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湖南大学 2011 年数学竞赛试卷 非数学类非数学类 题号一二三四五六七八九十总分 应得分25151212121212 实得分 一 一 每小题 每小题 5 分 共分 共 25 分 分 解答下列各题 要求写出重要步骤 解答下列各题 要求写出重要步骤 1 设函数 f x在点0 x 处有 0 0f 0 1 f 求 1 sin 0 lim 12 x x f x 2 求 sin 4 0 sin 1 1 lim sin 3 xx x ee x 专业班级 学号 姓名 装订线 题目不得超过此线 3 已知入射光线的路径为 11 2 43 xy z 求此光线经过平面25170 xyz 反射后 的反射线的方程 4 设函数 f g有二阶连续导数 xy u x yyfxg yx 求 xxxy xuyu 5 设数列 n x单调增加 有界 且0 n x 试判别级数 1 1 1 n n n x x 的敛散性 二二 15 分 分 设函数 f x在 a b上连续 且 0 1 t 及 12 xxa b 满足 1212 1 1 f txt xtf xt f x 证明 d 22 b a f xx abf af b f ba 装订线 题目不得超过此线 湖湖南南大大学学教教务务处处考考试试中中心心 三三 12 分 分 设函数 f x在 0 上可导 lim x f x 存在 函数 f x的图形在 0 上 是凸的 求证 lim 0 x fx 四四 12 分分 设 f x在 内具有连续导数 且满足 222 22224 2 d d xyt f txy fxyx y t 求 2 2 d d f x x 五五 12 分分 在第一象限从曲线 2 2 1 4 x y 上找一点 使通过该点的切线与该曲线以及x轴 和y轴所围成的图形面积最小 并求此最小面积 六六 12 分分 设 f x在 0 1 上连续 0 1 内可导 且 1 0 0 1 d0ffxf xx 求 证至少存在两点 1 和 2 满足 12 01 使得 2 1 2 iii ffi 成立 装订线 题目不得超过此线 湖湖南南大大学学教教务务处处考考试试中中心心 七 七 12分 分 已知点 1 0 0 A与点 1 1 1 B 是由直线AB绕Oz轴旋转一周而成的旋转曲面 介于平面0z 与1z 之间部分的外侧 函数 f u在 内具有连续导
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