高二数列练习题.doc

1 第 1 讲 数列的概念与简单表示法 基础梳理 1 数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列 数列中的每一个数叫做这个数列的项 2 数列的分类 3 数列的表示法 数列有三种表示法 它们分别是列表法 图象法和解析法 4 数列的通项公式 如果数列 an 的第 n 项 an与 n 之间的函数关系可以用一个式子 an f n 来表示 那么这个公 式叫做这个数列的通项公式 5 Sn与 an的关系 已知 Sn 则 an Error 在数列 an 中 若 an最大 则Error 若 an最小 则Error 一个联系 分类原则类型满足条件 有穷数列项数有限 按项数分类 无穷数列项数无限 递增数列an 1 an 递减数列an 1 an 按项与项间 的大小关系 分类 常数列an 1 an 其中 n N 有界数列存在正数 M 使 an M 按其他标准 分类 摆动数列 an的符号正负相间 如 1 1 1 1 2 数列是一种特殊的函数 即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数 当自变量依 次从小到大取值时所对应的一列函数值 就是数列 因此 在研究函数问题时既要注意函数 方法的普遍性 又要考虑数列方法的特殊性 两个区别 1 若组成两个数列的数相同而排列次序不同 那么它们就是不同的两个数列 这有别于集 合中元素的无序性 2 数列中的数可以重复出现 而集合中的元素不能重复出现 三种方法 由递推式求通项 an的方法 1 an 1 an f n 型 采用叠加法 2 f n 型 采用叠乘法 an 1 an 3 an 1 pan q p 0 1 q 0 型 采用待定系数法转化为等比数列解决 双基自测 1 已知数列 an 的前 4 项分别为 2 0 2 0 则下列各式不可以作为数列 an 的通项公式的一项 是 A an 1 1 n 1 B an 2sin n 2 C an 1 cos n D an Error 解析 根据数列的前 4 项验证 答案 B 2 在数列 an 中 a1 1 an 2an 1 1 则 a5的值为 A 30 B 31 C 32 D 33 解析 a5 2a4 1 2 2a3 1 1 22a3 2 1 23a2 22 2 1 24a1 23 22 2 1 31 答案 B 3 已知 an 1 an 3 0 则数列 an 是 A 递增数列 B 递减数列 C 常数列 D 不确定 解析 an 1 an 3 0 an 1 an 3 0 an 1 an 故数列 an 为递增数列 答案 A 3 4 设数列 an 的前 n 项和 Sn n2 则 a8的值为 A 15 B 16 C 49 D 64 解析 由于 Sn n2 a1 S1 1 当 n 2 时 an Sn Sn 1 n2 n 1 2 2n 1 又 a1 1 适合上式 an 2n 1 a8 2 8 1 15 答案 A 5 数列 1 1 2 3 5 8 13 x 34 55 中 x 的值为 解析 观察数列中项的规律 易看出数列从第三项开始每一项都是其前两项的和 答案 21 考向一 由数列的前几项求数列的通项 例 1 写出下面各数列的一个通项公式 1 3 5 7 9 2 1 2 3 4 7 8 15 16 31 32 3 1 3 2 1 3 3 4 1 5 3 6 4 3 33 333 3 333 审题视点 先观察各项的特点 然后归纳出其通项公式 要注意项与项之间的关系 项与 前后项之间的关系 解 1 各项减去 1 后为正偶数 所以 an 2n 1 2 每一项的分子比分母少 1 而分母组成数列 21 22 23 24 所以 an 2n 1 2n 3 奇数项为负 偶数项为正 故通项公式中含因子 1 n 各项绝对值的分母组成数列 1 2 3 4 而各项绝对值的分子组成的数列中 奇数项为 1 偶数项为 3 即奇数项为 2 1 偶数项为 2 1 所以 an 1 n 2 1 n n 也可写为 an Error 4 将数列各项改写为 9 3 99 3 999 3 9 999 3 4 分母都是 3 而分子分别是 10 1 102 1 103 1 104 1 所以 an 10n 1 1 3 根据数列的前几项求通项公式时 需仔细观察分析 抓住以下几方面的特征 1 分式中分子 分母的特征 2 相邻项的变化特征 3 拆项后的特征 把数列的项分成变化 的部分和不变的部分 4 各项符号特征 若关系不明显时 应将部分项作适当的变形 统 一成相同的形式 让规律凸现出来 训练 1 已知数列 an 的前四项分别为 1 0 1 0 给出下列各式 an an an sin2 an an Error an 1 1 n 2 1 1 n 2 n 2 1 cos n 2 n 1 n 2 其中可以作为数列 an 的通项公式的有 填序号 1 1 n 1 2 答案 考向二 由 an与 Sn的关系求通项 an 例 2 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn 3n 1 则它的通项公式为 an 审题视点 利用 an Sn Sn 1 n 2 求解 解析 当 n 2 时 an Sn Sn 1 3n 1 3n 1 1 2 3n 1 当 n 1 时 a1 S1 2 也满足 an 2 3n 1 故数列 an 的通项公式为 an 2 3n 1 答案 2 3n 1 数列的通项 an与前 n 项和 Sn的关系是 an Error 当 n 1 时 a1若适合 Sn Sn 1 则 n 1 的情况可并入 n 2 时的通项 an 当 n 1 时 a1若不适合 Sn Sn 1 则用分段函数 的形式表示 训练 2 已知数列 an 的前 n 项和 Sn 3n2 2n 1 则其通项公式为 解析 当 n 1 时 a1 S1 3 12 2 1 1 2 当 n 2 时 an Sn Sn 1 3n2 2n 1 3 n 1 2 2 n 1 1 6n 5 显然当 n 1 时 不满足上式 故数列的通项公式为 an Error 答案 an Error 考向三 由数列的递推公式求通项 例 3 根据下列条件 确定数列 an 的通项公式 5 1 a1 1 an 1 3an 2 2 a1 1 an an 1 n 2 n 1 n 3 已知数列 an 满足 an 1 an 3n 2 且 a1 2 求 an 审题视点 1 可用构造等比数列法求解 2 可转化后利用累乘法求解 3 可利用累加法求 解 解 1 an 1 3an 2 an 1 1 3 an 1 3 数列 an 1 为等比数列 公比 q 3 an 1 1 an 1 又 a1 1 2 an 1 2 3n 1 an 2 3n 1 1 2 an an 1 n 2 an 1 an 2 a2 a1 以上 n 1 个式子相乘得 n 1 n n 2 n 1 1 2 an a1 1 2 2 3 n 1 n a1 n 1 n 3 an 1 an 3n 2 an an 1 3n 1 n 2 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 n 2 当 n 1 时 n 3n 1 2 a1 3 1 1 2 符合公式 an n2 1 2 3 2 n 2 已知数列的递推关系 求数列的通项时 通常用累加 累乘 构造法求解 当出 现 an an 1 m 时 构造等差数列 当出现 an xan 1 y 时 构造等比数列 当出现 an an 1 f n 时 用累加法求解 当出现 f n 时 用累乘法求解 an an 1 训练 3 根据下列各个数列 an 的首项和基本关系式 求其通项公式 1 a1 1 an an 1 3n 1 n 2 2 a1 2 an 1 an ln 1 1 n 解 1 an an 1 3n 1 n 2 an 1 an 2 3n 2 an 2 an 3 3n 3 a2 a1 31 以上 n 1 个式子相加得 6 an a1 31 32 3n 1 1 3 32 3n 1 3n 1 2 2 an 1 an ln 1 1 n an 1 an ln ln 1 1 n n 1 n an an 1 ln an 1 an 2 ln n n 1 n 1 n 2 a2 a1 ln 2 1 以上 n 1 个式相加得 an a1 ln ln ln ln n 又 a1 2 n n 1 n 1 n 2 2 1 an ln n 2 考向四 数列性质的应用 例 4 已知数列 an 的通项 an n 1 n n N 试问该数列 an 有没有最大项 若有 10 11 求最大项的项数 若没有 说明理由 审题视点 作差 an 1 an 再分情况讨论 解 an 1 an n 2 n 1 n 1 n n 10 11 10 11 10 11 9 n 11 当 n 9 时 an 1 an 0 即 an 1 an 当 n 9 时 an 1 an 0 即 an 1 an 当 n 9 时 an 1 an 0 即 an 1 an 故 a1 a2 a3 a9 a10 a11 a12 所以数列中有最大项为第 9 10 项 1 数列可以看作是一类特殊的函数 因此要用函数的知识 函数的思想方法来解 决 2 数列的单调性是高考常考内容之一 有关数列最大项 最小项 数列有界性问题均可借 助数列的单调性来解决 判断单调性时常用 作差法 作商法 结合函数图象等方法 训练 4 已知数列 an 的前 n 项和 Sn n2 24n n N 1 求 an 的通项公式 7 2 当 n 为何值时 Sn达到最大 最大值是多少 解 1 n 1 时 a1 S1 23 n 2 时 an Sn Sn 1 n2 24n n 1 2 24 n 1 2n 25 经验证 a1 23 符合 an 2n 25 an 2n 25 n N 2 法一 Sn n2 24n n 12 时 Sn最大且 Sn 144 法二 an 2n 25 an 2n 25 0 有 n a12 0 a13 0 25 2 故 S12最大 最大值为 144 难点突破 13 数列中最值问题的求解 从近几年新课标高考可以看出 对求数列中的最大项是高考的热点 一般难度较大 解决这 类问题时 要利用函数的单调性研究数列的最值 但要注意数列的单调性与函数的单调性有 所不同 其自变量的取值是不连续的 只能取正整数 所以在求数列中的最大 小 项时 应 注意数列中的项可以是相同的 故不应漏掉等号 示例 1 已知数列 an 满足 a1 33 an 1 an 2n 则的最小值为 an n 示例 2 若数列中的最大项是第 k 项 则 k n n 4 2 3 n 8 第二讲 等差数列第二讲 等差数列 练习题 一 练习题 一 1 已知为等差数列 则等于 A 1 B 1 C 3 D 7 解析 135 105aaa 即 3 3105a 3 35a 同理可得 4 33a 公差 43 2daa 204 204 1aad 选 B 答案 B 2 设 n S是等差数列 n a的前 n 项和 已知 2 3a 6 11a 则 7 S等于 A 13 B 35 C 49 D 63 解析 1726 7 7 7 7 3 11 49 222 aaaa S 故选 C 或由 211 61 31 5112 aada aadd 7 1 6 213 a 所以 17 7 7 7 1 13 49 22 aa S 故选 C 3 等差数列 n a的前 n 项和为 n S 且 3 S 6 1 a 4 则公差 d 等于 A 1 B 5 3 C 2 D 3 答案 C 9 解析 313 3 6 2 Saa 且 311 2 4 d 2aad a 故选 C 4 已知 n a为等差数列 且 7 a 2 4 a 1 3 a 0 则公差 d A 2 B 1 2 C 1 2 D 2 解析 a7 2a4 a3 4d 2 a3 d 2d 1 d 1 2 答案 B 5 若等差数列 n a的前 5 项和 5 25S 且 2 3a 则 7 a A 12 B 13 C 14 D 15 答案 B 6 在等差数列 n a中 28 4aa 则 其前 9 项的和 S9等于 A 18 B 27 C 36 D 9 答案 A 7 已知 n a是等差数列 12 4aa 78 28aa 则该数列前 10 项和 10 S等于 A 64 B 100 C 110 D 120 答案 B 8 记等差数列 n a的前n项和为 n S 若 1 1 2 a 4 20S 则 6 S A 16 B 24 C 36 D 48 答案 D 9 等差数列 n a的前n项和为 x S若 则 432 3 1Saa A 12 B 10 C 8 D 6 答案 B 10 设等差数列 n a的前n项和为 n S 若 3 9S 6 36S 则 789 aaa A 63 B 45 C 36 D 27 答案 B 11 已知等差数列 n a中 12497 1 16aaaa则 的值是 A 15B 30C 31D 64 答案 A 12 已知等差数列 n a的前n项和为 n S 若 12 21S 则 25811 aaaa 答案 7 2 填空题 13 设等差数列 n a的前n项和为 n S 若 9 72S 则 249 aaa 答案 24 解析 n a 是等差数列 由 9 72S 得 59 9 Sa 5 8a 2492945645 324aaaaaaaaaa 14 设等差数列 n a的前n项和为 n S 若 53 5aa 则 9 5 S S 解解析 n a 为等差数列 95 53 9 9 5 Sa Sa 答案 9 15 等差数列 n a的前n项和为 n S 且 53 655 SS 则 4 a 解析 Sn na1 1 2 n n 1 d S5 5a1 10d S3 3a1 3d 10 6S5 5S3 30a1 60d 15a1 15d 15a1 45d 15 a1 3d 15a4 答案 3 1 16 已知等差数列 n a的公差是正整数 且 a4 12 6473 aaa 则前 10 项的和 S10 答案 10 三 解答题 17 在等差数列 n a中 4 0 8a 11 2 2a 求 515280 aaa 解答 nan2 0 393 805251 aaa 18 设等差数列 n a的前n项和为 n S 已知 3 12a 12 S 0 13 S0 由已知Error 得Error 解得 a1 2 d 3 d 0 a11 a12 a13 3a12 3 a1 11d 105 6 若两个等差数列 an 和 bn 的前 n 项和分别是 Sn Tn 已知 则等于 Sn Tn 7n n 3 a5 b5 A 7 B 2 3 C D 27 8 21 4 答案 D 解析 a5 b5 2a5 2b5 a1 a9 b1 b9 9 2 a1 a9 9 2 b1 b9 S9 T9 21 4 7 等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 且 S3 6 a3 4 则公差 d 等于 A 1 B 5 3 C 2 D 3 答案 C 解析 由Error 解得 d 2 二 填空题 8 已知 Sn是等差数列 an 的前 n 项和 且 a4 15 S5 55 则过点 P 3 a3 Q 4 a4 的直线的斜率是 解析 设数列 an 的公差为 d 则依题意 得Error Error 故直线 PQ 的斜率为 4 a4 a3 4 3 d 1 9 已知数列 an 中 a3 2 a5 1 若 是等差数列 则 a11 1 1 an 13 答案 0 解析 记 bn 则 b3 b5 数列 bn 的公差为 b1 bn 即 1 1 an 1 3 1 2 1 2 1 2 1 3 1 12 1 6 n 1 12 an 故 a11 0 1 1 an n 1 12 11 n n 1 10 等差数列 an 中 Sn是其前 n 项和 a1 2010 2 则 S2010的值为 S2009 2009 S2007 2007 答案 2010 解析 在等差数列 an 中 设公差为 d 则 a1 n 1 Sn n na1 n 2 n 1 d n d 2 a1 2008 a1 2006 d 2 S2010 2010 2010 2 201 S2009 2009 S2007 2007 d 2 d 2 2010 2009 2 0 2010 2010 2009 2010 11 方程 x2 x m x2 x n 0 有四个不等实根 且组成一个公差为 的等差数列 则 mn 的值为 1 2 答案 15 256 解析 设四个根组成的等差数列为 x1 x2 x3 x4 根据等差数列的性质 则有 x1 x4 x2 x3 1 2x1 3d 1 又 d x1 1 2 1 4 x2 x3 x4 1 4 3 4 5 4 mn x1x4 x2x3 15 256 12 在如下数表中 已知每行 每列中的数都成等差数列 第 1 列第 2 列第 3 列 第 1 行123 第 2 行246 第 3 行369 那么位于表中的第 n 行第 n 1 列的数是 答案 n2 n 解析 第 n 行的第一个数是 n 第 n 行的数构成以 n 为公差的等差数列 则其第 n 1 项为 n n n n2 n 13 2010 苏北四市调研 已知数列 an 共有 m 项 记 an 的所有项和为 S 1 第二项及以后所有项和为 S 2 第三项及以后所有项和为 S 3 第 n 项及以后所有项和为 S n 若 S n 是首项为 1 公差为 2 的等差数列的前 n 项和 则当 n m 时 an 答案 2n 1 解析 由题意得 S n an am n 1 2 n2 当 n0 S14 77 求所有可能的数列 an 的通项公式 答案 1 an 22 2n 2 an 12 n 和 an 13 n 解 1 由 S14 98 得 2a1 13d 14 又 a11 a1 10d 0 故解得 d 2 a1 20 因此 an 的通项公式是 an 22 2n n 1 2 3 2 由Error 得Error 即Error 由 得 7d 11 7 由 得 13d 1 即 d 于是 d 1 13 11 7 1 13 又 d Z 故 d 1 将 代入 得 100 a24 0 即得 a23 a24 0 故选 C 2 3 47 2n 3 2 已知 an 为等差数列 a1 a3 a5 105 a2 a4 a6 99 则 a20等于 A 1 B 1 C 3 D 7 答案 B 解析 两式相减 可得 3d 6 d 2 由已知可得 3a3 105 a3 35 所以 a20 a3 17d 35 34 1 3 已知 An x 2n x 2n 1且 x 7m 1 m n N 则 A6中各元素的和为 15 A 792 B 890 C 891 D 990 答案 C 解析 A6 x 26 x 27且 x 7m 1 m N A6的元素 x 各数成一首项为 71 公差为 7 的等差数列 71 78 127 71 9 7 891 9 8 2 4 已知等差数列 an 的前 20 项的和为 100 那么 a7 a14的最大值是 答案 25 解析 方法一 设等差数列 an 的首项为 a1 公差为 d 由题意 20a1 d 100 即 a1 5 9 5d 20 19 2 又 a7 a14 a1 6d a1 13d 6d 5 9 5d 5 9 5d 13d 25 12 25d2 所以 a7 a14的最大值为 25 方法二 a7 a14 10 a7 a14 2 25 a7 a14 2 5 在等差数列 an 中 Sn 是它的前 n 项的和 且 S6S8 有下列四个命题 此数列的公差 d 0 S9 一定小于 S6 a7 是各项中最大的一项 S7 一定是 Sn 中的最大值 其中正确命题的序号是 答案 解析 S60 S7 S8 a8 0 d 0 S9 S6 a7 a8 a9 3a80 a2003 a2004 0 a2003 a20040 成立的最大自然数 n 是 A 4005 B 4006 C 4007 D 4008 答案 B 解析 解法一 S4006 4006 a1 a4006 2 2003 a2003 a2004 0 a2003 0 a2004 0 S4007 4007a20040 的最大自然数 解法二 a1 0 a2003 a2004 0 且 a2003 a20040 且 a20040 中最大的自然数是 4006 2 在等差数列 an 中 满足 3a4 7a7 且 a1 0 Sn是数列 an 前 n 项的和 若 Sn取得最大值 则 n 答案 9 解析 设公差为 d 由题设 3 a1 3d 7 a1 6d 解得 d a10 即 a1 n 1 a1 0 4 33 得 n0 37 4 同理 可得当 n 10 时 an0 其前 n 项和为 Sn 且满足 a2 a3 45 a1 a4 14 1 求数列 an 的通项公式 2 通过公式 bn 构造一个新的数列 bn 若 bn 也是等差数列 求非零常数 c Sn n c 3 求 f n n N 的最大值 bn n 25 bn 1 解析 1 an 为等差数列 a1 a4 a2 a3 14 又 a2 a3 45 a2 a3是方程 x2 14x 45 0 的两实根 又公差 d 0 a20 q 2 a3 a4 a1 a2 a1 1 q a1 1 2 2 a1 2 3 S8 170 2 3 28 1 2 1 2 在等比数列 an 中 Sn表示前 n 项和 若 a3 2S2 1 a4 2S3 1 则公比 q 等于 A 3 B 3 C 1 D 1 答案 A 解析 思路一 列方程求出首项和公比 过程略 思路二 两等式相减得 a4 a3 2a3 从而求得 3 q a4 a3 3 在 14 与 之间插入 n 个数组成等比数列 若各项总和为 则此数列的项数 7 8 77 8 A 4 B 5 18 C 6 D 7 答案 B 解析 q 1 14 Sn 7 8 a1 anq 1 q 77 8 14 7 8q 1 q 解得 q 14 n 2 1 1 2 7 8 1 2 n 3 故该数列共 5 项 4 2010 广东卷 已知数列 an 为等比数列 Sn是它的前 n 项和 若 a2 a3 2a1 且 a4 与 2a7的等差中项为 则 S5 5 4 A 35 B 33 C 31 D 29 答案 C 解析 设数列 an 的公比为 q a2 a3 a q3 a1 a4 2a1 a4 2 a4 2a7 a4 2a4q3 2 4q3 2 q 2 1 5 4 1 2 故 a1 16 S5 31 a4 q3 a1 1 q5 1 q 5 数列 an 的前 n 项和为 Sn 4n b b 是常数 n N 如果这个数列是等比数列 则 b 等 于 A 1 B 0 C 1 D 4 答案 A 解析 等比数列 an 中 q 1 时 Sn qn a1 qn 1 q 1 a1 q 1 a1 q 1 A qn A b 1 6 一正数等比数列前 11 项的几何平均数为 32 从这 11 项中抽去一项后所余下的 10 项的 几何平均数为 32 那么抽去的这一项是 A 第 6 项 B 第 7 项 C 第 9 项 D 第 11 项 答案 A 解析 由于数列的前 11 项的几何平均数为 32 所以该数列的前 11 项之积为 3211 255 当抽去一项后所剩下的 10 项之积为 3210 250 抽去的一项为 255 250 25 又因 a1 a11 a2 a10 a3 a9 a4 a8 a5 a7 a 所以 a1 a2 a11 a 2 611 6 故有 a 255 即 a6 25 11 6 抽出的应是第 6 项 7 设 a1 2 数列 1 2an 是公比为 2 的等比数列 则 a6 A 31 5 B 160 C 79 5 D 159 5 答案 C 19 解析 因为 1 2an 1 2a1 2n 1 则 an an 5 2n 2 5 2n 1 1 2 1 2 a6 5 24 5 16 80 79 5 1 2 1 2 1 2 8 设 an 是由正数组成的等比数列 Sn为其前 n 项和 已知 a2a4 1 S3 7 则 S5 A B 15 2 31 4 C D 33 4 17 2 答案 B 解析 显然公比 q 1 由题意得 Error 解得Error S5 a1 1 q5 1 q 4 1 1 25 1 1 2 31 4 二 填空题 9 已知等比数列 an 的公比为正数 且 a2 a2n 2 2a a2 2 则 a1 2n 1 解 a2 a2n 2 a 2a 2n 22n 1 q an 2 an 122 a2 2 a1 a2 q2 10 已知数列 an 如果 a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 是首项为 1 公比为 的等比 1 3 数列 那么 an 答案 1 3 2 1 3n 解析 a1 1 a2 a1 a3 a2 2 an an 1 n 1 1 3 1 3 1 3 累加得 an 1 n 1 1 1 3 1 32 1 3 3 2 1 3n 11 数列 an 为等比数列 已知 an 0 且 an an 1 an 2 则该数列的公比 q 是 答案 5 1 2 解析 由已知可得 an an q an q2 an 0 q2 q 1 0 q 1 5 2 q 0 q 5 1 2 12 设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 a1 1 S6 4S3 则 a4 20 解 设公比为 q S6 S3 q3S3 4S3 q3 3 a4 a1 q3 3 13 2011 山东师大附中 等比数列 an 中 前 n 项和为 Sn 若 S3 7 S6 63 则公比 q 答案 2 解析 q3即 q3 8 q 2 S6 S3 S3 三 解答题 14 在等比数列 an 中 S3 S6 求 an 13 9 364 9 解析 由已知 S6 2S3 则 q 1 又 S3 S6 13 9 364 9 即Error 得 1 q3 28 q 3 可求得 a1 因此 an a1qn 1 3n 3 1 9 15 在等比数列 an 中 已知 a6 a4 24 a3 a5 64 求 an 前 8 项的和 S8 解析 解法一 设数列 an 的公比为 q 依题意 Error a1q3 8 将 a1q3 8 代入到 式 得 q2 1 3 q2 2 舍去 将 a1q3 8 代入到 式得 q2 1 3 q 2 当 q 2 时 a1 1 S8 255 a1 q8 1 q 1 当 q 2 时 a1 1 S8 85 a1 q8 1 q 1 解法二 an 是等比数列 依题设得 a a3 a5 64 a4 8 a6 24 a4 24 8 2 4 an 是实数列 0 a6 a4 故舍去 a4 8 得 a4 8 a6 32 从而 a5 16 q 2 a4 a6 a5 a4 当 q 2 时 a1 a4 q 3 1 a9 a6 q3 256 S8 255 a1 a9 1 q 当 q 2 时 a1 a4 q 3 1 a9 a6 q3 256 S8 85 a1 a9 1 q 16 等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知对任意的 n N 点 n Sn 均在函数 y bx r b 0 且 b 1 b r 均为常数 的图象上 1 求 r 的值 21 2 当 b 2 时 记 bn n N 求数列 bn 的前 n 项和 Tn n 1 4an 解析 1 由题意 Sn bn r 当 n 2 时 Sn 1 bn 1 r 所以 an Sn Sn 1 bn 1 b 1 由于 b 0 且 b 1 所以当 n 2 时 an 是以 b 为公比的等比数列 又 a1 b r a2 b b 1 b 即 b a2 a1 b b 1 b r 解得 r 1 2 由 1 知 n N an b 1 bn 1 当 b 2 时 an 2n 1 所以 bn n 1 4 2n 1 n 1 2n 1 Tn 2 22 3 23 4 24 n 1 2n 1 Tn 1 2 2 23 3 24 n 2n 1 n 1 2n 2 两式相减得 Tn 1 2 2 22 1 23 1 24 1 2n 1 n 1 2n 2 1 2 1 23 1 1 2n 1 1 1 2 n 1 2n 2 3 4 1 2n 1 n 1 2n 2 故 Tn 3 2 1 2n n 1 2n 1 3 2 n 3 2n 1 1 等比数列 an 中 公比 q 2 S4 1 则 S8 的值为 A 15 B 17 C 19 D 21 答案 B 2 设 an 是任意等比数列 它的前 n 项和 前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X Y Z 则下 列等式中恒成立的是 A X Z 2Y B Y Y X Z Z X C Y2 XZ D Y Y X X Z X 答案 D 解析 根据等比数列的性质 若 an 是等比数列 则 Sn S2n Sn S3n S2n也成等比数列 即 X Y X Z Y 成等比数列 故 Y X 2 X Z Y 整理得 Y Y X X Z X 故选 D 3 设项数为 8 的等比数列的中间两项与 2x2 7x 4 0 的两根相等 则数列的各项相乘的 积为 答案 16 解析 设此数列为 an 由题设 a4a5 2 从而 a1a2 a8 a4a5 4 16 22 4 设 an 是公比为 q 的等比数列 q 1 令 bn an 1 n 1 2 若数列 bn 有连续四项 在集合 53 23 19 37 82 中 则 6q 答案 9 解析 由 an bn 1 且数列 bn 有连续四项在集合 53 23 19 37 82 中 则 an 有连续 四项在集合 54 24 18 36 81 中 经分析判断 比较知 an 的四项应为 24 36 54 81 又 q 1 所以数列 an 的公比为 q 则 6q 9 3 2 5 设数列 an 的首项 a1 a 1 4 且 an 1 Error 记 bn a2n 1 n 1 2 3 1 4 1 求 a2 a3 2 判断数列 bn 是否为等比数列 并证明你的结论 解析 1 a2 a1 a a3 a2 a 1 4 1 4 1 2 1 2 1 8 2 a4 a3 a 1 4 1 2 3 8 a5 a4 a 1 2 1 4 3 16 b1 a1 a b2 a3 a 1 4 1 4 1 4 1 2 1 4 b3 a5 a 1 4 1 4 1 4 猜想 bn 是公比为 的等比数列 1 2 证明如下 bn 1 a2n 1 a2n 1 4 1 2 1 4 a2n 1 1 2 1 4 1 4 a2n 1 bn n N 1 2 1 4 1 2 bn 是首项为 a 公比为 的等比数列 1 4 1 2 练习题 二 一 选择题 1 已知等比数列 n a的公比为正数 且 3 a 9 a 2 2 5 a 2 a 1 则 1 a 23 A 2 1 B 2 2 C 2 D 2 答案 B 解析 设公比为q 由已知得 2 284 111 2a qa qa q 即 2 2q 又因为等比数列 n a的公比为正数 所以2q 故 2 1 12 22 a a q 选 B 2 如果1 9a b c 成等比数列 那么 A 3 9bac B 3 9bac C 3 9bac D 3 9bac 3 若数列 n a的通项公式是 1021 23 1 aaana n n 则 A 15 B 12 C D 答案 A 4 设 n a 为等差数列 公差 d 2 n S为其前 n 项和 若 1011 SS 则 1 a A 18 B 20 C 22 D 24 答案 B 解析 20 10 0 1111 111110 adaa aSS 5 已知等比数列 n a中 2 1a 则其前 3 项的和 3 S的取值范围是 A 1 B 01 C 3 D 13 答案 D 6 设 an 是公比为正数的等比数列 若n1 7 a5 16 则数列 an 前 7 项的和为 A 63B 64C 127D 128 答案 C 7 在等比数列 an 中 a2 8 a5 64 则公比 q 为 A 2 B 3 C 4 D 8 答案 A 8 若等比数列 an 满足 anan 1 16n 则公比为 A 2 B 4 C 8 D 16 答案 B 9 数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 a1 1 an 1 3Sn n 1 则 a6 A 3 44 B 3 44 1 C 44 D 44 1 答案 A 解析 由 an 1 3Sn 得 an 3Sn 1 n 2 相减得 an 1 an 3 Sn Sn 1 3an 则 an 1 4an n 2 a1 1 a2 3 则 a6 a2 44 3 44 选 A 10 在等比数列 n a n N 中 若 1 1a 4 1 8 a 则该数列的前 10 项和为 A 4 1 2 2 B 2 1 2 2 C 10 1 2 2 D 11 1 2 2 答案 B 11 若互不相等的实数 成等差数列 成等比数列 且 310abc 则a A 4 B 2 C 2 D 4 答案 D 解析 由互不相等的实数 a b c 成等差数列可设a b d c b d 由 310abc 可得b 2 所以 a 2 d c 2 d 又 c a b 成等比数列可得d 6 所以a 4 选D 12 已知 n a是等比数列 4 1 2 52 aa 则 13221 nna aaaaa A 16 n 41 B 6 n 21 C 3 32 n 41 D 3 32 n 21 答案 C 2 填空题 a b c c a b 24 3 13 设等比数列 n a的公比 1 2 q 前n项和为 n S 则 4 4 S a 答案 15 解析 对于 44 3 14 441 3 4 1 1 15 1 1 aqsq saa q qaqq 14 设等比数列 n a 的前 n 项和为 n s 若 361 4 1ssa 则 4 a 答案 3 3 解析 本题考查等比数列的性质及求和运算 由由 361 4 1ssa 得 q3 3 故 a4 a1q3 3 15 等比数列 n a的前n项和为 n S 已知 1 S 2 2S 3 3S成等差数列 则 n a的公比为 答案 1 3 4 16 已知等差数列 n a的公差0 d 且 931 aaa成等比数列 则 1042 931 aaa aaa 的值为 5 答案 13 16 3 解答题 17 本小题满分 12 分 已知等差数列 an 中 a1 1 a3 3 I 求数列 an 的通项公式 II 若数列 an 的前 k 项和 Sk 35 求 k 的值 18 已知等比数列 n a 123123 7 8aaaa a a 则 n a 已知数列 n a是等比数列 且 2 10 30 mm SS 则 3m S 在等比数列 n a中 公比2q 前 99 项的和 99 56S 则 36999 aaaa 在等比数列 n a中 若 39 4 1aa 则 6 a 若 311 4 1aa 则 7 a 在等比数列 n a中 561516 0 aaa aaab 则 2526 aa 解 2 1232 8a a aa 2 2a 131 133 51 44 aaa a aa 或 1 3 4 1 a a 当 123 1 2 4aaa 时 1 2 2n n qa 当 123 4 2 1aaa 时 1 11 4 22 n n qa 2 2323 70 mmmmmm SSSSSS 设 114797 225898 336999 baaaa baaaa baaaa 则 1223 bqb b qb 且 123 56bbb 2 1 156bqq 即 1 56 8 124 b 2 31 32bbq 2 639 aaa 6 2a 2 7311 aaa 7 2a 2 舍去 当 7 2a 时 44 73 40aa qq 10 15162526 561516 aaaa q aaaa 2 2 1516 2526 56 aab aa aaa 19 本小题满分 12 分 25 已知等比数列 n a中 1 1 3 a 公比 1 3 q I n S为 n a的前 n 项和 证明 1 2 n n a S II 设 31323 logloglog nn baaa 求数列 n b的通项公式 20 某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M M 的价值在使用过程中逐年减少 从第 2 年 到第 6 年 每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元 从第 7 年开始 每年初 M 的价值为上年初的 75 I 求第 n 年初 M 的价值 n a的表达式 II 设 12 n n aaa A n 若 n A大于 80 万元 则 M 继续使用 否则须在第 n 年初对 M 更新 证 明 须在第 9 年初对 M 更新 解析 I 当6n 时 数列 n a是首项为 120 公差为10 的等差数列 120 10 1 130 10 n ann 当6n 时 数列 n a是以 6 a为首项 公比为 3 4 为等比数列 又 6 70a 所以 6 3 70 4 n n a 因此 第n年初 M 的价值 n a的表达式为 6 120 10 1 130 10 6 3 70 7 4 n n n nn n a an II 设 n S表示数列 n a的前n项和 由等差及等比数列的求和公式得 当16n 时 1205 1 1205 1 1255 nn Snn nAnn 当7n 时 66 678 6 333 570704 1 780210 444 3 780210 4 nn nn n n SSaaa A n 因为 n a是递减数列 所以 n A是递减数列 又 8 69 6 89 33 780210 780210 4779 44 8280 7680 864996 AA 21 已知 n a等比数列 324 20 2 3 aaa 求 n a的通项公式 设等比数列 n a的公比为 0q q 它的前 n 项和为 40 前 2n 项和为 3280 且前 n 项和中 最大项为 27 求数列的第 2n 项 设等比数列 n a的公比1q 前 n 项和为 n S 已知 342 2 5aSS 求 n a的通项公式 解 1 3 q 或3q 3 2 3 n n a 或 3 2 3n n a 当1q 时 1 21 40 23280 n n Sna Sna 无解 26 当1q 时 1 2 1 2 1 40 1 1 3280 1 n n n n aq S q aq S q 2 182 n n n S q S 81 n q 1 1 12 a q 0q 即81 n q 1 1q 1 0a 数列 n a为递增数列 1 1 1 2781 n n a aa q q 解方程组 1 1 1 3 1 12 a q a q 得 1 1 3 a q 2121 21 3 nn n aa q 由已知 1 1 1 0 1 n n aq aS q 时 2 1 42 11 2 11 5 11 a q aqaq qq 得 42 15 1qq 1q 1q 或 2q 当1q 时 1 1 2 21 n n aa 当2q 时 11 2 1 11 212 22 nn n n aa 22 数列 n a为等差数列 n a为正整数 其前n项和为 n S 数列 n b为等比数列 且 11 3 1ab 数 列 n a b是公比为 64 的等比数列 22 64b S 1 求 nn a b 2 求证 12 1113 4 n SSS 解 1 设 n a的公差为d n b的公比为q 则d为正整数 3 1 n and 1n n bq 依题意有 1 3 6 3 1 22 642 6 64 n n nd a d nd a b q q bq S bd q 由 6 64d q 知q为正有理数 故d为6的因子1 2 3 6之一 解 得2 8dq 故 1 32 1 21 8n nn annb 2 35 21 2 n Snn n 12 1111111 1 32 43 5 2 n SSSn n 11111111 1 2324352nn 11113 1 22124nn 27 第第 4 讲讲 数列求和数列求和 基础梳理 数列求和的常用方法 1 公式法 直接利用等差数列 等比数列的前 n 项和公式求和 1 等差数列的前 n 项和公式 Sn na1 d n a1 an 2 n n 1 2 2 等比数列的前 n 项和公式 Sn Error 2 倒序相加法 如果一个数列 an 的前 n 项中首末两端等 距离 的两项的和相等或等于同一个常数 那么求这个数列的 前 n 项和即可用倒序相加法 如等差数列的前 n 项和公式即是用此法推导的 3 错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的 那么这个数列的前 n 项和 即可用此法来求 如等比数列的前 n 项和公式就是用此法推导的 4 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差 在求和时中间的一些项可以相互抵消 从而求得其和 5 分组转化求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成 则求和时可用分组求和法 分别求和而后相加减 6 并项求和法 一个数列的前 n 项和中 可两两结合求解 则称之为并项求和 形如 an 1 nf n 类型 可采用两项合 并求解 例如 Sn 1002 992 982 972 22 12 100 99 98 97 2 1 5 050 一种思路 一般数列求和 应从通项入手 若无通项 先求通项 然后通过对通项变形 转化为与特殊数列有关或 具备某种方法适用特点的形式 从而选择合适的方法求和 两个提醒 在利用裂项相消法求和时应注意 1 在把通项裂开后 是否恰好等于相应的两项之差 2 在正负项抵消后 是否只剩下了第一项和最后一项 或有时前面剩下两项 后面也剩下两项 28 三个公式 1 1 n n 1 1 n 1 n 1 2 1 2n 1 2n 1 1 2 1 2n 1 1 2n 1 3 1 n n 1n 1n 双基自测 1 等比数列 an 的公比 q a8 1 则 S8 1 2 A 254 B 255 C 256 D 257 解析 由 a8 1 q 得 a1 27 1 2 S8 28 1 255 a1 1 q8 1 q 27 1 1 2 8 1 1 2 答案 B 2 设 an 是公差不为 0 的等差数列 a1 2 且 a1 a3 a6成等比数列 则 an 的前 n 项和 Sn A B C D n2 n n2 4 7n 4 n2 3 5n 3 n2 2 3n 4 解析 由题意设等差数列公差为 d 则 a1 2 a3 2 2d a6 2 5d 又 a1 a3 a6成等比数列 a a1a6 即 2 2d 2 2 2 5d 整理得 2d2 d 0 d 0 2 3 d Sn na1 d n 1 2 n n 1 2 n2 4 7 4 答案 A 3 等差数列 an 的通项公式为 an 2n 1 其前 n 项的和为 Sn 则数列的前 10 项的和为 Sn n A 120 B 70 C 75 D 100 解析 Sn n n 2 n 2 n 3 2n 1 2 Sn n 数列前 10 项的和为 1 2 10 20 75 Sn n 答案 C 4 设数列 1 n 的前 n 项和为 Sn 则对任意正整数 n Sn 29 A B n 1 n 1 2 1 n 1 1 2 C D 1 n 1 2 1 n 1 2 解析 因为数列 1 n 是首项与公比均为 1 的等比数列 所以 Sn 1