2012广州中考数学复习11.doc

初三数学讲义二次函数一课前练一练如图1，O中AB是直径，C是O上一点，ABC45，等腰直角三角形DCE中DCE是直角，点D在线段AC上（1）证明：B、C、E三点共线；（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MNOM；（3）将DCE绕点C逆时针旋转（090）后，记为D1CE1（图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由二教学内容1.定义：一般地，如果是常数，那么叫做的二次函数.2.二次函数的表示方法：数表法、图像法、表达式.3.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：（；(顶点式)；（.它们的图像都是对称轴平行于（或重合）轴的抛物线.4.各种形式的二次函数的图像性质如下表：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下（轴）（0,0）（轴）(0, )(,0)(,)()5.抛物线中的系数 （1）决定开口方向： 几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 当时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；当时，抛物线开口向下，顶点为其最高点.（2）和共同决定抛物线对称轴的位置：当时，对称轴为轴；当、同号时，对称轴在轴左侧；当、异号时，对称轴在轴右侧.（3）决定抛物线与轴交点位置：当时，抛物线经过原点； 当时,相交于轴的正半轴；当时,则相交于轴的负半轴.6.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：，顶点是，对称轴是直线.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.其中.（3）运用抛物线的对称性：抛物线是轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线就是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.7用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.（2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）两点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.8.抛物线与轴的交点设二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式来判定：（1）抛物线与轴有两个交点；（2）抛物线与轴有一个交点（顶点在轴上）；（3）抛物线与轴没有交点.例题1. （广东省6分）已知抛物线与轴没有交点（1）求c的取值范围；（2）试确定直线经过的象限，并说明理由【答案】解：（1）抛物线与轴没有交点， 对应的一元二次方程没有实数根。 。 （2）顺次经过三、二、一象限。因为对于直线，所以根据一次函数的图象特征，知道直线顺次经过三、二、一象限。【考点】二次函数与一元二次方程的关系，一次一次函数的图象特征。【分析】（1）根据二次函数与一元二次方程的关系知，二次函数的图象与x轴没有交点，对应的一元二次方程没有实数根，其根的判别式小于0。据此求出c的取值范围。 （2）根据一次函数的图象特征，即可确定直线经过的象限。2.（珠海7分）如图，RtOAB中，OAB90，O为坐标原点，边OA在轴上，OAAB1个单位长度把RtOAB沿轴正方向平移1个单位长度后得AA1BCB1A1AODBxy（1）求以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式；（2） 若（1）中的抛物线与OB交于点C，与 轴交于点D，求点D、C的坐标【答案】解：（1）由题意，得A (1，0)，A1 (2，0)，B1 (2，1) 。 设以A为顶点的抛物线的解析式为 (1)2 。 此抛物线过点B1 (2，1)，1 (21)2。 。 1 。 抛物线的解析式为(1)2 。 （2）当0时，(01)21 。 D点坐标为 (0，1) 。 由题意，得OB在第一象限的角平分线上，故可设C (m，m) 代入(1)2，得m(m1)2。 解得m11，m21（舍去） C 点坐标为 (，) 。【考点】待定系数法，函数图象上点的坐标与方程的关系，角平分线性质，解一元二次方程。【分析】（1）根据题意，得到抛物线上点的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式。 （2）由点D，C在抛物线上，利用函数图象上点的坐标与方程的关系，可直接求出点D坐标；求解一元二次方程，可得点C坐标。3.（清远8分）如图，抛物线(1)2k 与轴交于A、B两点，与xyOCAB 轴交于点C (0，3)（1）求抛物线的对称轴及k的值；（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PAPC的值最小，求此时点P的坐标；（3）点M是抛物线上一动点，且在第三象限 当M点运动到何处时，AMB的面积最大？求出AMB的最大面积及此时点M的坐标； 当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标xyOCABP【答案】解：（1）抛物线的对称轴为直线1。把C (0，3)代入(1)2k得31k ， k4。（3） PAPC的值最小，连接AC，交对称轴于点P。 (1)24 ， 令0，可得(1)240，11，23。A (3，0) ， B (1，0)。设直线AC的关系式为：把A (3，0)，C (0，3)代入得， ，解得直线AC的关系式为3。当1时，132。P (1，2)。（3） 设M的坐标为（, (1)24） SAMBABm44(1)2 82(1)2当1时，S最大，最大值为S8M的坐标为(1，4)。 过M作轴的垂线交于点E，连接OM，S四边形AMCBSAMOSCMOSCBOAB|m|CO|m|OCBO6 (1)23()312 6（239）（）2当 时，S最大，最大值为。【考点】抛物线的对称轴，函数图象上点的坐标与方程的关系，线段的性质，二次函数的最大值。【分析】（1）由抛物线(1)2k可直接得到对称轴1。根据点C 在抛物线上，点的坐标(0，3)满足方程，将C (0，3)代入y(1)2k即可求出k。 （2）根据两点之间线段最短的性质，知点P是直线AC与抛物线对称轴的交点，据此求出直线AC，令1即可求点P的坐标。 （3）设点的坐标为（, (1)24），把AMB的面积用的表达式表示，由二次函数的最大值的求法可求。 同，只要把四边形AMCB分割成可求面积的三角形即可。三教学练习1若是二次函数，则m= 。2二次函数的开口 ，对称轴是 。3抛物线的最低点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而增大。4已知二次函数的图象经过点（1，-1），则这个二次函数的关系式为 ，它与x轴的交点的个数为 个。5经过点（0，3）、（1，0）、（3，0）的二次函数的解析式是： 。6抛物线与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 。7.方程ax2+bx+c=0的两根为-3，1则抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线_。8抛物线与直线只有一个公共点，则b= 。9已知抛物线与x轴交点的横坐标为 1，则= 。10. 已知抛物线与x轴的一个交点为A（-1，0）。（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的函数关系式。11.在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（-1，0），如图所示，抛物线经过点B（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由12.已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分 别为A、B，将OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C. （1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四 边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出 的取值范围.13.台山12分）如图，点A在轴上，点B在轴上，且OA=OB=1，经过原点O的直线L交线段AB于点C，过C作OC的垂线，与直线=1相交于点P，现将直线L绕O点旋转