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3 正弦交流电路 考试点一 1 掌握正弦量的三要素和有效值2 掌握电感 电容元件电流电压关系的相量形式及基尔霍夫定律的相量形式3 掌握阻抗 导纳 有功功率 无功功率 视在功率和功率因数的概念4 熟练掌握正弦电路分析的相量方法5 了解频率特性的概念 预备知识 复数 一 复数的形式1 代数形式F a jb 为虚单位 复数F的实部 Re F a 复数F的虚部 Im F b 复数F在复平面上可以用一条从原点O指向F对应坐标点的有向线段表示 F a b 2 三角形式 模 辐角 5 53 1 3 指数形式 根据欧拉公式 4 极坐标形式 F F 3 j4 5 53 1 3 j4 5 126 9 10 30 10 cos30 jsin30 8 66 j5 二 复数的运算 1 加法用代数形式进行 设 几何意义 2 减法 用代数形式进行 设 几何意义 3 乘法 用极坐标形式比较方便设 4 除法 三 旋转因子 是一个模等于1 辐角为 的复数 等于把复数A逆时针旋转一个角度 而A的模值不变 j j 1 因此 j 和 1 都可以看成旋转因子 任意复数A乘以ej 一个复数乘以j 等于把该复数逆时针旋转 2 一个复数除以j 等于把该复数乘以 j 等于把它顺时针旋转 2 虚轴等于把实轴 1乘以j而得到的 例如 例 设F1 3 j4 F2 10 135 求 F1 F2和F1 F2 解 求复数的代数和用代数形式 F2 10 135 10 cos135 jsin135 7 07 j7 07 F1 F2 3 j4 7 07 j7 07 4 07 j3 07 5 1 143 3 j4 10 135 5 53 1 10 135 0 5 188 1 0 5 171 9 辐角应在主值范围内 正弦量的概念 一 正弦量电路中按正弦规律变化的电压或电流 统称为正弦量 对正弦量的描述 可以用sine 也可以用cosine 用相量法分析时 不要两者同时混用 本讲采用cosine 二 正弦量的三要素 i u 瞬时值表达式 1 振幅 最大值 Im Im 2 正弦量在整个振荡过程中达到的最大值 2 角频率 反映正弦量变化的快慢单位rad s T 2 2 ff 1 T频率f的单位为赫兹 Hz 周期T的单位为秒 s 工频 即电力标准频率 f 50Hz T 0 02s 314rad s 3 初相位 角 主值范围内取值 称为正弦量的相位 或称相角 三 正弦量的有效值 四 同频率正弦量相位的比较 相位差 相位差也是在主值范围内取值 0 称u超前i 0 称u落后i 0 称u i同相 2 称u i正交 称u i反相 例 i 10sin 314t 30 Au 5cos 314t 150 V求电压和电流的相位差 i 10sin 314t 30 10cos 314t 30 90 10cos 314t 60 正弦量相应符号的正确表示 瞬时值表达式i 10cos 314t 30 A 变量 小写字母 有效值 I 常数 大写字母加下标m 最大值 常数 大写字母 最大值相量 有效值相量 常数 大写字母加下标m再加点 常数 大写字母加点 Im 10A 电路定律的相量形式 一 基尔霍夫定律正弦电流电路中的各支路电流和支路电压都是同频正弦量 所以可以用相量法将KCL和KVL转换为相量形式 1 基尔霍夫电流定律对电路中任一点 根据KCL有 i 0 其相量形式为 2 基尔霍夫电压定律对电路任一回路 根据KVL有 u 0 其相量形式为 1 电阻元件瞬时值表达式 相量形式 相量图 二 电阻 电感和电容元件的VCR相量形式 2 电感元件 L 相量形式 L 相量图 瞬时值表达式 3 电容元件 瞬时值表达式 C 相量形式 C 相量图 如果受控源 线性 的控制电压或电流是正弦量 则受控源的电压或电流将是同一频率的正弦量 4 受控源 例 正弦电流源的电流 其有效值IS 5A 角频率 103rad s R 3 L 1H C 1 F 求电压uad和ubd 解 画出所示电路相对应的相量形式表示的电路图 设电路的电流相量为参考相量 15 0 V 5000 90 V 5000 90 V 0 A 相量法的三个基本公式 以上公式是在电压 电流关联参考方向的条件下得到的 如果为非关联参考方向 则以上各式要变号 以上公式既包含电压和电流的大小关系 又包含电压和电流的相位关系 阻抗和导纳 一 阻抗1 定义 阻抗模 Z U I 阻抗角 阻抗Z的代数形式可写为Z R jX其实部为电阻 虚部为电抗 2 R L C对应的阻抗分别为 3 感抗和容抗 感抗 容抗 反映电感对电流的阻碍作用 反映电容对电流的阻碍作用 4 RLC串联电路 如果No内部为RLC串联电路 则阻抗Z为 R X Z 阻抗三角形 当X 0 称Z呈感性 当X 0 称Z呈容性 当X 0 称Z呈电阻性 电路的性质 Z R jX 二 导纳 1 定义 导纳模 Y I U 导纳角 导纳Y的代数形式可写为Y G jB其实部为电导 虚部为电纳 2 单个元件R L C的导纳 3 感纳和容纳 感纳 容纳 阻抗 导纳 的串联和并联 一 阻抗的串联对于n个阻抗串联而成的电路 其等效阻抗 各个阻抗的电压分配为 k 1 2 n 二 阻抗的并联 对n个导纳并联而成的电路 其等效导纳 各个导纳的电流分配为 k 1 2 n 例 如图RLC串联电路 R 15 L 12mH C 5 F 端电压u 141 4cos 5000t V 求 i 各元件的电压相量 解 用相量法 电路的相量图 一 相量图相关的电压和电流相量在复平面上组成 在相量图上 除了按比例反映各相量的模外 最重要的是确定各相量的相位关系 二 相量图的画法选择某一相量作为参考相量 而其他有关相量就根据它来加以确定 参考相量的初相可取为零 也可取其他值 视不同情况而定 1 串联电路 取电流为参考相量 从而确定各元件的电压相量 表达KVL的各电压相量可按向量求和的方法作出 2 并联电路取电压为参考相量 从而确定各元件的电流相量 表达KCL的各电流相量可按向量求和的方法作出 3 串并联电路从局部开始 53 1 以上一节中例题为例 V1读数为10V V2读数为10V V0的读数为 V0的读数为14 14V 正弦稳态电路的分析 在用相量法分析计算时 引入正弦量的相量 阻抗 导纳和KCL KVL的相量形式 它们在形式上与线性电阻电路相似 对于电阻电路有 对于正弦电流电路有 用相量法分析时 线性电阻电路的各种分析方法和电路定理可推广用于线性电路的正弦稳态分析 差别仅在于所得电路方程为以相量形式表示的代数方程以及用相量形式描述的电路定理 而计算则为复数运算 例 电路中的独立电源全都是同频正弦量 试列出该电路的结点电压方程 1 2 解 电路的结点电压方程为 正弦稳态电路的功率 一 瞬时功率 u i 一端口内部不含独立电源 仅含电阻 电感和电容等无源元件 它吸收的瞬时功率p等于电压u和电流i的乘积 p ui 二 平均功率 又称有功功率 是指瞬时功率在一个周期内的平均值 功率因数 单位 瓦 W 电阻R 1 电感L 0 电容C 0 定义 三 无功功率 反映了内部与外部往返交换能量的情况 单位 乏 Var 电阻R 电感L 电容C 四 视在功率 电机和变压器的容量是由视在功率来表示的 单位 伏安 VA 有功功率P 无功功率Q和视在功率S存在下列关系 例 测量电感线圈R L的实验电路 已知电压表的读数为50V 电流表的读数为1A 功率表读数为30W 电源的频率f 50Hz 试求R L之值 解 可先求得线圈的阻抗 50 解得 30 j40 R 30 127mH 另一种解法 R 30 而 故可求得 40 2 f 314rad s 可以证明 正弦电流电路中总的有功功率是电路各部分有功功率之和 总的无功功率是电路各部分无功功率之和 即有功功率和无功功率分别守恒 但视在功率不守恒 三 功率因数的提高 是电路的功率因数 电压与电流间的相位差或电路的功率因数决定于电路 负载 的参数 只有在电阻负载的情况下 电压和电流才同相 其功率因数为1 对于其他负载来说 其功率因数均介于0与1之间 功率因数不等于1时 电路中发生能量互换 出现无功功率 这样引起下面两个问题 1 发电设备的容量不能充分利用2 增加线路和发电机绕组的功率损耗 提高功率因数的意义 与电感性负载并联静电电容器 O 提高功率因数的常用方法 并联电容C的计算 提高功率因数 是指提高电源或电网的功率因数 而不是指提高某个电感性负载的功率因数 并联电容后并不改变原负载的工作状况 所以电路的有功功率并没有改变 只是改变了电路的无功功率 从而使功率因数得到提高 提高功率因数的含义 例 正弦电压为50Hz 380V 感性负载吸收的功率为20kW 功率因数0 6 若使电路的功率因数提高到0 9 求在负载的两端并接的电容值 I 58 48A 44 69A 375 F 解 串联电路的谐振 一 RLC串联电路 二 串联谐振的定义 由于串联电路中的感抗和容抗有相互抵消作用 所以 当 0时 出现X 0 0 这时端口上的电压与电流同相 工程上将电路的这种工作状况称为谐振 由于是在RLC串联电路中发生的 故称为串联谐振 三 串联谐振的条件 Im Z j 0 四 谐振频率 角频率 频率 谐振频率又称为电路的固有频率 是由电路的结构和参数决定的 串联谐振频率只有一个 是由串联电路中的L C参数决定的 而与串联电阻R无关 Im Z j 0 五 串联谐振的特征 1 阻抗 R 谐振时阻抗为最小值 2 电流 在输入电压有效值U不变的情况下 电流为最大 3 电阻电压 实验时可根据此特点判别串联谐振电路发生谐振与否 六 谐振曲线 除了阻抗Z和频率的特性外 还应分析电流和电压随频率变化的特性 这些特性称为频率特性 或称频率响应 它们随频率变化的曲线称为谐振曲线 七 品质因数 谐振时有 所以串联谐振又称为电压谐振 串联谐振电路的品质因数 如果Q 1 则有 当Q 1 表明在谐振时或接近谐振时 会在电感和电容两端出现大大高于外施电压U的高电压 称为过电压现象 往往会造成元件的损坏 但谐振时L和C两端的等效阻抗为零 相当于短路 八 功率 谐振时 电路的无功功率为零 这是由于阻抗角为零 所以电路的功率因数 1 整个电路的视在功率 S P 但 分别不等于零 谐振时电路不从外部吸收无功功率 电感与电容之间周期性地进行磁场能量和电场能量的交换 但电路内部的电感与电容之间周期性地进行磁场能量和电场能量的交换 谐振时 有 并有 这一能量的总和为 常量 所以能量的总和 另外还可以得出 串联电阻的大小虽然不影响串联谐振电路的固有频率 但有控制和调节谐振时电流和电压幅度的作用 并联谐振电路 一 GLC并联电路 二 并联谐振的定义 由于发生在并联电路中 所以称为并联谐振 三 并联谐振的条件 四 谐振频率 可解得谐振时 角频率 频率 该频率称为电路的固有频率 五 并联谐振的特征 1 输入导纳最小 G 或者说输入阻抗最大 2 端电压达最大值 可以根据这一现象判别并联电路谐振与否 六 品质因数 并联谐振时有 所以并联谐振又称电流谐振 如果Q 1 则谐振时在电感和电容中会出现过电流 但从L C两端看进去的等效电纳等于零 即阻抗为无限大 相当于开路 七 功率和能量 谐振时无功功率 所以 表明在谐振时 电感的磁场能量与电容的电场能量彼此相互交换 两种能量的总和为 常数 八 电感线圈和电容并联的谐振电路 谐振时 有 故有 由上式可解得 显然 只有当 O 当电感线圈的阻抗角 1很大 谐振时有过电流出现在电感支路和电容中 考试点二 6 熟练掌握三相电路中电源和负载的联接方式及相电压 相电流 线电压 线电流 三相功率的概念和关系7 熟练掌握对称三相电路分析的相量方法8 掌握不对称三相电路的概念 三相电路 一 对称三相电源对称三相电源是由3个等幅值 同频率 初相依次相差120 的正弦电压源连接成星形或三角形组成的电源 星形接法 三角形接法 星形接法 三角形接法 星形接法中 电压源的参考方向是以中点处为负 三角形接法中 电压源的连接是顺次相接形成一个回路 如果接错 将可能形成很大的环形电流 3个电源依次称为A相 B相和C相 它们的电压为 0 它们对应的相量形式为 是工程上为了方便而引入的单位相量算子 0 二 三相电压的相序 上述三相电压的相序 次序 A B C称为正序或顺序 与此相反 如B相超前A相120 C相超前B相120 这种相序称为反序或逆序 电力系统一般采用正序 三 三相电路的基本概念 1 端线 从3个电压源正极性端子A B C向外引出的导线 2 中线 从中 性 点N引出的导线 3 线电压 端线之间的电压 4 相电压电源每一相的电压 或负载阻抗的电压 5 线电流端线中的电流 6 相电流各相电源中的电流或负载阻抗的电流 相电压 线电压 线电流又是相电流 相电压又是线电压 线电流 相电流 iA iA iAB 四 电源和负载的连接 1 负载的连接方式负载也可以连接成星形或三角形 当三相阻抗相等时 就称为对称三相负载 2 三相电路从对称三相电源的3个端子引出具有相同阻抗的3条端线 或输电线 把一些对称三相负载连接在端线上就形成了对称三相电路 实际三相电路中 三相电源是对称的 3条端线阻抗是相等的 但负载则不一定是对称的 3 三相电路的连接方式三相电源为星形电源 负载为星形负载 称为Y Y连接方式 三相电源为星形电源 负载为三角形负载 称为Y 连接方式 此外还有 Y连接方式和 连接方式 N N Y Y连接方式 Zl是端线的阻抗 有中线时 称为三相四线制 也称为Y0接法 Y 连接方式 线电压 电流 与相电压 电流 的关系 三相电源的线电压和相电压 线电流和相电流之间的关系都与连接方式有关 对于三相负载也是如此 一 线电压与相电压的关系1 星形连接 对于对称星形电源 依次设其线电压为 相电压为 线电压与对称相电压之间的关系可以用图示电压正三角形说明 相电压对称时 线电压也一定依序对称 N A B C 电压相量图 依次超前相应相电压的相位为30 实际计算时 只要算出一相就可以依序写出其余两相 线电压是相电压的倍 2 三角形电源 3 对称星形负载和三角形负载以上有关线电压和相电压的关系同样适用 二 线电流和相电流的关系 1 星形连接线电流显然等于相电流 2 三角形连接 电流相量图 线电流与对称的三角形负载相电流之间的关系可以用图示电流正三角形说明 相电流对称时 线电流也一定对称 依次滞后相应相电流的相位为30 实际计算时 只要算出一相就可以依序写出其余两相 线电流是相电流的倍 电源和负载的连接方式 三相电源380V 220V 对应连接方式为Y 三相电路中的额定电压是指电路的线电压 1 现有白炽灯三相负载UN 220V负载连接成Y接 电路应连接成 Y Y Y Y Y Y 负载连接成 接 电路应连接成 2 如白炽灯UN 127V电路应连接为 Y 3 如白炽灯UN 380V电路应连接为 Y 对称三相电路的计算 三相电路实际上是正弦电流电路的一种特殊类型 因此 前面对正弦电流电路的分析方法对三相电路完全适用 根据三相电路的一些特点 可以简化对称三相电路分析计算 一 对称三相四线制电路 以N为参考结点 由于 所以 中线的电流为 所以在对称Y Y三相电路中 中线如同开路 三相电路归结为一相的计算方法 由于UN N 0 各相电流独立 彼此无关 又由于三相电源 三相负载对称 所以相电流构成对称组 因此 只要分析计算三相中的任一相 而其他两相的电压 电流就能按对称顺序写出 二 其他连接方式的对称三相电路可以根据星形和三