第4讲 数学概念的划分和命题.ppt

第四讲数学概念和命题 数学概念的划分 概念的内涵借助于定义来揭示 那么概念的外延借助于哪种方法来揭示呢 前面讲述的概念间的关系是揭示外延的一种方法 此外还有借助于概念的划分来揭示概念外延的方法 概念的划分是把一个属概念 按一定标准分为若干个不相容的种概念的逻辑方法 划分是一种科学的分类 与通常将某一事物分成若干种情况的说法 在意义上有较大差别 划分必须按一定标准进行 逻辑学上的划分是一种专有名词的任何划分包含三部分 它们是划分的母项 属概念 划分的子项 各个种概念 以及划分的标准 划分必须遵守一定的原则 要求 划分必须按照同一标准 定义所规定 划分的各子项间必须是不相容关系 定义所规定 划分必须相称 即划分的子项的外延之和必须等于被划分的属概念的外延 划分不能越级 而被划分的属概念必须是划分的各子概念的最邻近的属概念 是保证划分的一致性 不能混乱 要求 和 是保证划分 不漏 不重 要求 是保证划分层次分明 清晰 合理 不符合要求 和 划分中没有同一标准 且各子项关系不是不相容关系 不符合要求 其中只有两边相等的三角形被漏掉 不符合要求 直角梯形最邻近的属是梯形 而不是四边形 按划分的要求 四边形应划分为 这样的划分是按照标准 四边形的每组对边的平行关系 其中没有一组对边平行为一类 只有一组对边平行为一类 有两组对边平行为一类 共三类 故划分为个子项 数学的判断判断同概念一样也是思维的一种形式 它反映了概念与概念的联系 判断表达人们对思维对象具有某种属性或不具有某种间的属性的断定判断是对思维对象有所断定的思维形式 判断必须通过语言或符号来表达与用词语表达概念不同 判断的表达形式是语句 我们将表达判断的语句叫做命题 这3个语句都是判断 它们都表达了对思维对象的性质或关系作出了肯定或否定 命题是一种特殊表达形式的语句 有所断定 是判断的基本特征 如 4是素数吗 不是判断 无所断定的语句不是判断即不是命题 因为它既没有肯定什么 也没有否定什么 命题具有真 假意义如 凡直角都相等 是真的 正三角形是中心对称图形 是假的 因此可知 命题是具有真假意义的语句 具有真意义的命题称为真命题 反之为假命题 判断的种类在逻辑学中 判断可按不同的标准进行分类 按判断的量分类 有全称判断 特称判断按判断的质分类 有肯定判断 否定判断按判断的关系分类 有直言判断 假言判断 选言判断按质与量来分 共有4类 按判断本身是否还包含有其他判断可分为简单判断和复合判断 简单判断是不包含有其他判断的判断 复合判断是包含有至少一个其他判断的判断 如下列的判断分别是相应的简单判断和复合判断 1 所有的自然数不是无理数 简单判断 性质判断 2 2小于3 简单判断 关系判断 3 如果两个角是对顶角 那么这两个角相等 复合判断 充分条件假言判断 4 一个自然数只有能被3整除 才能被9整除 复合判断 必要条件假言判断 5 当且仅当两直线的斜率相等时 这两直线才平行 复合判断 充分必要条件假言判断 6 平面上的两直线若不平行 则互相垂直或互相不垂直 复合判断 选言判断 7 3既是整数又是实数 复合判断 联言判断 8 并非所有实数都是有理数 复合判断 负判断 数学命题 1 数学命题的意义3 2 a b 2 a2 2ab b2 ABC A B C 判断有真假之分 命题也相应地有真假之分 用A B C或者p q r表示任意的命题 当p是真命题时 记作 p 1 p是假命题时 记作 p 0 1和0称为命题的真值 2 命题的基本运算命题的基本运算有否定 非 合取 与 析取 或 蕴涵 若 则 等价 当且仅当 等 1 否定 2 合取 3 析取 4 蕴涵 5 等价 非 与 或 若 则 当且仅当统称为逻辑联结词 在一个命题中若没有逻辑联结词出现 则该命题称为简单命题 否则叫做复合命题 以p q分别表示简单命题 以上五个联结词结合简单命题形成如下五类复合命题 负命题联言命题选言命题充分条件假言命题充分必要条件假言命题 3 命题运算律 1 复合命题的真值 一个复合命题的真值取决于构成它的各个命题的值 可以利用真值表来计算 2 命题运算中常用的定律 数学命题的四种形式及其关系 在数学中 为了全面地研究命题中条件和结论的逻辑联系 往往把一个命题的条件和结论换位 或者把条件和结论变为它们的否定 就可以得到三个新的命题 互逆关系 互否关系 互逆否关系 例1原命题 若一个四边形是平行四边形 则它的对角线互相垂直 假 逆命题 若一个四边形的对角线互相垂直 则它是平行四边形 假 否命题 若一个四边形不是平行四边形 则它的对角线不互相垂直 假 逆否命题 若一个四边形的对角线不互相垂直 则它不是平行四边形 假 例2原命题 在 ABC中 若AB AC 则 C B 真 逆命题 在 ABC中 若 C B 则AB AC 真 否命题 在 ABC中 若AB AC 则 C B 真 逆否命题 在 ABC中 若 C B