于是圆的方程是 则 由知,圆心在斜边上,于是多边形为, 其面积 所以多边形的面积是定值，这个定值是 (2) 若,则在的垂直平分线上,即是的垂直平分线，,所以由得, 所以圆的方程是 43. 已知，动点A与B，C两点的距离之和为10，过点A作线段BC的垂线,垂足为D,设，（1）求的函数表达式及函数的定义域；（2）设，试求d的取值范围 （江苏省苏州市第十中学 王 岳 原创)解:（1）由椭圆的定义知,动点A的轨迹是以B，C为焦点,长轴长为10的椭圆, 点A的轨迹方程为 设,则 又 , , 代入椭圆方程得: ,由, 的定义域为2,8（2）, 令, 则, , 说明:本题第（2）小问也可以利用导数求解44. 如果无穷数列对于，都有，求证为等差数列 （苏州市第一中学 倪红 改编)解: ，即：，;又由，为等差数列45. 已知 （）求的值；（）设点时，求实数的值（张家港高级中学赵松原创）解：（1） （2）过作于，于为外心 分别为中点，又由且，得46. 如图,正方形ABCD边长为2,内切圆为,点P是上任意一点(1) 求的值；(2) 求证: （苏州中学 王思俭 原创）(1)解:设正方形内切圆半径为r，则r=1=，又,(2)证明建立如图的直角坐标系， , ,47. 某人去参加抽奖游戏，主持人将三个箱子放在他面前，其中一个里面装有1000元奖金，主持人是知道哪个箱子有奖金的现在让他选一个箱子，主持人打开另外2个箱子中的一个空箱子，给那个抽奖的人看，然后问他，是不是要更改她的选择（1）试用数学方法说明那个参加抽奖的人是该更改选择呢？（2）如果该抽奖人已经得奖，主持人提出2种方案：一、就此结束游戏，得到1000元奖金；二、继续游戏，抛掷一枚硬币，正面向上则奖金翻倍，反面向上则奖金减半该抽奖人是否继续游戏，用数学方法说明理由（昆山中学 秦春勇 原创）解：（1）不更改而中奖的概率为;更改而中奖的概率即为第一次没选到有奖金箱子的概率，为（2）不继续游戏获奖金的数学期望为1000元；继续下去获奖金的数学期望为：元所以应该继续游戏48. 已知函数在处的切线方程为（1）证明：方程有且只有一个实根；（2）若，试证明：；（3）求证：当时，有（江苏省常熟中学陈志江原创）解：（1），由条件得，解得，即，所以方程即为设，且当时，故在上单调递增；当时，故在上单调递减，所以当时，有，即故方程有且只有一个实根（2）由（）知，故不等式即为，由，将不等式两边取对数，只要证，即证（）构造函数，则，显然，设，故上为减函数，所以从而，所以上为单调递减函数，因为，所以，即（）式成立，结论得证（3）由（2）知当时，有令，则有，所以当时，有，即当时，有，即当时，有由得当时，有，即49. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，E为棱CC1上的的动点（1）求证：A1EBD；（2）当E恰为棱CC1的中点时，求证：平面A1BD平面EBD；(3)在（2）的条件下，求证明：（1）连AC，A1C1 正方体AC1中，AA1平面ABCD ， AA1BD 正方形ABCD， ACBD且ACAA1=A BD平面ACC1A1 且ECC1A1E平面ACC1A1BDA1E （2）设ACBD=O，则O为BD的中点，连A1O，EO 由（1）得BD平面A1ACC1 ，BDA1O,BDEO 即为二面角A1-BD-E的平面角 AB=a，E为CC1中点，A1O=，A1E=，EO= A1O2+OE2=A1E2A1OOE 平面A1BD平面BDE (3)由（2）得A1O平面BDE 且A1O=，又， V= 50. 如图1，等腰梯形中，是的中点，如图2，将三角形沿折起，使平面平面，、分别是和的中点（1）求证：(2)点M在四边形的内部及边