《理论力学》第八章_刚体的平面运动习题解.pdf

1 第八章第八章 刚体的平面运动习题解刚体的平面运动习题解 习题习题8 8 1 1 椭圆规尺 由曲柄 带动 曲柄以匀角速度 绕 轴匀速转动 如 并取 为基点 求椭圆规尺 的平面运动方程 解 解 椭圆规尺 的平面运动方程为 trrxC 0 coscos trryC 0 sinsin t 0 顺时针转为负 习题习题8 8 2 2 半径为 的齿轮由曲柄 带动 沿半径为 的固定齿轮滚动 如曲柄 以匀加 速度 绕 轴转动 且当运动开始时 角速度 转角 求动齿轮以中心 为基点 的平面运动方程 解解 dt d dtd 1 Ct 1 00C 0 1 C t t dt d tdtd 2 2 2 1 Ct 2 2 0 2 1 0C 0 2 C 2 2 1 t 2 A B C A v B v C v I AB 2 cos cos 2 t rRrRxA 2 sin sin 2 t rRrRyA AA rtrROAv t r rR A t r rR dt d A dtt r rR d A 3 2 2 C t r rR A 3 2 0 2 0C r rR 0 3 C 2 2 t r rR A 故 动齿轮以中心 为基点的平面运动方程为 2 cos 2 t rRxA 2 sin 2 t rRyA 2 2 t r rR A 习题习题8 8 3 3 试证明 作平面运动的平面图形内任意两点的连线中点的速度等于该两点速度的矢 量和之一半 已知 已知 如图所示 CBAC A v B v 求证求证 2 1 BAC vvv 证明证明 3 1 v 2 v I O O v sm 2 sm 6 m5 0 m5 0 A ABABAAB ABvvvv 2 1 2 1 2 1 BAABAABACAAC vvvvvABvvvv 本题得证 习题习题8 8 4 4 两平行条沿相同的方向运动 速度大小不同 1 齿 条之间夹有一半径 5 的齿轮 试求齿轮的角速度及其中心 的速度 解解 运动分析如图所示 其中 I为速度瞬心 1 5 0 26 2 o v 424 2 1 0 smv 齿轮中心O的速度 方向如图所示 26 6 1 AI 5 1mAI 齿轮的角速度为 4 5 1 6 1 srad AI v 习题习题8 8 5 5 用具有两个不同直径的鼓轮组成的铰车来提升一圆管 设 轮轴的转速 试求圆管上升的速度 解解 047 1 60 1014 32 60 2 srad n 05 157047 1150smmRvE 向上 4 E v O v D v C AB B v A v x y Cx v Cy v 0 30 0 30 0 60 0 60 A v B v 0 60 0 30 0 30 35 52047 150smmrvD 向下 钢管作平面运动 其中心的速度 习题8 3结论 为 35 52 35 5205 157 2 1 0 smmv 方向 向上 习题习题8 8 6 6 两刚体 用铰 连结 作平面平行运动 已知 在图 示位置 方向如图所示 试求 点的速度 解 解 CBBC vvv BCCBCB vv Cx v 0 0 Cx v CAAC vvv ACCACA vv 00 30cos30cos cyA vv 200smmvv Acy smmvv cyC 200 方向沿着负y轴方向 习题习题8 8 7 7 题8 中若 与 的夹角为 其它条件相同 试求 点的速度 5 C AB B v A v x y Cx v Cy v 0 30 0 30 0 60 0 60 0 60 C x y Cx v Cy v C v 解 解 运动分析如图所示 CBBC vvv BCCBCB vv CxB vv 0 60cos 505 0100smmvCx CAAC vvv ACCACA vv 000 60cos30cos30cos cxcyA vvv 5 050866 0866 0200 cy v 25866 02 173 cy v 13 171 866 0 2 17325 smmvcy 29 178 13 171 50 22 22 smmvvv cycxc 0 71 73 29 178 50 arccosarccos c cx v v 习题习题8 8 8 8 杆 以 的匀角速度绕 转动 并带动杆 杆 上的 点 沿水平轴 运动 点沿铅垂轴 运动 已知 求 当 时杆上 点的速度 6 B v A v C v A C B O D x y I D v 0 45 0 45 0 45 解 解 2402120smmOBvB 2 120 240 srad OB v IB v BB AD 022 135cos2CDICCDICID 2 2 12021202120 2120 22 33 2685120mm 66 5636233 268smmIDv ADD 习题习题8 8 9 9 图示一曲柄机构 曲柄 可绕 轴转动 带动杆 在套管 内滑动 套管 及 与其刚连的 杆又可绕通过 铰而与图示平面垂直的水平轴运动 已知 当 转至铅直位置时 其角速度 试求 点 的速度 解 解 解解 BDBD杆与AC杆的角速度相同 即 ACBD 确定了 AC 问题便可解决 AC杆作平面运动 OA与BD作定轴转动 如图1所示 I为AC杆此时的速度瞬心 图中 B v为AC杆上此瞬时与铰B重合 的 B的速度 AIAI AB AB OA500 500 300 cos 3 2500 mmAI 7 A v B v OA B 0 60 0 60 0 30 1 O 6002300 0 sradOAvA 72 0 3 2500 600 srad AI vA BDAC 21672 0300smmBDv BDD 习题习题8 8 1010 图示一传动机构 当 往复摇摆时可使圆轮绕 轴转动 设 在图示位置 试求圆轮转动的角速度 解 解 OA作定轴转动 AB作平面运动 圆轮作定轴转动 3002150smmOAvA BAAB vvv ABAABB vv 8 259866 030030cos 0 smmvv AB 6 2 598 2 100 8 259 1 1 sradsrad BO vB O 习题习题8 8 1111 在瓦特行星传动机构中 杆 绕 轴转动 并借杆 带动曲柄 而曲柄 B活动地装置在 轴上 在 轴上装有齿轮 齿轮 的轴安装在杆 的 端 已知 mmrr3300 21 又杆 的角速度 求当 与 时 曲柄 及轮 的角速度 8 A v B v 0 60 0 30 A B 1 O O OB I AB 0 30 解 解 O1A作定轴转动 AB作平面运动 圆轮O及OB作定轴转动 45006750 1 1 smmAOv OA BAAB vvv ABAABB vv 3897866 0450030cos 0 smmvv AB 75 3 33002 32250 srad OB vB OB 3000 5 0 1500 30sin mm AB AI 5 1 3000 4500 srad AI vA AB 两轮啮合点 OB的中点 的速度 6 31175 1 732 1300866 03000 BI 2 smmrv ABnhd 6 732 1300 6 3117 1 srad r vnhd I 习题习题8 8 12 12 活塞 由绕固定轴 转动的齿扇带动齿条而上下运动 在题8 附图所示位 置 曲柄 的角速度 已知 求活塞 的速度 9 O A B O 0 30 0 60 B v A v 0 BO 解解 6003200 0 sradOAvA BAAB vvv ABAABB vv 60030cos 0 AB vv 84 692 866 0 600 smmvB 464 3 200 84 692 srad b vB BO 4 346464 3100 smmavv BO C 啮合点 活塞的速度 方向向上 习题习题8 8 13 13 在图示机构中 杆 可绕 转动 套筒 可沿 杆滑动 与套筒 的 端 相铰连的滑块可在水平直槽内滑动 已知 套筒长 求 时套筒 端的速度 解解 动点 A点 动系 固连于AC杆的坐标系 静系 固连于地面的坐标系 相对运动 A对于AC的运动 10 A v e v r v 0 30 A A v 0 60 BA v B v O 0 150 A B B v D v 0 60 0 60 D HF E I 0 30 0 30 m2 0 m25 0 m15 0 J G v G F v 牵连运动 AC杆上与A相重点相对于地面的运动 绝对运动 A相对于地面的运动 reA vvv 4622 866 0 200 2 30cos 0 smm b OAve 533 866 0 462 30cos 0 smm v v e A BAAB vvv 4002200smmABvBA 0 22 150cos2 BAABAAB vvvvv 866 04005332400533 22 902smm 习题习题8 8 1414 图示矩形板BDHF用两根长0 15m的连杆悬挂 已知图示瞬时连杆AB的角速度为 4rad s 其方向为顺时针 试求 1 板的角速度 2 板中心G的速度 3 板上F点的速度 4 找出板中速度等于或小于0 15m s的点 解 解 1 求板的角速度 3 2 0 415 0 srad BI AB BI v ABB 板 2 求板中心G的速度 1732 030cos2 0 0 mIJ 11 G s A B D C H A s E s B s C s 2 I 3 I 1 I E F G H s 0482 0 2 15 0 1732 0mIG 0 144630 0482smIGvG 板 3 求板上F点的速度 1243 0 1732 025 0 1 0 22 mIF 0 37330 1243smIFvF 板 4 求板中速度等于或小于0 15m s的点 15 0 板 xvx 05 03 15 0mx 板中速度等于或小于0 15m s的点在以瞬心I为圆心 半径为m05 0的圆内 圆周上速度为 sm 15 0 圆内速度小于sm 15 0 习题习题8 8 1515 图示一静定刚架 设 支座向下沉陷一微小距离 求各部分的瞬时转动中心的位置 及 与 点微小位移之间的关系 解 解 整个刚架的瞬时转动中心如图所示 ta s a v GG BCG G G BCGBB st ta sa atBItvs 2 5 2 22 3 12 O O D AB C 0 60 0 30 A S D S C S B S 1 I 2 I 0 30 0 30 ta s s ta ta s BI v G G BB AB 2 5 5 2 2 5 2 G G ABAA st ta s atAItvs 2 5 2 5 2 ta s s ta ta s AI v G G AA AD 2 5 5 2 2 5 1 G G ADHH st ta s atHItvs 1 即 GH ss 习题习题8 8 16 16 机构在图示位置时 曲柄AO 垂直于AB AB平行于OO 试求A D两点微 小位移之间的关系 已知mmCD400 BOBC 解 解 t s t CD s DI v DDD CD 800 30sin 0 1 tvs CC tCI CD 1 t t sD 800 2 3 800 D s 2 3 DCB sss 4 3 2 1 tBI s BI v BB AB 22 tvs AA tAI AB 2 t tBI s AI B 2 2 13 A B CDE m4m4 m4 m6 A B CDE m4m4 m4 m6 B S 1 I 2 I E S D s 4 3 30cos 0 D s 4 3 2 3 D s 8 3 即 DA ss 8 3 习题习题8 8 1717 桥由三部分组成 支承情况如图所示 当 支座有一微小水平位移 支座向下沉陷一微小距离 处发生一微小水平位移 试分别绘出三种情况下桥各个 部分的瞬时转动中心 解 绘制当 支座有一微小水平位移时 桥各个部分的瞬时转动中心 此时 只有BE部分和DE总分会运动 这两部分的瞬时转动中心如图所示 14 A B CDE m4m4 m4 m6A S 3 I 2 I 1 I s C S D S E S A B C D E m4m4 m4 m6 C S D S E S 1 I 3 I 2 I A B A a A a B a BA a n BA a BA a 绘制 支座向下沉陷一微小距离时 桥各部分的瞬时转动中心 ACD的瞬时转动中心在右边的无穷远处 DE的瞬时转动中心在E点 EB的瞬时转动中心在 I3处 绘制当 处发生一微小水平位移时 桥各部分的瞬时转动中心 图中 1 I 2 I 3 I分别为ACD DE EB的瞬时转动中心 习题习题8 8 1818 刚体作平面运动时 在什么情况下平面图形内任意两点的加速度在此两点连线上的 投影相等 解 解 刚体作平面运动时 平面图形内任意两点的加速度之间的关系为 BABA aaa 或 n BABABA aaaa 上式的关系如图所示 由图可知 当且仅当 0 BA a时 才有 BA aa 即 ABBABA aa 当 BA aa时 作平面运动的刚体作瞬时平动 换句话说 15 C O A A v O v I 当刚体作瞬时平动时 平面图形内任意两点的加速度在此两点连线上的投影相等 习题习题8 8 1919 绕线轮沿水平面滚动而不滑动 轮的半径为 在轮上有圆柱部分 其半径为 线绕于圆柱上 线的 端以速度 与加速度 沿水平方向运动 求绕线轮轴心 的速度和加速 度 解 解 BA vv OAAO vvv C点为速度瞬心I rR R v v A O rR Ru rR Rv v A O 因为O点作直线运动 所以 rR Ra a rR R dt du rR R rR Ru dt d dt dv a o O 习题习题8 8 2020 在图示机构中 曲柄 长l 以匀角速 0 绕 转动 滑块 沿 轴滑动 已知 lACAB2 在图示瞬时 垂直于 轴 求该瞬时 点的速度及加速度 解 解 1 求该瞬时 点的速度 OA作定轴转动 BC作平面运动 00 lOAvA 2 0 2 0 lOAa n A 0 0 0 dt d lOAaA 16 A O C B 0 30 n AA aa A a A a 0 30 B a BA a n BA a CA a C a n CA a A v C v A O C B 0 30 B v x BAAB vvv ABAABB vv 00 30cos30cos AB vv AB vv 即刚体BC作瞬时平动 故 0 lvv AC 2 求该瞬时 点的加速度 A点的加速度 BCC v 0 BC 2 0 2 0 lOAa n A 0 0 0 dt d lOAaA 2 0 laa n AA B点的加速度 BA n BAAB aaaa 02 22 BCBA n BA lABa BCBA A BA lAB la a 2 3 2 30cos 2 0 0 3 2 0 BC C点的加速度 CA n CAAC aaaa 02 22 BCCA n CA lACa 3 2 3 2 2 0 2 0 l lACa BCCA 02 2 150cos2 CAACAAC aaaaa 17 B A C O D 0 A a n AA aa A a 0 n BA a BA a B a n B a D a n D a n A v B v D v B A C O D 2 3 3 2 2 3 2 2 0 2 0 22 0 22 0 llllaC 2 0 2 3 4 1 l 2 0 08 2 l 习题习题8 8 21 21 图为一机构的简图 已知轮的转速为一常量min 60rn 在图示位置 求齿板最下一点 的速度和加速度 解 解 1 求D点的速度 在图示瞬时 AB作瞬时平动 14 3 60 6014 3 60 2 5 0sm n OAvv AB 4 5 0 2 CB CD v v B D 56 1214 34smvD 2 求D点的加速度 B点的加速度 ABABB IBv 0 AB 0 2 AB n BA ABa 18 B A C O D 0 A a n AA aa A a 0 n BA a BA a B a n B a D a n D a x D a n BA n BAAB aaaa BA n BAA n BB aaaaa 上式在x轴上的投影为 coscoscos A n BB aaa 90cos 90cos cos 00 A n BB aaa sinsincos A n BB aaa tan cos sinsin n BA n BA B aa aa a tan 5 0 5 0 2 2 0 B A v tan 5 0 5 0 2 2 0 A A v tan 5 05 0 22 OAOA tan 2 OA 2 1 5 0 60 2 2 n 2 1 5 0 60 602 2 3 0 5 0 2 3 0 5 0 2 CDB BCa 3 0 5 0 5 0 2 CD 3 0 2 CD 3 0 2 2 CDD CDa CDAB BCvv 60 602 5 0 19 A v A O B C 0 C v B v 2 I 1 I 0 30 0 30 r6 r33 r3 r36 r9 r33 2 5 0 BC CD 222 8 2 2 CD n D CDa 675 102 8 3 0 2 2222 2 22 smaaa n DDD 0 81 39 8 3 0 2 arctanarctan n D D a a 习题习题8 8 2222 在图示机构中 曲柄OA长r 绕O轴以匀角速度 0 转动 在图示瞬时 0 60 0 90 又rAB6 rBC33 试求滑块C的速度和加速度 解 解 BAAB vvv 0 rvA OA作定轴转动 ABABA rAIv 3 1 AB作平面运动 故 0 3 1 AB 00 0 1 3 3 1 30cos6 rrBIv ABB AB作平面运动 BCBCB rBIv 36 2 BC作平面运动 20 B A O 1 O A v I A O B C 0 r6 r33 0 A a n AA aa BA a n BA a CB a n CB a r B a A a B a C a 故 0 6 1 BC 002 2 3 6 1 9 rrCIv BCC 0 A a 2 0 ra n A 2 0 raa n AA BA n BAAB aaaa 上式在法线 AB 方向上的投影为 00 60cos60cos A n BAB aaa 2 0 2 0 2 0 2 0 2 6 1 2 1 3 1 6 2 1 6 2 1 rrrrra ABB 2 0 3 1 raB CB n CBBC aaaa 上式在BC线上的投影 2 0 2 0 2 0 0 12 3 6 1 33 2 3 3 1 60sin rrraaa n CBBC 习题习题8 8 23 23 四连杆机构 中 以匀角速度 srad 2 转动 当 时 与 在一直线上 求这时 及 的角速度 杆与 杆的角加速度 解 解 21 B A O 1 O I A a A a BA a n BA a AB n B a B a y x BO1 求 及 的角速度 BAAB vvv 2002100smmOAvA OA作定轴转动 200100smmAIv ABABA AB作定轴转动 2srad AB 4002200100 11 1 ABBOBOB BIBOv 4 1 srad BO 杆与 杆的角加速度 0 A a 4002100 222 smmOAan A 400 2 smmaa n AA 0 B a 16004100 222 1 1 smmBOa BO n B 1600 2 smmaa n BB 43 8942200100 22222 smmABa AB n BA BA n BAAB aaaa BA n BAAB n B aaaaa 上式在x轴上的投影为 sincos BA n BA n B aaa 85 1788 100 200100 1600 100 200 43 894seccot sin cos 2 22 smmaa aa a B n BA B n BA BA 85 1788 AB AB 8 200100 85 1788 22 srad AB BA n BAAB n B aaaaa上式在y轴上的投影为 cossin BA n BAAB aaaa 22 0 v I O 0 B A 1 O O a R n B a 0 60 x y e v r v BO v 0 v cossin 1 1BA n BAABO aaaBO BOaaa BA n BAABO1 cossin 1 16 61 223 200 85 1788 61 223 100 43 894400 100 1 1 srad BO 习题习题8 8 24 24 如图所示 轮 在水平面上滚动而不滑动 轮心以匀速 运动 轮 缘上固连销钉 此销钉在摇杆 的槽内游动 并带动摇杆绕 轴转动 已知 轮的半径 在图示位置时 是轮的切线 摇杆与水平面间的交角为 求摇杆在 该瞬时的角速度和角加速度 解 解 由轮O作平面运动得 00BB vvv 由B作复合运动得 reB vvv 故 reB vvvv 00 上式在x轴上的投影为 eo vv 0 30cos 1732 0866 02 030cos 0 0 smvve 2 0 60tan5 0 1732 0 0 1 1 srad BO ve AO reB vvvv 00 在y轴上的投影为 rBO vvv 0 0 30sin 3 0 5 0 2 0 5 01 05 02 030sin 0 0 0 smRvvv BOr 由轮O的平面运动得 BO n BOOB aaaa 由B的复合运动得 23 I O 0 B A 1 O R n BO a 0 60 x y n e a e a r a C a AO1 CreB aaaa 故 BO n BOOCre aaaaaa BO n BOOCr n ee aaaaaaa 式中 0 0 dt dv aO 0 0 0 dt d RRaBO 故 n BOCr n ee aaaaa 上式在x轴上的投影为 n BOCe aaa 2 01 11 2 RvBO rAOAO 2 0 11 260tan RvR rAOAO 0 2 0 60tan 2 1 1 R vR rAO AO 式中 4 0 5 0 2 0 0 0 srad R v 0 2 0 60tan 2 1 1 R vR rAO AO 故 0462 0 732 15 0 3 02 024 05 0 2 1 srad AO 习题习题8 8 25 25 等边三角板 边长mml400 在其所在平面内运动 已知某瞬时 点的 速度 加速度 方向均沿 点的速度大小 加速度大小 试求该瞬时 点的速度及加速度 解解 1 求C点的速度 BAAB vvv 上式在x轴上的投影为 24 A v A B B v I C vC 0 30 A B C 0 30 A a A a n BA a Bx a By a BA a A a CA a n CA a 0 60coscos AB vv 1400 5 0800 60coscos 0 BA vv 0 0 732 1 5774 0400 400 30tan 0 srad AB v BI v BB 23130tan400 0 mmBI 1 611150cos4002312400231 022 mmCI 4 1058732 11 611smmCIvC 2 求C点的加速度 假定角加速度顺时针转 如图所示 BA n BAAByBx aaaaa 上式在x轴上的投影为 n BAABx aaa 0 60cos 400 3 4005 03200 22 smm 82 692400800 22222 smmaaa BxBBy BA n BAAByBx aaaaa在y轴上的投影为 BAABy aaa 0 60sin BAABy aaa 0 60sin 02 3464866 0320082 69260sin 20 smmaaa AByBA 66 8 400 02 3464 2 srad AB aBA 1200 3 400 222 smmACan CA 346466 8400 2 smmACaCA 40003464 12003200 22222 smmaaaa Ca n CAAC 假定角加速度逆时针转 如图所示 25 A B C 0 30 A a A a n BA a Bx a By a BA a A a CA a n CA a BA n BAAB aaaa n BAABx aaa 0 60cos 400 3 4005 03200 22 smm BAABy aaa 0 60sin BA BA a 2 2771866 03200 480000400800 22222 BxBBy aaa 82 692 By a 82 6922 2771 BA 38 2078 2 smmaBA 与图示方向相反 2 5 400 38 2078 2 srad AB aBA 1200 3 400 222 smmACan CA 2080 2 5 400 2 smmACaCA 与图示方向相反 6 2885 2080 12003200 22222 smmaaaa Ca n CAAC 习题习题8 8 26 26 反平行四边形机构中 曲 柄 以匀角速度 绕 点转动 求 垂直于 时 杆的角速度及角加 速度 26 A B C D B v C v I E CD BC A B C D B a CB a n CB a B a n C a C a x y CB 400 CDEDCE 400sin400cos200 2sin2cos sin1 2cos sin1 2sin1 2 22 sin4sin84sin1 03sin8sin5 2 6 0 1 10 28 52 354 8 8 sin 2 不合 舍去 0 87 366 0arcsin 15087 36tan200tan 0 mmBCBI 3400 ABBIv BCB 3400150 BC 8srad BC 20008 87 36cos 200 0 BCCDC CICDv 5400 2000 2000sradCD CD 由BC作平面运动得 CB n CBBC aaaa 由CD作平面运动得 C n CC aaa 故 CB n CBBC n C aaaaa 上式在y轴上的投影为 128008200cossin 22 BC n CB n CC BCaaa 8000 87 36sin 1280087 36cos5400 sin 12800cos 2 0 02 smmaa n CC 上式在x轴上的投影为 27 C B 1 O 2 O E F 0 60 0 30 0 Ca v Ce v Cr v B v E v F v 0 30 I CBBC n C aaaa cossin CBBC n C aaaa cossin 22 400cos8000sin400cossin CDBC n CCB aaaa 4000340087 36cos800087 36sin5400 222 smmaCB CBCB aCB 20