2009年全国高考数学试题及答案-江苏卷.pdf

绝密 启用前 2009 年普通高等学校招生全国统一考试 江苏卷 数学 2009 年普通高等学校招生全国统一考试 江苏卷 数学 参考公式 参考公式 样本数据 12 n x xx 的方差 22 11 11 nn ii ii sxxxx nn 其中 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 70 分 请把答案填写在答题卡相应的位分 请把答案填写在答题卡相应的位 置上置上 1 若复数 12 429 69zi zi 其中i是虚数单位 则复数 12 zz i 的实部为 答案 20 解析 略 2 已知向量a和向量b的夹角为30 2 3 ab 则向量a和向量b的数量积 a b 答案 3 解析 3 233 2 a b 3 函数 32 15336f xxxx 的单调减区间为 答案 1 11 解析 2 330333 11 1 fxxxxx 由 11 1 0 xx 得单调减区间为 1 11 4 函数sin yAxA 为常数 注注 意意 事事 项项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1 本试卷共 4 页 包含填空题 第 1 题 第 14 题 解答题 第 15 题 第 20 题 本卷满分 160 分 考试时间为 120 分钟 考试结束后 请将本卷和答题卡一并交回 2 答题前 请您务必将自己的姓名 准考证号用 0 5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的 规定位置 3 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名 准考证号与您本人是否相符 4 请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答 在其他位置作答一律无效 作答必须用 0 5 毫米黑色墨水的签字笔 请注意字体工整 笔迹清楚 5 如需作图 须用 2B 铅笔绘 写清楚 线条 符号等须加黑 加粗 6 请保持答题卡卡面清洁 不要折叠 破损 1 1 2 3 3 Ox y 0 0 A 在闭区间 0 上的图象如图所示 则 答案 3 解析 3 2 T 2 3 T 所以3 5 现有 5 根竹竿 它们的长度 单位 m 分别为 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 若从中一次随机 抽取 2 根竹竿 则它们的长度恰好相差 0 3m 的概率为 答案 0 2 解析 略 6 某校甲 乙两个班级各有 5 名编号为 1 2 3 4 5 的学生进行投篮练习 每人投 10 次 投中的次数如下表 学生 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号 甲班 6 7 7 8 7 乙班 6 7 6 7 9 则以上两组数据的方差中较小的一个为 2 s 答案 2 5 解析 略 7 右图是一个算法的流程图 最后输出的W 答案 22 解析 略 8 在平面上 若两个正三角形的边长的比为 1 2 则它们的面积比为 1 4 类似地 在空间 若两个正四面体的棱长的比为 1 2 则它 们的体积比为 答案 1 8 解析 略 9 在平面直角坐标系xoy中 点 P 在曲线 3 103C yxx 上 且在第二象限内 已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2 则点 P 的 坐标为 答案 2 15 解析 略 10 已知 51 2 a 函数 x f xa 若实数 m n满足 f mf n 则 m n的大 开始 0S 1T 2 STS 10S 2TT WST 输出W 结束 Y N 小关系为 答案 mn 解析 略 11 已知集合 2 log2Axx Ba 若AB 则实数a的取值范围是 c 其中c 答案 4 解析 由 2 log2x 得04x 0 4 A 由AB 知4a 所以c 4 12 设 和 为不重合的两个平面 给出下列命题 1 若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线 则 平行于 2 若 外一条直线l与 内的一条直线平行 则l和 平行 3 设 和 相交于直线l 若 内有一条直线垂直于l 则 和 垂直 4 直线l与 垂直的充分必要条件是l与 内的两条直线垂直 上面命题中 真 命题 的序号 写出所有真命题的序号 答案 1 2 解析 略 13 如图 在平面直角坐标系xoy中 1212 A A B B为椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的 四个顶点 F为其右焦点 直线 12 AB与直线 1 B F相交于点 T 线段OT与椭圆的交点M 恰为线段OT的中点 则该椭圆的离心率为 答案 2 75e 解析 用 a b c表示交点 T 得出 M 坐标 代入椭圆方程即可转 化解得离心率 14 设 n a是 公 比 为q的 等 比 数 列 1q 令 1 1 2 nn ban 若 数 列 n b有 连 续 四 项 在 集 合 53 23 19 37 82 中 则6q 答案 9 解析 将各数按照绝对值从小到大排列 各数减 1 观察即可得解 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 小题 共计小题 共计 90 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文 字说明 证明或演算步骤 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文 字说明 证明或演算步骤 15 本小题满分 14 分 x y A1 B2 A2 O T M 设向量 4cos sin sin 4cos cos 4sin abc 1 若a与2 bc垂直 求tan 的值 2 求 bc的最大值 3 若tantan16 求证 a b 解析 由a与2 bc垂直 2 20 abca ba c 即4sin 8cos 0 tan 2 sincos 4cos4sin bc 2 bc 22 sin2sincoscos 22 16cos32cossin16sin 1730sincos 1715sin2 最大值为 32 所以 bc的最大值为4 2 由tantan16 得sinsin16coscos 即4cos4cossinsin0 所以a b 16 本小题满分 14 分 如图 在直三棱柱 111 ABCABC 中 E F分别是 11 AB AC的中点 点D在 11 BC上 11 ADBC 求证 1 EF ABC平面 2 111 AFDBBC C 平面平面 解析 证明 1 因为E F分别是 11 AB AC的中 A B C B1 C1 E F D 点 所以EF BC 又EF 面ABC BC 面ABC 所以EF ABC平面 2 因为直三棱柱 111 ABCABC 所以 1111 BBABC 面 11 BBAD 又 11 ADBC 所以 111 ADBCC 面B 又 11 ADAFD 面 所以 111 AFDBBC C 平面平面 17 本小题满分 14 分 设 n a是公差不为零的等差数列 n S为其前n项和 满足 2222 23457 7aaaa S 1 求数列 n a的通项公式及前n项和 n S 2 试求所有的正整数m 使得 1 2 mm m a a a 为数列 n a中的项 解析 1 设公差为d 则 2222 2543 aaaa 由性质得 4343 3 d aad aa 因为0d 所以 43 0aa 即 1 250ad 又由 7 7S 得 1 76 77 2 ad 解得 1 5a 2d 所以 n a的通项公式为27 n an 前n项和 2 6 n Snn 2 1 2 2725 23 mm m a a m m a m 令23mt 1 2 42 mm m a a t t at 8 6t t 因为t是奇数 所以t可取的值为1 当1t 2m 时 8 63t t 2573 是数列 n a中的项 1t 1m 时 8 615t t 数列 n a中的最小项是5 不符合 所以满足条件的正整数2m 18 本小题满分 16 分 在平面直角坐标系xoy中 已知圆 22 1 3 1 4Cxy 和圆 22 2 4 5 4Cxy 1 若直线l过点 4 0 A 且被圆 1 C截得的弦长为2 3 求 直线l的方程 2 设 P 为平面上的点 满足 存在过点 P 的无穷多对互相垂的 直线 12 ll和 它们分别与圆 1 C和圆 2 C相交 且直线 1 l被圆 1 C截 得的弦长与直线 2 l被圆 2 C截得的弦长相等 试求所有满足条件的 点 P 的坐标 解析 1 0y 或 7 4 24 yx 2 P 在以 C1C2的中垂线上 且与 C1 C2等腰直角三角形 利用几何关系计算可得 点 P 坐标为 3 13 2 2 或 51 22 19 本小题满分 16 分 按照某学者的理论 假设一个人生产某产品单件成本为a元 如果他卖出该产品的单 价为m元 则他的满意度为 m ma 如果他买进该产品的单价为n元 则他的满意度为 n na 如果一个人对两种交易 卖出或买进 的满意度分别为 1 h和 2 h 则他对这两种交易的 综合满意度为 1 2 hh 现假设甲生产 A B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元 乙生产 A B 两种产品 的单件成本分别为 3 元和 20 元 设产品 A B 的单价分别为 A m元和 B m元 甲买进 A 与 卖出 B 的综合满意度为h甲 乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为h乙 1 求h甲和h乙关于 A m B m的表达式 当 3 5 AB mm 时 求证 h甲 h乙 2 设 3 5 AB mm 当 A m B m分别为多少时 甲 乙两人的综合满意度均最大 最大的 综合满意度为多少 3 记 2 中最大的综合满意度为 0 h 试问能否适当选取 A m B m的值 使得 0 hh 甲 和 x y O 1 1 0 hh 乙 同时成立 但等号不同时成立 试说明理由 4 求h甲和h乙关于 A m B m的表达式 当 3 5 AB mm 时 求证 h甲 h乙 5 设 3 5 AB mm 当 A m B m分别为多少时 甲 乙两人的综合满意度均最大 最大的 综合满意度为多少 6 记 2 中最大的综合满意度为 0 h 试问能否适当选取 A m B m的值 使得 0 hh 甲 和 0 hh 乙 同时成立 但等号不同时成立 试说明理由 解析 1 125320 ABAB ABAB mmmm hh mmmm 乙甲 3 12 5 20 AB mm 当 3 5 AB mm 时 2 3 5 3 5 20 5 12 5 B BB BBB B m mm h mmm m 甲 2 3 5 3 20 5 20 3 5 B BB BBB B m mm h mmm m 乙 显然 hh乙 甲 2 当 3 5 AB mm 时 2 2 11 20511 20 5 1 1 100 251 B BB BBBB m h mm mmmm 甲 由 111 5 20 20 5 B B m m 得 故当 11 20 B m 即20 12 BA mm 时 甲乙两人同时取到最大的综合满意度为 10 5 20 本小题满分 16 分 设a为实数 函数 2 2 f xxxaxa 1 若 0 1f 求a的取值范围 2 求 f x的最小值 3 设函数 h xf x xa 直接写出 不需给出演算步骤 不等式 1h x 的 解集 解析 1 若 0 1f 则 2 0 11 1 a a aa a 2 当xa 时 22 32 f xxaxa 2 2 min 02 0 2 0 0 3 3 f a aaa f x a a fa a 当xa 时 22 2 f xxaxa