高等数学习题课3.pdf

1 洛必达法则洛必达法则 Rolle 定理定理 Lagrange 中值定理 Lagrange 中值定理 常用的 泰勒公式 常用的 泰勒公式 型型 00 1 0 型 型 型型 0 型型 0 0 型 型 Cauchy 中值定理 Cauchy 中值定理 Taylor 中值定理 Taylor 中值定理 xxF bfaf 0 n g f gf 1 fg fg gf 11 11 取对数 令 取对数 令 g fy 单调性 极值与最值 凹凸性 拐点 函数 图形的描绘 曲率 求根方法 导数的应用 单调性 极值与最值 凹凸性 拐点 函数 图形的描绘 曲率 求根方法 导数的应用 一 主要内容一 主要内容 例1例1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 000 0 xfxxnf xf xf 使得证明 存在且 内可导 上连续 在设函数 解解 xfxxF n 作辅助函数 作辅助函数 0 1 0 1 0 1 0 FFxF内可导 且上连续在则内可导 且上连续在则 0 1 0 00 xFx使得由罗尔定理 知存在使得由罗尔定理 知存在 000 1 00 xfxxfnxxF n n 又又 二 典型例题 0 000 1 00 xfxxnfxxF n 则有则有 1 0 0 0 1 0 xxn Q 0 1 0 0000 xfxxnfx使得使得 0 2 0 1 0 2 成立使得 成立使得 证明 对 内可导 在上连续在设函数例 ffba ffba Rbfaf babaxf 1 内可导上连续在则令内可导上连续在则令babaxFxfexF x 0 FbaRolle使得知由使得知由 则 则0 fefe 0 bFaF 证明 证明 0 e显然 显然 0 ffe即即 0 ffba使得故使得故 1 2 类似证明方法同令类似证明方法同令xfexF x 例3 证 例3 证 1 1 xxfxF 令令 01 1 01 0 10 FFxF上连续 且 在则上连续 且 在则 由零点定理由零点定理 0 F使得使得 1 0 存在存在 有定理上分别用拉格朗日中值在有定理上分别用拉格朗日中值在 1 0 2 xf 1 1 0 2 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 ff f ffxf 使且 使试证 且内可导在上连续在设 1 1 0 f使得即使得即 1 0 0 0 fff 1 1 1 fff 2 3 1 1 0 0 ff 注意到由注意到由 1 2 3 有 有 5 4 4 5 11 1 f f 1 f f 1 0 1 其中其中ff 例3例3 1 1 0 2 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 ff f ffxf 使且 使试证 且内可导在上连续在设 有定理上分别用拉格朗日中值在有定理上分别用拉格朗日中值在 1 0 2 xf 例4例4 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 ba f b f a baff xf 使内存在不同的在 对任意给定的正数试证 且内可导在上连续在设 使内存在不同的在 对任意给定的正数试证 且内可导在上连续在设 证证 均为正数与均为正数与baQ 10 证明 设例 利用单调性证明不等式 证证 lnln lnln b b a a baab 即可 即只要证明 即可 即只要证明 ln ex x x xf设设 0 ln1 2 ex x x xf 有时则 有时则 例8例8 0 0 2 ln lnlnyxyx yx yxyyxx 证明不等式 证证 0 ln ttttf令令 1ln ttf则则 0 1 t tf 0 0 ln 是凹的或在 是凹的或在 yxxyyxtttf 2 2 1yx fyfxf 于是 于是 2 ln 2 lnln 2 1yxyx yyxx 即 即 2 ln lnln yx yxyyxx 即即 式 利用凹凸性证明不等 1 0 0 0 ff由条件知 由条件知 项麦克劳林公式 展开成一阶拉格朗日余把项麦克劳林公式 展开成一阶拉格朗日余把 xf 2 2 0 0 x f xffxf 0 2 2 之间介于之间介于xxx f x 0 1 lim9 0 xxfxf x xf x 证明 且设例 解 解 等式利用泰勒展开式证明不 处成立 显然结论在处成立 显然结论在0 x 时 当时 当0 x 3 处展开 在把 2 1 xxf 32 2 1 3 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 x f x f xffxf 代入 把1 0 xx 24 1 0 0 2 1 2 1 1 0 10 10 ff ffxf 使证明 存在 上具有三阶连续导数 在设例 题 试用泰勒公式证明分析 涉及高阶导数问 等式利用泰勒展开式证明不 3 8 1 2 2 1 4 1 2 1 2 1 2 1 0 1 f f fff 3 8 1 2 2 1 4 1 2 1 2 1 2 1 1 2 f f fff 2 1 0 1 1 2 1 2 代入 把代入 把1 0 xx 24 1 0 0 2 1 2 1 1 0 10 11 ff ffxf 使证明 存在 上具有三阶连续导数 在设例 3 8 1 2 2 1 4 1 2 1 2 1 2 1 0 1 f f fff 3 8 1 2 2 1 4 1 2 1 2 1 2 1 1 2 f f fff 将两式相减 得将两式相减 得 48 1 1 21 ff 2121 ffff 又又 max 21 fff 取取 24 f则则 例12例12 1 0 2 1 1 1 0 1 0 xxfxff fxf 证明 且上二阶可微在若函数 证明 且上二阶可微在若函数 证证 1 0 0 x设设有展成一阶泰勒公式处把在有展成一阶泰勒公式处把在 0 xfx 2 0000 2 1 xxfxxxfxfxf 则有令则有令 1 0 xx 2 01000 2 1 0 xfxxfxff 2 02000 1 2 1 1 1 xfxxfxff 1 2 2 02 2 010 1 2 1 2 1 xfxfxf 1 2 1 0 ff 注意到 注意到 则有则有 2 02 2 010 1 2 1 2 1 xfxfxf 1 2 1 0 ff 注意到 注意到 则有则有 1 x fQ 2 0 2 00 1 2 1 2 1 xxxf 4 1 2 1 2 0 x 1 0 0 知又由知又由 x 2 1 2 1 0 x 2 1 0 x f于是有于是有 0 可知命题成立的任意性由可知命题成立的任意性由 x 例12例12 1 0 2 1 1 1 0 1 0 xxfxff fxf 证明 且上二阶可微在若函数 定根的个数利用单调性可以用来判 0 1 2 3 0 0ln 014 DCBA k e x xk内根的个数为 方程设常数例 解解 ln k e x xxf 令 令 ex xf 11 0 为唯一的驻点为唯一的驻点exxf 内单调增加 在 内单调增加 在 0 exfxfex 上单调减少 在上单调减少 在 0 0 exfxfex kefxfxf x x 又又 知 由连续函数的零点定理 0 0ln内各有一个实根在 内各有一个实根在 eek e x x B 0 0 内至多各有一个实根在 内至多各有一个实根在 eexf 定根的个数利用单调性可以用来判 有五个不同实根有三个不同的实根 有唯一实根无实根 则方程若例 0432 05315 352 DC BA cbxaxxba 解解 432 35 cbxaxxxf 令令 baxxbaxxxf36 5365 22224 0 53 126036 22 xx xf xx xfxf xf xf xxxx Q 不妨设不妨设 同号 与使同号 与使 00 xxxfxU o 时 且当时 且当 00 xxxUx o 0 0 x f有有 00 是拐点是拐点xfx 0 00 xxfxf xxfxfxfLagrange 即 公式或由 即 公式或由 例17例17 1 2 并作函数的图形渐近线拐点区间 凹凸极值的单调区间求函数 x x xy 解解 1 定义域定义域 1 x 1 1 1 1 UU即即 1 2 x x xxfQ xf 奇函数奇函数 y 2 22 2 1 1 1 x x 1 3 22 22 x xx 0 y 令令 3 0 3 x得得 y 22 2 1 3 2 x xx 0 y 令令 0 x得可能拐点的横坐标得可能拐点的横坐标 lim 3 y x Q 没有水平渐近线没有水平渐近线 lim 1 y x 又又 lim 1 y x 1的铅直渐近线为曲线的铅直渐近线为曲线 yx x y a x limQ 1 1 lim 2 x x x x x 1 limaxyb x limxy x 1 lim 2 x x x 0 的斜渐近线为曲线直线的斜渐近线为曲线直线yxy x 3 1 0 1 3 3 0 1 y y y 1 0 极大值极大值 0 拐点拐点 00 x 31 y y y 极小值极小值 0 3 1 3 3x y极大值极大值 3 2 3 3x y极小值极小值 3 2 3 0 0 拐点为拐点为 4 列表如下列表如下 x y o xy 1 1 作图作图 5 例 18 计算 例 18 计算 4 0 3cos2 lim 2 x xe x x 解解 2 1 1 442 2 xoxxex Q 4 2 1cos 5 42 xo xx x 4 1 2 2 1 3cos2 44 2 xoxxex 4 44 0 12 7 lim x xox x 原式原式 12 7 24 1 2 1 2 lim 0 1cos lim 2 0 4 2 0 x xf x xxfx xx 求练习 求练习 利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限 例19例19 1 51 lim 5 2 0 xx x x 求极限求极限 解解 2的次数为分子关于的次数为分子关于 xQ 5 1 5 51 51xx 5 1 5 1 5 1 2 1 5 5 1 1 22 xoxx 21 22 xoxx 1 21 lim 22 2 0 xxoxx x x 原式原式 2 1 例 20 计算 例 20 计算 23 lim 434323 xxxx x 解解 3 3 1 1 31 3 1 tott Q 2 4 1 1 21 4 1 tott 2 3 21 31 4 1 3 1 tottt 2 3 2 3 lim 0 t tot t 原式原式 1 x t 令令 0 tx时 则时 则 t tt t 43 0 2131 lim 原式原式 1221 2 有且仅有三个实根证明方程例 x x 12 1 2 上具有任意阶导数在则令上具有任意阶导数在则令Rxfxxf x 06 5 01 2 x f 又 又0 bf B B xf在在 ba上单调增加 且上单调增加 且0 bf C C xf在在 ba上单调减少 且上单调减少 且0 x f 二阶导数 二阶导数0 x 试证 试证xx x x 1ln 1 五 设 五 设dcxbxaxxf 23 有拐点 1 2 并在该点有水平切线 有拐点 1 2 并在该点有水平切线 xf交交x轴于点 3 0 求 轴于点 3 0 求 xf 六 确定 六 确定cba 的值 使抛物线的值 使抛物线cbxaxy 2 与正弦曲线在点 与正弦曲线在点 1 2 相切 并有相同的曲率 七 绘出函数 相切 并有相同的曲率 七 绘出函数 1ln 2 xxf的图形 的图形 八 设八 设 xf在在 1 0 上连续 在 0 1 内可导 且上连续 在 0 1 内可导 且 1 1 0 0 ff 试证 对任意给定的正数 试证 对任意给定的正数ba 在在