数学北师大版八年级下册平行四边形判定1.doc

第20章 平行四边形的判定内容综述本章知识概览 四边形是我们日常生活和生产实践中，应用广泛的又一种基本几何图形，它是在学习平行线、三角形等知识的基础上进一步深化和提高，是今后学习其他几何知识的基础 本章内容包括平行四边形的判定；矩形、菱形、正方形等几种特殊平行四边形的判定；等腰梯形的判定等几部分本章首先通过回顾平行四边形的性质，由其性质引出了判定方法，在此基础上，引出了矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形的判定，之后介绍了等腰梯形的判定与应用 本章的重点是掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有关判定方法，平行四边形与各种特殊平行四边形之间的联系和区别；难点是相关几何问题的证明网络构建学法点津 在探索平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的判别条件时，应积极动手操作和实验，在动手操作过程中进行总结、归纳，并加以应用如把矩形看成是由平行四边形的一边不动同时旋转其他三边使其中一角变为直角得到的；菱形是由平行四边形一边平移使相邻两边相等得到的；正方形是由菱形三边旋转使一角变为直角得到的这些图形既继承了原图形的性质又发展了新内容，这就要求我们在学习时要用运动变化的观点观察、分析问题，不断发现和总结新问题 研究总结平行四边形的判定方法时，可按边、角、对角线几方面，体会分类讨论的思想；在学习矩形、菱形、正方形判定时可与平行四边形对比去学，采用类比迁移的思想方法；在解决涉及梯形的问题时通常要把梯形转化为平行四边形或三角形的问题，准确添加辅助线是关键，理解和运用化归的思想和方法 在几何问题的证明中既要训练我们的综合分析、论证推理能力，又要加强我们的逻辑思维能力，学会利用由特殊到一般及由一般到特殊初步的辨证思想及方法技巧201 平行四边形的判定预习导航学案激活思维1小明想从一个平行四边形的纸片上剪三个三角形要求：其中两个三角形的面积相等，第三个三角形面积是这两个三角形面积的2倍他能实现愿望吗?(如图20一11)若能，请至少画出三种；若不能，给出合理的解释你认为还有其他分法吗?自己试试2两组对边分别_的四边形是平行四边形3平行四边形的两组对边分别_；平行四边形的一条对角线分平行四边形为_的两个三角形两条对角线_；平行四边形的每一组对角_4现有长短不一的两根木条，如何摆放移动，使木条的四个端点所在的位置构成一个平行四边形? 小明想了想动手摆放，移动操作拼成了如图20一l一2所示的三幅图形，并给出了部分说明把两根术条 把两根小条一个端点 把两根木条钉成的中点固定 固定成定角度，再 ABC，然后移 移动，使木条片AB 动使点A落在原 与原来位置上BA重 来点C处，点C合 落在原点A处你认为小明的做法正确吗?如正确，请给出依据，如不正确，说明理由5平行四边形的判别条件： (1)两组对边分别_； (2)两组对角分别_； (3)一组对边_； (4)两条对角线_6已知四边形ABCD，下列条件：(1)ABCD；(2)BCAD；(3)AB=CD；(4)BC=AD；(5)A=C；(6)B=D任选其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有 ( ) A4种 B9种 C13种 D15种提示：在所有的组合中，逐一排查看哪一组符合平行四边形的判定条件，注意不要漏掉正确的条件但所选条件一定要符合平行四边形的判定条件，也不能多选不符的 信息鼠标1如图20一13所示2平行3平行且相等面积相等(或全等) 互相平分 相等4三者都正确 图(1)的依据是对角线互相平分； 图(2)的依据是一组对边平行且相等：(CBA=BAC，所以BCAC，而AC=AC) 图(3)的依据是两组对边分别相等(变换后有AB=CB，BC=AB)5(1)平行(或相等)(2)相等(3)平行且相等(4)互相平分6B六个条件，两两组合有15种成立的情形有： a(1)与(2)一两组对边分别平行； b(3)与(4)一两组对边分别相等； c(5)与(6)一两组对角分别相等； d(1)与(3)，(2)与(4)一 一组对边平行且相等；e(1)与(5)，(1)与(6)，(2)与(5)，(2)与(6)一 一组对边平行，一组对角相等互动研学教练教材研学一、平行四边形的有关概念（如图2014） 1平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形四边形ABCD是平行四边形 2对角线：平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线AC为对角线 3平行四边形的表示法：四边形ABCD是平行四边形，记作“ABCD，读作“平行四边形ABCD” 注意：(1)表示平行四边形四个顶点的字母一定要按顺序写，不能颠倒位置；(2)运用定义和性质为证明线段或角相等提供了方便；（3)常见的辅助线是连接平行四边形的对角线，把未知问题化为三角形问题二、平行四边形的性质（如图2015） 1从边上看：平行四边形两组对边分别平行；平行四边形两组对边分别相等在平行四边形ABCD中： ADBC ABCD AD=BCAB=CD 2从角上看：平行四边形的两组对角分别相等，邻角互补 在平行四边形4BCD中： ABC=CDA，BAD=BCD， ABC+BAD=180 CDA+ BCD=180 3从对角线上看：平行四边形的两条对角线互相平分 在平行四边形ABCD中：OA=OC，OB=OD三、平行四边形的判定方法： 1按边：(1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 如图2016，ADBC，AD=BC四边形ABCD是平行四边形 (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形 如图20l一6，AD=BC，AB=CD四边形ABCD是平行四边形 (3)两组对边分别平行的四边形是平行四四边形 如图20一l一6，ADBC，ABCD四边形ABCD是平行四边形 2按角： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 如图2016，ABC=CDA，BAD=BCD四边形ABCD是平行四边形 按对角线： 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 如图2016，OA=OC，OB=0D四边形ABCD是平行四边形 注意：学习时要注意弄清什么时候用性质，什么时候用判定用哪一个判定条件，要根据具体问题，结合给出的条件，进行全面综合分析，灵活的运用老师：同学们，关于平行四边形的判定，除了我们学习过的以上方法外，还有什么其他方法吗?小弘：一组对边平行另一组对边相等的四边形也是平行四边形小哲：一组对边平行且有一组对角相等的四边形也是平行四边形老师：对于他们两人的说法，同学们有什么不同见解?小文：小弘说得不对，小哲说的对理由是： 如图2017(1)，虽然ABCD，AD=BC，但是四边形ABCD显然不是平行四边形；小哲的理由是： 在四边形ABCD中， 若ABCD，ABC=CDA成立， ABCD， ABC+BCD=180 ABC=CDA CDA+BCD=180 ADBC四边形ABCD是平行四边形 老师：这又是一种新的判别四边形ABCD是平行四边形方法请同学们记住。 四、平行四边形知识的应用：1运用平行四边形的性质求角的度数，线段的长度，证明线段相等或倍分 如图2018，小华要测量学校圆形花坛的直径AB的长，他制订了以下方案，在AB外选一点C，连接AC、BC，再找到AC和BC的中点，量出两中点的距离DE，就可以求出AB的长小华的方案具有可行性，其依据是三角形的中位线线平行于底边，且等于底边的一半这一依据正是平行四边形知识的应用 2先判定一个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的性质解决某些问题右栏例4就是这一问题的体现 本节的易错点是在判定的过程中，使用条件上的错误 五、探究活动我们学习了多种平行四边形的判定方法，方法越多，证题的思路越广 问题：在四边形中，如果有一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线，那么这个四边形是平行四边形吗? 分析：要说明四边形ABCD是平行四边形，就要看两条对角线是否互相平分；若不是平行四边形就可以举出反例 探究：如图20一l一9，在四边形ABCD中，ABCD，AC、BD交于点O，且OB=OD在OAB和OCD中，由ABCD，得ABO=CDO，BAO=DCO，OB=OD，则OABOCD，从而OA=OC，所以四边形ABCD是平行四边形 结论：在四边形中，如果有一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线，那么这个四边形是平行四边形点石成金例1已知，如图20110，四边形ABCD为平行四边形，A+C=80，平行四边形ABCD的周长为46 cm，且AB一BC=3 cm，求平行四边形ABCD的各边长和各内角的度数分析： 由平行四边形的对角相等，邻角互补可求得各内角的度数；由平行四边形的对边相等，得AB+BC=23 cm，解方程组即可求出各边的长。解：由平行四边形的对角相等，A+C=80，得AC40又DCAB，D与A为同旁内角互补， D=180一A180一40140B140由平行四边形对边相等，得ABCD，AD=BC因周长为46 am，因此AB十BC23 cm，而AB一BC=3 cm，得AB=13 cm，BC=10 cm， CD=13 amAD=10 cm名师点金：注意充分利用性质解题例2如图20111，在平行四边形ABCD中，E、F是直线BD上的两点，且DE=BF，你认为AE=CF吗?试说明理由分析：本题主要考查平行四边形的性质要证明AE=CF，可以把两线段分别放在两个三角形里，然后证明两三角形全等 解：AE=CF 理由：在平行四边形ABCD中， AB=CD且ABCDABE=CDF DE=BF， DE+BD=BF+BD，即BE=DF：ABECDF AE=CF 名师点金：利用平行四边形的性质解题时，一般要用到三角形全等等知识，此题还可以证明其他三角形全等来证明两线段相等例3如图20l12所示，在平行四边形ABCD中，EFAB。HG AD。EF与GH相交于点O，则该图中平行四边形的个数共有 ( ) A7个 B8个 C9个 D11个解析：本题主要考查平行四边形的定义两条平行线把平行四边形ABCD分成8个(不合原来)四边形，看这些四边形是否都符合平行四边形的定义， EFAB，HGAD，它们的各边都平行即有ABCD，DEOH，HOFC，AGOE，GOFB，AGHD，GBCH，ABFE，EFCD答案C名师点金：先分清图中共有哪些四边形，然后表两定义去判断例4如图20一1一13，ABC中，AB=6， AC=4AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是_分析：本题考查平行四边形的判定及三角形的三边关系要确定AD的取值范围，联想用三角形三边关系，但又不能把AD和AB与AC放在同一三角形里，故不能直接利用三角形三边关系，由AD是中线，可联想倍长中线，得到平行四边形，将已知条件AC和AB实行转化，与未知量AD集中到三角形中来求解延长AD到E，使DE=AD，连接BE、CE，BDCD，四边形ABEC是平行四边形 CE=AB=6在ACE中，64AE6+4，即2AE10又AE=2AD 1AD5 答案1AD5名师点金：当题中有三角形的中线时，常常延长中线，构造平行四边形，这种作辅助线的方法在解题中经常用到，要注意掌握例5现有一个四边形的木框，若想知道它是否为平行四边形，只给你一把刻度尺，你能有几种方法来测量？分析：可从平行四边形的判定方法来考虑(1)可量两组对边长，若分别相等，则这个木框是平行四边形，否则不是；(2)把木框的对角线连接起来看对角线是否平分，若互相平分，则为平行四边形名师点金：注意可操作性例6如图201一14，已知六边形ABCDEF的每一个内角都是120且AB=l，DE=2，BC+CD=8，求这个六边形的周长分析：要求其周长，只要求出AF与EF的和即可如何求?考虑到特殊角，结合三角形知识，可将六边形化归为平行四边形来解解：如图20一114，延长FA、CB相交于点G，延长CD、FE相交于点B，由已知，ABG和DEH都是等边三角形所以G=B=60因为C=F=120，则四边形CGFH为平行四边形， GF+FH=CH+CG=CD+DH+CB+BG =CD+BC+DE+AB=8+1+2=11 所以AF+FE=1112=8 则该六边形的周长为：8+8+1+2=1 9名师点金：解题关键是作辅助线，将不规则的六边形变成平行四边形例7如图20115，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形 ( )AAECF BDE=BFCADE=CBF DAED=CFB解析：由AE=CF，OA=OC，得OE=OFOD=OB，四边形DEBF是平行四边形；由ADE=CBF，或AED=CFB，都能推出ADE CBF，AE=CF四边形DEBF