立体几何基础题题库401-450.doc

学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网立体几何基础题题库401-450（有详细答案）401. 如图在ABC中，ACB90，BCa,ACb,D是斜边AB上的点，以CD为棱把它折成直二面角ACDB后，D在怎样的位置时，AB为最小，最小值是多少?解析： 设ACD，则BCD90-，作AMCD于M，BNCD于N，于是AMbsin,CNasin.MNasin-bcos，因为ACDB是直二面角，AMCD，BNCD，AM与BN成90的角，于是AB.当45即CD是ACB的平分线时，AB有最小值，最小值为.402.自二面角内一点分别向两个面引垂线，求证：它们所成的角与二面角的平面角互补.已知：从二面角AB内一点P，向面和分别引垂线PC和PD，它们的垂足是C和D.求证：CPD和二面角的平面角互补.证：设过PC和PD的平面PCD与棱AB交于点E，PC，PDPCAB，PDABCEAB，DEAB又CE，DE，CED是二面角AB的平面角.在四边形PCED内：C90，D90CPD和二面角AB的平面CBD互补.403.求证：在已知二面角，从二面角的棱出发的一个半平面内的任意一点，到二面角两个面的距离的比是一个常数.已知：二面角ED，平面过ED，A，AB，垂足是B.AC，垂足是C.求证：ABACk(k为常数)证明：过AB、AC的平面与棱DE交于点F，连结AF、BF、CF.AB，AC.ABDE，ACDE.DE平面ABC.BFDE，AFDE，CFDE.BFA，AFC分别为二面角DE，DE的平面角，它们为定值.在RtABF中，ABAFsinAFB.在RtAFC中，ACAFsinAFC，得：定值.404. 如果直线l、m与平面、满足l，l,m和m.那么必有( )A.且lm B.且mC.m且lmD.且解析：m,m. .又m,l. ml.应选A.说明 本题考查线面垂直、面面垂直及综合应用推理判断能力及空间想象能力.405. 如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABC，ABa,AD3a,且ADCarcsin，又PA平面ABCD，APa.求：(1)二面角PCDA的大小(用反三角函数表示)；(2)点A到平面PBC的距离.解析：(1)作CDAD于D，ABCD为矩形，CDABa，在RtCDD中.ADCarcsin,即DDCarcsin，sinCDDCDa DD2aAD3a,ADaBC又在RtABC中，ACa,PA平面ABCD，PAAC，PAAD，PAAB.在RtPAB中，可得PBa.在RtPAC中，可得PCa.在RtPAD中，PDa.PC2+CD2(a)2+(a)8a2(a)2cosPCD0，则PCD90作PECD于E，E在DC延长线上，连AE，由三垂线定理的逆定理得AECD，AEP为二面角PCDA的平面角.在RtAED中ADEarcsin，AD3a.AEADsinADE3aa.在RtPAE中，tanPEA.AEParctan，即二面角PCDA的大小为arctan.(2)ADPA，ADAB，AD平面PAB.BCAD，BC平面PAB.平面PBC平面PAB，作AHPB于H，AH平面PBC.AH为点A到平面PBC的距离.在RtPAB中，AHa.即A到平面PBC的距离为a.说明 (1)中辅助线AE的具体位置可以不确定在DC延长线上，而直接作AECD于E，得PECD，从而PEA为所求，同样可得结果，避免过多的推算.(2)中距离的计算，在学习几何体之后可用“等体积法”求.406. 如图，在二面角l中，A、B，C、Dl，ABCD为矩形，P，PA，且PAAD，M、N依次是AB、PC的中点.(1)求二面角l的大小；(2)求证：MNAB；(3)求异面直线PA与MN所成角的大小.解析：(1)连PD，ABCD为矩形，ADDC，即ADl.又PAl，PDl.P、D，则PDA为二面角l的平面角.PAAD，PAAD，PAD是等腰直角三角形，PDA45，即二面角l的大小为45.(2)过M作MEAD，交CD于E，连结NE，则MECD，NECD，因此，CD平面MNE，CDMN.ABCD，MNAB(3)过N作NFCD，交PD于F，则F为PD的中点.连结AF，则AF为PAD的角平线，FAD45，而AFMN，异面直线PA与MN所成的45角.407. 如图，在三棱柱ABCABC中，四边形AABB是菱形，四边形BCCB是矩形，CBAB.(1)求证：平面CAB平面AAB；(2)若CB2，AB4，ABB60，求AC与平面BCCB所成角的大小.(用反三角函数表示)解析：(1)在三棱柱ABCABC中，CBCB，CBAB.CBBB，ABBBB，CB平面AAB.CB平面CAB，平面CAB平面AAB(2)由四边形AABB是菱形，ABB60，连AB，可知ABB是正三角形.取 B B中点H，连结AH，则AHBB.又由CB平面AAB，得平面AABB平面 CBBC，而AH垂直于两平面交线BB，AH平面CBBC.连结CH，则ACH为 AC与平面BCCB所成的角，AB4，AH2，于是直角三角形CBA中，AC5，在RtAHC中，sinACHACHarcsin,直线AC与平面BCCB所成的角是arcsin.408. 已知四棱锥PABCD，它的底面是边长为a的菱形，且ABC120，PC平面ABCD，又PCa，E为PA的中点.(1)求证：平面EBD平面ABCD；(2)求点E到平面PBC的距离；(3)求二面角ABED的大小.(1)证明: 在四棱锥PABCD中，底面是菱形，连结AC、BD，交于F，则F为AC的中点.又E为AD的中点，EFPC又PC平面ABCD，EF平面ABCD.EF平面EBD.平面EBD平面ABCD.(2)EFPC，EF平面PBCE到平面PBC的距离即是EF到平面PBC的距离过F作FHBC交BC于H，PC平面ABCD，FH平面ABCDPCFH.又BCFH，FH平面PBC，则FH是F到平面PBC的距离，也是E到平面PBC的距离.FCH30，CFa.FHCFa.(3)取BE的中点G，连接FG、AG由(1)的结论，平面BDE平面ABCD，AFBD，AF平面BDC.BFEF，FGBE，由三垂线定理得，AGBE，FGA为二面角DBEA的平面角.FGa,AFa.tgFGA,FAGarctg即二面角ABED的大小为arctg409. 若ABC所在的平面和A1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O，求证：(1)AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内；(2)如果AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别相交，那么交点在同一直线上(如图).(1)证明：AA1BB1O,AA1、BB1确定平面BAO，A、A1、B、B1都在平面ABO内，AB平面ABO；A1B1平面ABO.同理可证，BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内.(2)分析：欲证两直线的交点在一条直线上，可根据公理2，证明这两条直线分别在两个相交平面内，那么，它们的交点就在这两个平面的交线上.证明：如图，设ABA1B1P；ACA1C1R； 面ABC面A1B1C1PR. BC面ABC；B1C1面A1B1C1，且 BCB1C1Q QPR,即 P、R、Q在同一直线上.410. 点P、Q、R分别在三棱锥A-BCD的三条侧棱上，且PQBCX,QRCDZ,PRBDY.求证：X、Y、Z三点共线.解析： 证明点共线的基本方法是利用公理2，证明这些点是两个平面的公共点.证明 P、Q、R三点不共线，P、Q、R三点可以确定一个平面. XPQ，PQ，X，又XBC，BC面BCD，X平面BCD. 点X是平面和平面BCD的公共点.同理可证，点Y、Z都是这两个平面的公共点，即点X、Y、Z都在平面和平面BCD的交线上.411. 直线m、n分别和平行直线a、b、c都相交，交点为A、B、C、D、E、F，如图，求证：直线a、b、c、m、n共面.解析： 证明若干条直线共面的方法有两类：一是先确定一个平面，证明其余的直线在这个平面里；二是分别确定几个平面，然后证明这些平面重合.证明 ab,过a、b可以确定一个平面.Aa,a，A,同理Ba.又Am，Bm,m.同理可证n.bc,过b,c可以确定平面，同理可证m.平面、都经过相交直线b、m,平面和平面重合，即直线a、b、c、m、n共面.412. 证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内.已知：如图，直线l1，l2，l3，l4两两相交，且不共点.求证：直线l1，l2，l3，l4在同一平面内解析：证明几条直线共面的依据是公理3及推论和公理1.先证某两线确定平面，然后证其它直线也在内.证明：图中，l1l2P， l1,l2确定平面.又 l1l3A,l2l3C, C,A.故 l3.同理 l4. l1,l2,l3,l4共面.图中，l1,l2,l3,l4的位置关系，同理可证l1,l2,l3,l4共面.所以结论成立.413. 证明推论3成立.（如图）已知：ab，求证：经过a,b的平面有且只有一个.证明：(存在性)ab，由平行线的定义知：a、b共面，所以经过a、b的平面有一个.(唯一性)，在a上取两点A、B，在b上取一点C.ab,A、B、C三点不共线，由公理3知过A、B、C三点的平面只有一个，从而过a,b两直线的平面也是惟一的.414.一条直线过平面内一点与平面外一点，它和这个平面有几个公共点?为什么?解析：只有一个，假设有两个公共点，由公理1知该直线上所有点都在这个平面内，这和直线过平面外一点矛盾.415.过已知直线外一点与这条直线上的三点分别画三条直线，证明：这三条直线在同一平面内.解答：已知：Aa，如图，B、C、Da，证明：AB、AC、AD共面.证明：Aa，A，a确定平面，B、C、Da，a.B、C、D又A.AB、AC、AD.即AB、AC、AD共面.416. 空间可以确定一个平面的条件是( )A.两条直线 B.一点和一直线C.一个三角形D.三个点解析： 由推论2和推论3知两条相交直线或者两条平行直线才确定一个平面，两条直线还有位置关系异面.故排除A，由推论1知点必在线外才合适，排除B.由公理3知不共线三点可确定一个平面，D中三个点不一定不共线，排除D.公理3结合公理1，知选C.417. 下列命题正确的是( )A.经过两条直线有且只有一个平面B.经过一条直线和一个点有且只有一个平面C.如果平面与有三个公共点，则两个平面一定是重合平面D.两个平面、有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线解析：根据公理2、公理3知选D.418. 已知四点，无三点共线，则可以确定( )A.1个平面B.4个平面C.1个或4个平面D.无法确定解析： 因为无三点共线，所以任意三个点都可以确定平面，若第四个点也在内，四个点确定一个平面，当第四个点在外，由公理3知可确定4个平面.故选C.419. 已知球的两个平行截面的面积分别为5和8，它们位于球心的同一侧且相距是1，那么这个球的半径是( )A.4B.3C.2D.5解析： 如图，设球的半径是r，则BD25，AC28，BD25，AC28.又AB1，设OAx.x2+8r2,(x+1)2+5r2.解之，得r3故选B.420. 在桌面上有三个球两两相切，且半径都为1，在桌面与三球间放置一个小球，使它与三个球相切.求此小球半径.解析： 如图，球O为放置在桌面上与已知三球相切的半径为r的小球，过O作O1O2O3平面的垂线，垂足为H，它一定是O1O2O3的中心，连接O1H，O1O，在RtO1OH中，O1H，OH1-r,OO11+r,OO12O1H2+OH2，即(1+r)2()2+(1-r)2，解得r.421. 地球半径为R，在北纬45圈上有A、B两点，它们的经度差为，求球面上A、B两点间球面距离.解析：本题关键是求出AOB的大小，(如图1)现在我们将这个球的截面问题转化为较为熟悉的长方体问题.如图2，以O1O，O1A，O1B为三条相互垂直的棱，可构造一个长方体，问题转化为长方体截面ABO内求BOA的问题.解： 如图2，O1OAO1OB，OAOBR，OO1O1AO1BR AB2O1A2+O1B2R， AOB为等边， AOB，A、B间的球面距离为R.422. 一个圆在平面上的射影图形是( )A.圆B.椭圆C.线段D.圆或椭圆或线段解析：D423. 两面都是凸形的镜中，它的面都是球冠形，球半径分别为10cm和17cm，两球心间的距离为21cm，求此镜面的表面积和体积.解析：轴截面如图，设O2Cx，则CO121-x,ABO1O2 AO22-O2C2AO12-CO12，即102-x2172-(21-x)2，解得x6,CO115,又设左边球缺的高为h1,右边的球缺高为h2，则h117-152,h210-64,S表2(172+104)148(cm)2,V22(310-2)+42(317-4)288(cm3).424. 正三棱锥的底面边长是2cm，侧棱与底面成60角，求它的外接球的表面积.解析：如图，PD是三棱锥的高，则D是ABC的中心，延长PD交球于E，则PE就是外接球的直径，ADAB，PAD60，PDADtan602,PA，而APAE，PA2PDPE，R，S球(cm)2.425. 求证：球的外切正四面体的高是球的直径的2倍.证明： 设球的半径为R，正四面体的高为h，侧面积为S，则有VABCDVOABC+VOABD+VOBCD，如图，即Sh4SR,h4R.426. 地球半径为R，A、B两地都在北纬45线上，且A、B的球面距离为，求A、B两地经度的差.解析：如图，O为球心，O1为北纬45小圆的圆心，知A、B的球面距离，就可求得AOB的弧度数，进而求得线段AB的长，在AO1B中，AO1B的大小就是A、B两地的经度差.解： 设O1是北纬45圆的中心，A、B都在此圆上，O1AO1BR.A、B的球面距离为，AOB,AOB为等边三角形.ABR，在AO1B中，O1A2+O1B2R2+R2R2AB2，AO1B90.A、B两地的经度差是90.评析：注意搞清纬度和经度的问题，球面距离三步骤的运用是非常重要的问题.427. 已知圆锥的母线长为l，母线对圆锥底面的倾角为，在这个圆锥内有一内切球，球内又有一个内接的正方体，求这个内接正方体的体积.解析：设球半径为R，以内接正方体对角面为轴截面，如图.连接OA，OAD，RODADtan,VAl,ADlcos,Rlcostan,又设正方体棱长为x，则3x2EG24R2,xR.V正方体(lcostan)3.428. 如图，过半径为R的球面上一点P作三条两两垂直的弦PA、PB、PC，(1)求证：PA2+PB2+PC2为定值；(2)求三棱锥PABC的体积的最大值.解析：先选其中两条弦PA、PB，设其确定的平面截球得O1，AB是O1的直径，连PO1并延长交O1于D，PADB是矩形，PD2AB2PA2+PB2，然后只要证得PC和PD确定是大圆就可以了.解： (1)设过PA、PB的平面截球得O1，PAPB，AB是O1的直径，连PO1并延长交O1于D，则PADB是矩形，PD2PA2+PB2.设O为球心，则OO1平面O1，PCO1平面，OO1PC，因此过PC、PD的平面经过球心O，截球得大圆，又PCPD.CD是球的直径.故 PA2+PB2+PC2PD2+PC2CD24R2定值.(2)设PA、PB、PC的长分别为x、y、z，则三棱锥PABC的体积Vxyz，V2x2y2z2()3R6.VR3.即 V最大R3.评析：定值问题可用特殊情况先“探求”，如本题(1)若先考虑PAB是大圆，探求得定值4R2可为(1)的证明指明方向.球面上任一点对球的直径所张的角等于90，这应记作很重要的性质.429. 求棱长为a的正四面体的外接球和内切球的半径.解析：如图，作AH底面BCD于H，则AHa，设内切球的球心为O，半径为r，O点与A、B、C、D相连，得四个锥体，设底面为S，则每个侧面积为S，有4SrSAH，rAHa,设外接球心为O，半径R，过A点作球的半径交底面BCD于H，则H为BCD的外心，求得BHa,AHa,由相交弦定理得a(2R-a)(a)2.解得Ra.430.求证：球的任意两个大圆互相平分.证明：因为任意两个大圆都过球心O，所以它们必交于过球心的直径，这条直径也是两个大圆的公共直径，所以任意两个大圆互相平分.2.在球心的同一侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积各为49cm2和400cm2.求球的表面积.解： 如图，设球的半径为R，O2B249， O2B7同理 O1A20设OO1xcm，则OO2(x+9)cm.在RtOO1A中，可得R2x2+202在RtOO2B中，可得R272+(x+9)2x2+20272+(x+9)2解方程得 x15cmR2x2+202252S球4OA22500(cm2)431. 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过3个点的小圆的周长为4，那么这个球的半径为( )A.4 B.2 C.2 D. 解析： 设球半径为R，小圆半径为r，则2r4,r2.如图，设三点A、B、C，O为球心，AOBBOCCOA，又OAOBAOB是等边三角形同理，BOC、COA都是等边三角形，得ABC为等边三角形.边长等于球半径R，r为ABC的外接圆半径.rABR Rr2应选B.432. 已知球面上A、B、C三点的截面和球心的距离都是球半径的一半，且ABBCCA2，则球表面积是( )A.B.C.4D.解析： 如图，过ABC三点的截面圆的圆心是O，球心是O，连结AO、OO，则OO AO.ABC中，ABBCCA2，故ABC为正三角形.AO2设球半径为R，则OAR，OO在RtOAO中，OA2OO2+OA2，即R2+()2R球面面积为4R2应选A.说明 因为ROAOAAB1，所以球面积S4R24.从而选A.433. 长方体的一个顶点上的三条棱分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是( )A.20B.25C.50D.200解析： 正方体的对角线为l，球的半径为R，则l2R.得：l24R232+42+5250从而 S球4R250应选C.434. 在球面上有四个点P、A、B、C.如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PAPBPCa,那么这个球的表面积是 .解析：由已知可得PA、PB、PC实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱，正方体的对角线长就是球的直径，连结过点C的一条对角线CD，则CD过球心O，对角线CDa.S球表面积4(a)23a2.435. 圆柱形容器的内壁底半径为5cm，两个直径为5cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器内的水面将下降 cm.解析：球的体积等于它在容器中排开水的体积.解： 设取出小球后，容器水平面将下降hcm，两小球体积为V球252h,V1 V球即 25h hcm.应填.436. 空间四边形ABCD的四条边相等，那么它的两条对角线AC和BD的关系是（）A相交且垂直 B相交但不垂直C不相交也不垂直 D不相交但垂直解析：D取BD中点O，则BDAO，BDCO，故BD平面ACO，因此BDAC437. 已知a、b是异面直线，那么经过b的所在平面中（）A只有一个平面与a平行 B有无数个平面与a平行C只有一个平面与a垂直 D有无数个平面与a垂直解析：A过b上任一点P作直线，由和b确定的平面a 与a平行，这个平面是过b且平行于a的唯一一个平面故排除B当a与b不垂直时，假设存在平面b ，使bb ，且ab ，则ab，这与a、b不垂直矛盾，所以当a、b不垂直时，不存在经过b且与a垂直的平面，当a、b垂直时，过b且与a垂直的平面是唯一的，设a、b的公垂线为c，则由c和b所确定的平面与a垂直，且唯一438. 若直线l与平面a 所成角为，直线a在平面a 内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成的角的取值范围是（）A BC D解析：C因为直线l是平面的斜线，斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角，故a与l所成的角大于或等于；又因为异面直线所成的角不大于，故选C439. 直线a、b均在平面a 外，若a、b在平面a 上的射影是两条相交直线，则a和b的位置关系是（）A异面直线 B相交直线 C平行直线 D相交或异面直线解析：D440. ABCD是平面a 内的一个四边形，P是平面a 外的一点，则PAB、PBC、PCD、PDA中是直角三角形的最多有（）A1个 B2个 C3个 D4个解析：D作矩形ABCD，PA平面AC，则所有的三角形都是直角三角形441. 已知直线PG平面a 于G，直线EFa ，且PFEF于F，那么线段PE、PF、PG的关系是（）APEPGPF BPGPFPECPEPFPG DPFPEPG解析：C如图答9-17PGa ，EFa ，PFEF，则GFEF在RtPGF中，PF为斜边，PG为直角边，PFPG在RtPFE中，PF为直角边，PE为斜边，PEPF，所以有PEPFPG442. 下列命题中正确的是（）A若a是平面a 的斜线，直线b垂直于a在平面a 内的射影为，则abB若a是平面a 的斜线，平面b 内的直线b垂直于a在平面a 内的射影为，则a bC若a是平面a 的斜线，直线b平行于平面a ，且b垂直于a在平面a 内的射影，则abD若a是平面a 的斜线，b是平面a 内的直线，且b垂直于a在另一个平面b 内的射影，则ab解析：C如图答9-18，直线b垂直于a在平面a 内的射影，但不能得出ab的结论排除A令b 是直线a与其在a 内的射影确定的平面，在b 内取垂直于的直线为b，不能得出ab的结论排除B同理排除D如图答9-19，在a 内任取点P， ，则过b与P确定平面g ，设，因为ba ，则 ， ， ba于是C正确443. 设正方体的棱长为1，则（1）A到的距离等于_；（2）A到的距离等于_；（3）A到平面的距离等于_；（4）AB到平面的距离等于_解析：1）连接，AC，则，取的中点E，连结AE，则 AE为点A到直线的距离，在RtACE中， ， 即A到、C的距离等于（2）连结 AB平面， 在Rt中，AB=1，设A到的距离为h，则即， ，即点A到的距离为（3）连结交于F，则 CD平面，且AF平面， CDAF CDAD=D， AF平面 AF为点A到平面的距离 ， （4） ABCD， AB平面， AB到平面的距离等于A点到平面的距离，等于444. 已知正方体则（1）与平面ABCD所成的角等于_；（2）与平面ABCD所成的角的正切值等于_；（3）与平面所成的角等于_ ；（4）与平面所成的角等于_；（5）与平面所成的角等于_.解析：（1） 平面ABCD， 为与平面ABCD所成的角，=45（2） 平面ABCD， 为与平面ABCD所成的角设，则， （3） 平面， 平面， 与平面所成的角为0（4） 平面， 与平面所成的角为90（5）连结AC，交AD于H连结， 平面ABCD，CH平面ABCD， ，又 CHBD， CH平面 为在平面内的射影 为与平面所成的角设正方体棱长为1，则， ，即与平面所成的角为30445. 如图9-29，PA平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点求证：MNAB图9-29解析：连结AC，取AC中点O，连结OM，ON由OMBC，得OMAB又NOPA，且PAAB，故NOAB由此可得AB平面OMN因此MNAB446. 如图9-30，直线a、b是异面直线，它们所成角为30，为a、b的公垂线段，另有B在直线a上，且BA=2cm，求点B到直线b的