Geitel第八章 假设检验习题解答.pdf

第八章第八章 假设检验假设检验 习题 8 1 习题 8 1 1 假设检验的统计思想是小概率事件在一次试验中可以认为基本上是不会发生的 该 原理称为 解 解 小概率事件 2 在作假设检验时容易犯的两类错误是 解 解 弃真 纳伪 3 假设检验中 显著性水平 表示 A 为假 但接受的假设的概率 B 为真 但拒绝的假设的概率 0 H 0 H 0 H 0 H C 为假 但拒绝的概率 D 可信度 0 H 0 H 解解 B 4 假设检验时 若增大样本容量 则犯两类错误的概率 A 都增大 B 都减少 C 都不变 D 一个增大一个减少 解解 B 习题 8 2 习题 8 2 1 设 n X是来自总体 的一个样本 设XX 21 2 NX n i i X n X 1 1 n i i XX n S 1 22 1 1 其中参数 和未知 对提出的假设0 0 H 0 1 H 进 行检验 求使用的统计量 解解 为真时 即 0 H0 0 时 选择检验统计量 1 1 1 1 1 1 0 22 nt S Xn n nS n X n XX n X i 2 已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布 108 0 现在测定了 9 炉铁水 其平 均含碳量为 4 484 如果估计方差没有变化 可否认为现在生产的铁水含碳量仍为 4 55 05 0 55 4 2 N 解 解 检验假设 55 4 00 H 55 4 1 H 当为真时 选择检验统计量 0 H 1 0 0 N n X U 对 于 给 定 的 选 著 水 平05 0 查 附 表 2 得 临 界 值 使 得96 1 025 0 U 05 0 96 1 UP 从而确定拒绝域 96 1 U 由于 所以 484 4 X 96 1833 1 9 108 0 55 4484 4 U 故统计量U的观测值U落入接受域 于是接受 即认为现在生产的铁水含碳量仍为 4 55 0 H 3 某零件的尺寸方差为21 1 2 对一批这类零件检查 6 件得尺寸数据 单位 毫米 32 56 29 66 31 64 30 00 21 87 31 03 设零件尺寸服从正态分布 问这批零件的平均 尺寸能否认为是 32 50 05 0 解 解 检验假设 15 00 H 15 1 H 当为真时 选择检验统计量 0 H 1 0 0 N n X U 对于给定的显著性水平05 0 查附表 2 得临界值96 1 025 0 使得 05 0 96 1 Up从而确定拒绝域96 1 U 由于求 46 29 X 96 1 899 4 6 05 0 15 9 14 U 故统计量U的观测值U落入拒绝域 于是接受 即不能认为这批零件的平均尺寸仍为 15 0 H 4 设某次考试的考生成绩服从正态分布 从中随机地抽取 36 位考生的成绩 得平均 成绩为 66 5 分 样本标准差为 15 分 问在显著性水平 0 05 下是可否认为这次考试成绩平均 为 70 分 解 解 检验假设 70 00 H 70 1 H 当为真时 选择检验统计量 0 H 1 0 nt n S X T 对于给定的显著性水平 查附表 4 得临界值05 00301 2 35 025 0 t 使得 05 0 0301 2 Tp从而确定拒绝域0301 2 t 由题知 计算 5 66 X 15 ST的观测值0301 2 4 1 36 15 70 5 66 T 故统计量T的观测值U落入接受域 于是接受 即可认为这考试的平均分仍为 70 分 0 H 5 假定某厂生产一种钢索 它的断裂程度X 单位 kg cm2 服从正态分布 40 2 从中选取一个容量为 9 的样本 得N840 x 能否据此样本认为这批钢索的断 裂程度为 800 0 05 解 解 检验假设 800 00 H 800 1 H 当为真时 选择检验统计量 0 H 1 0 0 N n X U 对于给定的选著水平05 0 查附表 2 得临界值96 1 025 0 U 使得05 0 96 1 UP 从而确定故统计量U的观测值U落入拒绝域 于是接受 即不能认为这批钢索的断裂程 度寸为 800 0 H 6 正常人的脉搏平均为 72 次 分 某医生测得 10 例慢性四乙基铅中毒患者的脉搏 次 分 54 67 68 78 70 66 67 70 65 69 已知脉搏服从正态分布 问在显著性水 平05 0 条件下 四乙基铅中毒者和正常人的脉搏有无显著差异 解 解 检验假设 72 00 H 72 1 H 当为真时 选择检验统计量 0 H 1 0 nt n S X T 对于给定的显著性水平 查附表 4 得临界值05 02622 2 9 025 0 t 使得 05 0 2622 2 Tp从而确定拒绝域 2622 2 t 由题知 计算 4 67 X 93 5 ST的观测值2622 2 4530 2 10 93 5 72 4 67 T 故统计量T的观测值落入接受域 于是接受 即可认为四乙基铅中毒者和正常人的脉搏 有显著差异 0 H 7 某元件的寿命X 以小时计 服从正态分布 2 2 均未知 现测 16 只该N 元件的寿命 算得样本均值为 24 50 小时 样本方差为 98 73 小时 问是否有理由认为元件 的寿命大于 225 小时 解 解 检验假设 225 00 H 225 1 H 当为真时 选择检验统计量 0 H 1 0 nt n S X T 对于给定的显著性水平 查附表 4 得临界值05 07531 1 15 025 0 t 使得 05 0 7531 1 Tp从而确定拒绝域 7531 1 t 5 24 X 73 98 S 计算T的观测值7531 1 6685 0 16 73 98 225 5 24 T 故统计量T的观测值落入接受域 于是接受 即不能认为元件的寿命对于 225 小时 0 H 8 某电工器材厂生产一种保险丝 测量其熔化时间 假定熔化时间服从正态分布 依通 常情况方差为 2 400 今从某天产品中抽取容量为 25 的样本 测量其熔化时间并计算得 77 404 24 62 2 sx 问这天保险丝熔化时间分散度与通常有无显著差异 0 05 解 解 检验假设 400 2 0 2 0 H400 2 1 H 当为真时 选择检验统计量 0 H 24 1 22 0 2 2 Sn 对于给定的显著性水平 查附表 3 得临界值 05 0364 39 24 025 0 2 401 12 24 975 0 2 使得和025 0 364 39 2 p025 0 401 12 2 p 从而确定拒绝域 或 364 39 2 401 12 2 77 404 2 S 计算统计量的观测值 2 364 39862 2440 2 2862 24 400 77 404 24 2 所以统计量的观测值落入拒绝域 则接受即认为这天保险丝融化时间分散度域通 常无显著差异 2 2 0 H 9 美国民政部门对某种住宅区住户的消费情况进行的调查报告中抽出 9 户样本 其每年 开支除去税款和住宅费用外 依次为 4 9 5 3 6 5 5 2 7 4 5 4 6 8 5 4 6 3 单位 千元 假设所有住户消费数据的总体服从正态分布 若给定05 0 试问 所有住户消 费数据的总体方差3 0 2 是否可信 解 解 检验假设 40 2 0 2 0 H3 0 2 1 H 当为真时 选择检验统计量 0 H 8 1 22 0 2 2 Sn 对于给定的显著性水平 05 0 查附表 3 得临界值 535 17 8 025 0 2 180 2 8 975 0 2 使得和 025 0 535 17 2 p025 0 180 2 2 p 从而确定拒绝域 或 535 17 2 180 2 2 22 861 0 S 计算统计量的观测值 2 535 177686 19 3 0 861 0 8 2 2 统计量的观测值落 入拒绝域则接受即所有住户消费数据的系统方差不可信 2 2 0 H3 0 2 习题 8 3 习题 8 3 1 根据以往资料 已知某品种小麦每4平方米产量 单位 千克 的方差为2 0 2 今 在一块地上用BA 两种方法试验 A方法设 12 个样点 得平均产量 1 5 B方法设 8 个样 点 得平均产量 1 6 试比较BA 两法的平均产量是否有显著差异 解 解 检验假设 BA H 0 BA H 1 当为真时 选择检验统计量 0 H 1 0 2 2 1 2 N nn XX U BA 对给定的显著性水平05 0 查附表 2 得临界值96 1 025 0 已知 0 2 计算 2 96 14899 0 8 2 0 12 2 0 6 15 1 U 统计量的观测值落入接受域 则接受 即认为 A B 两法的平均产量无显著差异 0 H 2 从甲 乙两煤矿各取若干个样品 得其含灰率 为 甲 24 3 20 8 23 7 21 3 17 4 乙 18 2 16 9 20 2 16 7 假定含灰率均服从正态分布且 问甲 乙两煤矿的含灰率有无显著差异 2 1 2 2 05 0 解 解 检验假设 210 H 211 H 为真时 选择检验统计量 2 11 21 21 nnt nn S YX T w 0 H 计算可得 5 21 X 2 2 1 74 2 S5 1 n 5 21 Y 2 2 2 61 1 S4 2 n 324 2 254 61 1 374 2 4 22 w S 及酸碱盐统计量T的观测值245 2 4 1 5 1 324 2 185 21 t 对于给定的显著性水平 查附表 4 得临界值05 03060 2 8 025 0 t 由于3060 2 8 025 0 tt 统计量T的观测值落入接受域 则接受 即认为甲 乙 两煤矿的含灰率无显著差异 0 H 3 某种羊毛在处理前后 各抽取样本 测得含脂率 如下 处理前 19 18 21 30 66 42 8 12 30 27 处理后 15 13 7 24 19 4 8 20 羊毛含脂率服从正态分布 问处理前后含脂率的标准差 有无显著变化 05 0 解 解 设分别代表处理前 后的羊毛脂率 则 YX 2 11 NX 2 22 NY 检验假设 2 2 2 10 H 2 2 2 11 H 当为真时 选择检验统计量 0 H 1 1 212 2 2 1 nnF S S F 对于给定的05 0 查附表 5 得临界值82 4 7 9 025 0 F 238 0 2 4 1 9 7 1 7 9 025 0 025 0 F F 计算 122 286 2 1 S643 49 2 2 S 计算检验统计量的观测值F663 5 643 49 122 281 2 2 2 1 S S 82 4 7 9 663 5 025 0 FF 说明落在拒绝域中 拒绝 即认为处理后的含脂率的标准差有显著的变化 F 0 H 4 在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会改变钢的得率 试验是在 同一只平炉上进行的 每炼一炉钢时 除操作方法外 其他条件都尽可能的做到相同 先用 标准方法炼一炉 然后用建议的新方法炼一炉 以后交替进行 各炼了 10 炉 其得率分别 为 1 标准方法 78 1 72 4 76 2 74 3 77 4 78 4 76 0 75 5 76 7 77 3 2 建议方法 79 1 81 0 77 3 79 1 80 0 79 1 79 1 77 3 80 2 82 1 设两个样本相互独立 且分别来自正态总体和 均未知 问建议的新操作方法是否能提高得率 2 1 N 05 0 2 2 N 2 11 解 解 需假设 211210 HH 分别求出标准方法和新方法的样本均值和样本方差如下 325 323 76 10 2 11 SXn 225 243 79 10 2 22 SYn 又775 2 21010 110 110 2 2 2 1 SS Sw 查得临界值7341 1 18 05 0 t 得拒绝域 8 05 0 tT 计算出样本的观测值 7341 1295 4 t 所以拒绝 即认为建议的心操作方法较原方法为优 0 H 总复习八 总复习八 1 某织物强力指标X的均值 0 21 公斤 改进工艺后生产一批织物 今从中取 30 件 测得x 21 55 公斤 假设强力指标服从正态分布 2 且已知N 1 2 公斤 问 在显著性水平 0 01 下 新生产织物比过去的织物强力是否有提高 解 解 检验假设 0 H21 0 1 H 1 时 当为真时 选择检验统计量33 2 01 0 U 0 H 1 0 0 N n X U 01 0 拒绝域 33 2 01 0 UUU 计算检验统计量U的观测值33 25104 2 30 2 1 2155 21 U 故应拒绝 即认为新生产的织物比过去生产的织物强力有提高 2 从甲地发送一个讯号到乙地 设乙地接受的讯号值服从正态分布 2 2 其中N 为 甲地发送的真实讯号值 现甲地重复发送同一讯号 5 次 乙地接收的讯号值为 8 05 8 15 8 2 8 1 8 25 设接收方有理由猜测甲地发送的讯号值为 8 问能否接受这种猜测 05 0 解 解 检验假设8 00 H 8 1 H 0 H为真时 选择检验统计量 1 0 0 N n X U 对给定的显著性水平05 0 查附表 2 得临界值96 1 025 0 使得 05 0 96 1 Up从而确定拒绝域 96 1 U 15 8 X 2 计算的观测值U96 11677 0 5 2 815 8 U 统计量U的观测值落入接受域 即接受 即可接受这种猜测 0 H 3 由于工业排水引起附近水质污染 测得鱼的蛋白质中含汞的浓度 单位 mg kg 0 37 0 266 0 135 0 095 0 101 0 213 0 228 0 167 0 366 0 054 从过去的大量资料判断 鱼的蛋白质中含汞的浓度服从正态分布 并且从工艺过程分析可以 推算出理论上的浓度为 0 1 问从这组数据来看 能否认为鱼的蛋白质中含汞的浓度为 0 1 05 0 解 解 检验假设1 0 00 H 1 0 1 H 当为真时 选择检验统计量 0 H 1 0 nt n S X T 对于给定的显著性水平 查附表 4 得临界值05 0023 19 9 025 0 t 使得 05 0 023 19 Tp从而确定拒绝域 023 19 t 1995 0 X 11 0 S 计算T的观测值023 198604 2 10 11 0 1 01995 0 T 故统计量T的观测值落入接受域 即可认为鱼的蛋白质中含汞的浓度为 0 1 4 某批砂矿的 5 个样品中的铁含量经测定为 3 25 3 27 3 24 3 26 3 24 设测定值总体服从正态分布 但参数均未知 问在01 0 下能否认为这批砂矿的铁含量 的均值为 3 25 解 解 检验假设25 3 00 H 25 3 1 H 当为真时 选择检验统计量 0 H 1 0 nt n S X T 对于给定的显著性水平05 0 查附表 4 得临界值6041 4 4 025 0 t 使得 01 0 6041 4 Tp从而确定拒绝域 6041 4 t 252 3 X 013 0 S 计算T的观测值6041 4344 0 5 013 0 25 3252 3 T 故统计量T的观测值落入接受域 即可认为即可认为这批砂矿的铁含量的均值为 3 25 5 某机器加工的钢管长度服从标准差为 2 4cm 的正态分布 现从一批新生产的钢管 中随机的选取 25 根 测得样本标准差为 2 7cm 试以显著性水平 1 判断该批钢管长度的变 异性与标准差 2 4 相比较是否有明显变化 解 解 检验假设 4 2 2 2 0 2 0 H 22 1 4 2 H 当为真时 选择检验统计量 0 H 1 1 22 0 2 2 n Sn 对于给定的显著性水平01 0 查附表 3 得临界值 559 45 24 005 0 2 886 9 24 995 0 2 使得和 005 0 559 45 2 p005 0 886 9 2 p 从而确定拒绝域 或 559 45 2 886 9 2 7 2 4 2 0 s 计算统计量的观测值 2 375 30 4 2 7 224 2 2 2 因为559 45375 30886 9 即的观测值落入拒绝域则接受即无明显变化 2 0 H 6 某气象数据正常情况下服从方差为 2 048 0的正态分布 在某地区的 5 个地点对该 数据进行观察得到的结果如下 1 32 1 55 1 36 1 40 1 44 问该地区的这个气象数据方差是否正常 05 0 解 解 检验假设 048 0 2 2 0 2 0 H 22 1 048 0 H 当为真时 选择检验统计量 0 H 1 1 22 0 2 2 n Sn 对于给定的显著性水平05 0 查附表 3 得临界值 143 11 4 025 0 2 484 0 4 975 0 2 使得和 025 0 143 11 2 p025 0 484 0 2 p 从而确定拒绝域 或 143 11 2 484 0 2 0882 0 048 0 0 s 计算统计量的观测值 2 143 115056 13 048 0 0882 04 2 2 2 即的观测值落入拒绝域则拒绝即方差不正常 2 0 H 7 某种导线 要求其电阻的标准差不得超过 0 005 单位 今在生产的一批导线中 取样 9 根 测得007 0 设总体为正态分布 问在显著性水平05 0s 下能否认为这批 导线的标准差显著地偏大 解 解 根据实际情况 检验假设 005 0 2 2 0 2 0 H 22 1 005 0 H 当为真时 选择检验统计量 0 H 1 1 22 0 2 2 n Sn 对于给定的显著性水平05 0 查附表 3 得临界值 507 15 8 05 0 2 使得 从而确定拒绝域 05 0 507 15 2 p507 15 2 计算统计量的观测值 2 507 1568 15 005 0 007 0 8 2 2 2 即的观测值落入拒绝域则 拒绝即认为标准差明显的偏大 2 0 H 8 设 甲 厂 生 产 灯 泡 的 使 用 寿 命 95 乙 厂 生 产 灯 泡 的 使 用 寿 命 120 现从两厂产品中分别抽取 100 只和 75 只 测得灯泡的平均寿命分别为 1180 小时和 1220 小时 问在显著性水平05 0 2 1 NX 2 2 NY 下 这两个厂家生产灯泡的使用寿命是否 有显著差异 解 解 检验假设 210 H 211 H 当为真时 选择检验统计量 0 H 1 0 2 2 2 1 2 1 N nn YX U 对给定的显著性水平05 0 查附表 2 得临界值96 1 025 0 2 UU 满足 05 0 96 1 Up从而确定拒绝域 96 1 U 已 知 2 2 1 95 2 2 2 120 100 1 n 75 2 n 1180 x1220 y计 算 96 75 120 100 95 12201180 22 U 13809 2 所以统计量的观测值落入拒绝域 则拒绝 即认为两家长生产的灯泡有显著差异 0 H 9 某烟厂生产两种香烟 独立地随机抽取容量大小相同的烟叶标本 测其尼古丁含量 单 位 mg 其中 甲香烟含量 24 25 23 30 28 乙香烟含量 30 24 27 31 27 假设这两种香烟的尼古丁含量都服从正态分布 并具有相同的方差 问在显著性水平 05 0 下 这两种香烟的尼古丁含量是否有显著差异 解 检验假设 210 H 211 H 当为真时 选择检验统计量 0 H 2 11 21 21 nnt nn S YX T w 对 于 给 定 的 显 著 性 水 平 05 0 2 T 查 附 表 4 得 临 界 值满 足 可得拒绝域 3060 2 8 025 0 t 05 0 3060 2 Tp3060 计算可得 26 X 2 2 1 915 2 S8 27 Y 2 2 2 775 2 S 8459 2 8 775 24915 24 2 1 1 22 21 2 22 2 11 nn snsn Sw 可计算3060 20001 1 5 1 5 1 8459 2 8 2726 t 所以统计量的观测值落入接受域 则接受 即两个厂家生产的灯泡的使用寿命无明显差 异 0 H 10 两台车床生产同一种滚珠 滚珠的直径服从正态分布 从中分别抽取 8 个和 9 个产品 测得其直径 单位 mm 为 甲车床 15 2 14 5 15 5 14 8 15 1 15 6 14 7 乙车床 15 2 15 0 14 8 15 2 15 0 14 9 15 1 14 8 15 3 在显著性水平05 0 下 判断乙车床生产的滚珠直径的方差是否比甲的小 解 解 设分别表示甲 乙两车床生产的滚珠直径 YX 2 11 NX 2 22 NY 检验假设 210 H 211 H 当为真时 选择检验统计量 0 H 2 11 21 21 nnt nn S YX T w 对 于 给 定 的 显 著 性 水 平 05 0