高中数学选修圆锥曲线.doc

高中数学人教版高中数学选修一圆锥曲线及方程知识点精汇椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方：（1）两个定点-两点间距离确定 （2）绳长-轨迹上任意点到两定点距离和确定思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（线段）在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（圆）由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫)由椭圆的定义可知它的基本特征，但对于这种曲线还具有哪些性质，我们几乎一无所知，因此需要建立椭圆的方程，以便于做进一步的认识。2.根据定义推导椭圆标准方程：取过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴设为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是（）.则，又设M与距离之和等于()（常数），化简，得 ，由定义,令代入，得 ，两边同除得：（ab0），此即为椭圆的标准方程它所表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是，中心在坐标原点的椭圆方程， 其中注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程 如果椭圆的焦点在轴上（选取方式不同，调换轴）焦点则变成,只要将方程中的调换，即可得（ab0），也是椭圆的标准方程 理解：(1)所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；(2)在与这两个标准方程中，都有的要求，椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1;(3)椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2，a最大；由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值;(4)椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，分母即为a2，则焦点在哪一个轴上。在不能肯定焦点在哪个轴上的情况下，椭圆方程可设为：；(5)判断焦点在哪个轴上的方法：由标准方程的结构；由焦点坐标的写法；(6)椭圆有互相垂直的两条对称轴，其焦点总在较长的对称轴上，若较长的轴在x轴上，则若较长的轴在y轴上，则(7)方程均不为0且表示椭圆的条件：方程可化为所以只要同号且时，方程表示椭圆；当时，椭圆的焦点在x轴上；当时，椭圆的焦点在y轴上；三、讲解范例：例1 （教材第103页例1）写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；两个焦点坐标分别是（0，2）和（0,2）且过（,）解：（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为 所以所求椭圆标准方程为 2 因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为 由椭圆的定义知，又所以所求标准方程为 另法： 可设所求方程，后将点（,）的坐标代入可求出，从而求出椭圆方程点评：题（）根据定义求 若将焦点改为(0,-4)、（0，4）其结果如何；题（）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程 例2 （导学与评价第100页例2（2）四、课堂练习：教材第106页练习第1、2、3题五、课堂小结 ：本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点: 椭圆的定义中, ； 椭圆的标准方程中,焦点的位置看,的分母大小来确定； 、的几何意义 六、课后作业：教材第106页习题8.1 第2、3题课题：81椭圆及其标准方程（二）教学目的：1能正确运用椭圆的定义与标准方程解题；2学会用待定系数法与定义法求曲线的方程教学重点：用待定系数法与定义法求曲线的方程教学难点：待定系数法 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入： 1 椭圆定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方：（1）两个定点-两点间距离确定（2）绳长-轨迹上任意点到两定点距离和确定在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（线段）两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（圆）椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫)2.椭圆标准方程：（1）它所表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是，中心在坐标原点的椭圆方程 其中（2）它所表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是,中心在坐标原点的椭圆方程 其中所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在与这两个标准方程中，都有的要求，如方程就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式类比，如中，由于，所以在轴上的“截距”更大，因而焦点在轴上(即看分母的大小) 二、讲解范例：例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)焦点在轴上，且经过点(2，0)和点(0，1).(2)焦点在轴上，与轴的一个交点为P(0，10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.选题意图：训练待定系数法求方程的思想方法，考查椭圆上离焦点最近的点为长轴一端点等基本知识.解：(1)因为椭圆的焦点在轴上，所以可设它的标准方程为：椭圆经过点(2，0)和(0，1)故所求椭圆的标准方程为（）椭圆的焦点在轴上，所以可设它的标准方程为：（，）在椭圆上，10.又P到它较近的一焦点的距离等于2，c（），故c=8.所求椭圆的标准方程是.说明：(1)标准方程决定的椭圆中，与坐标轴的交点横坐标(或纵坐标)实际即为与的值.(2)后面的学习中将证明椭圆长轴端点距焦点最远或最近.例2 已知椭圆经过两点（，求椭圆的标准方程 解：设椭圆的标准方程则有 ，解得 所以，所求椭圆的标准方程为例3（教材第104页例2）已知B，C是两个定点，BC6，且的周长等于16，求顶点A的轨迹方程解：以BC所在直线为轴，BC中垂线为轴建立直角坐标系，设顶点，根据已知条件得|AB|+|AC|=10再根据椭圆定义得所以顶点A的轨迹方程为 （0）（特别强调检验) 因为A为ABC的顶点，故点A不在轴上，所以方程中要注明0的条件例4 （教材第105页例3）如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向轴作垂线段PP，求线段PP的中点M的轨迹（若M分 PP之比为，求点M的轨迹）解：（1）当M是线段PP的中点时，设动点的坐标为，则的坐标为 因为点在圆心为坐标原点半径为2的圆上，所以有 ，即 所以点的轨迹是椭圆，方程是 （2）当M分 PP之比为时，设动点的坐标为，则的坐标为 因为点在圆心为坐标原点半径为2的圆上，所以有 ，即 所以点的轨迹是椭圆，方程是 可以看到：将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长），可以得到椭圆。三、课堂练习：教材第106页练习第4题四、课堂小结 ：椭圆标准方程的两种形式及运用待定系数法求椭圆的标准方程的方法 五、课后作业：教材第106页习题8.1 第4、5、6题导学与评价第101页 自练自查自评 第1、2题，第102页第5、6、8、9题课题：82椭圆的简单几何性质（一）教学目的：1熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质2掌握标准方程中的几何意义，以及的相互关系3理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法教学重点：椭圆的几何性质教学难点：如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一，根据曲线的条件列出方程，如果说是解析几何的手段，那么根据曲线的方程研究它的性质、画图就是解析几何的目的 怎样用代数的方法来研究曲线原性质呢？本节内容为系统地按照方程来研究曲线的几何性质提供了一个范例，因此，本节内容在解析几何中占有非常重要的地位 通过本节的学习，使学生掌握应从哪些方面来讨论一般曲线的几何性质，从而对曲线的方程和方程的曲线彼此之间的相辅相成的辩证关系，对解析几何的基本思想有更深的了解 通过对椭圆几种画法的学习，能深化对椭圆定义的认识，提高画图能力；通过几何性质的简单的应用，了解到如何应用几何性质去解决实际问题，提高学生用数学知识解决实际问题的能力本节内容的重点是椭圆的几何性质范围、对称性、顶点、离心率、准线方程；根据方程研究曲线的几何性质的思路与方法；椭圆的几种画法。难点是椭圆的离心率、准线方程及椭圆的第二定义的理解，关键是掌握椭圆的标准方程与椭圆图形的对应关系，理解关掌握两种椭圆的定义的等价性根据教学大纲的安排，本节内容分4个课时进行教学，本节内容的课时分配作如下设计：第一课时，椭圆的范围、对称性、顶点坐标、离心率、椭圆的画法；第二课时，椭圆的第二定义、椭圆的准线方程；第三课时，焦半径公式与椭圆的标准方程；第四课时，椭圆的参数方程及应用教学过程：一、复习引入：1椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹2标准方程：， （）3问题：（1）椭圆曲线的几何意义是什么？（2）“范围”是方程中变量的取值范围，是曲线所在的位置的范围，椭圆的标准方程中的取值范围是什么？其图形位置是怎样的？（3）标准形式的方程所表示的椭圆，其对称性是怎样的？（4）椭圆的顶点是怎样的点？椭圆的长轴与短轴是怎样定义的？长轴长、短轴长各是多少？的几何意义各是什么？（5）椭圆的离心率是怎样定义的？用什么来表示？它的范围如何？在这个范围内，它的变化对椭圆有什么影响？（6）画椭圆草图的方法是怎样的？ 二、讲解新课：由椭圆方程() 研究椭圆的性质.(利用方程研究,说明结论与由图形观察一致) (1)范围: 从标准方程得出,即有,，可知椭圆落在组成的矩形中(2)对称性:把方程中的换成方程不变，图象关于轴对称换成方程不变，图象关于轴对称把同时换成方程也不变，图象关于原点对称如果曲线具有关于轴对称，关于轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一定具有第三种对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心轴、轴叫椭圆的对称轴从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点在椭圆的方程里，令得，因此椭圆和轴有两个交点，它们是椭圆的顶点令，得，因此椭圆和轴有两个交，它们也是椭圆的顶点 因此椭圆共有四个顶点： ，加两焦点共有六个特殊点. 叫椭圆的长轴，叫椭圆的短轴长分别为分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点.观察图示，由椭圆的对称性知，椭圆短轴的端点到两个焦点的距离相等，且等于长半轴长，即，在中，即，我们把称为椭圆的特征三角形。另外，.至此我们从椭圆的方程中直接可以看出它的范围, 对称性, 顶点因而只需少量描点就可以较正确的作图了。 (4)离心率:发现长轴相等，短轴不同，扁圆程度不同这种扁平性质由什么来决定呢？概念：椭圆焦距与长轴长之比定义式：范围：考察椭圆形状与的关系：，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例椭圆变扁，直至成为极限位置线段，此时也可认为圆为椭圆在时的特例 5、光学性质：从F1射出的光线经椭圆反射必经过F2.6、椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点；椭圆上到焦点距离最小最大的点是长轴的两个端点；7、通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通径，弦的端点坐标和或和通径长；8、设是椭圆的左右焦点，P为椭圆上的动点，当且仅当时，最大；9、椭圆上任意一点P(x,y)（y）与两焦点构成的三角形称之为焦点三角形，其周长为2（a+c）10、椭圆中有“四线”（两条对称轴、两条准线），“六点”（两个焦点、四个顶点）应该给于重视。焦点在y轴上的椭圆的性质类比可得。三、讲解范例：例1 （教材第109页例1）求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形解：把已知方程化成标准方程所以，因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为，离心率，两个焦点分别为，椭圆的四个顶点是， 将已知方程变形为，根据，在的范围内算出几个点的坐标：01234543.93.73.22.40 先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆：【作图规则：教材第110页】例2（教材第110页例2）例3（教材第110页例3）我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心(地球的中心)为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km，远地点B(离地面最远的点)距地面2384km，并且、A、B在同一直线上，设地球半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程 (精确到1km)解：建立如图所示直角坐标系，使点A、B、在轴上，则 |OA|O|A|63714396810|OB|O|B|637123848755解得7782.5，972.5.卫星运行的轨道方程为 四、课堂练习：教材第113页 练习第4、5题五、课堂小结 ：这节课学习了用方程讨论曲线几何性质的思想方法；学习了椭圆的几何性质：对称性、顶点、范围、离心率；学习了椭圆的描点法画图及徒手画椭圆草图的方法 六、课后作业：教材第114页 习题8.2第3、4、5题课题：82椭圆的简单几何性质（二）教学目的：1. 掌握椭圆范围、对称性、顶点、离心率、准线方程等几何性质；2理解椭圆第二定义与第一定义的等价性；3掌握根据曲线方程来研究曲线性质的基本思路与方法；培养学生观察能力，概括能力；提高学生画图能力；提高学生分析问题与解决问题的能力 教学重点：椭圆的第二定义、椭圆的准线方程教学难点：椭圆第二定义 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入： 回顾一下焦点在轴上的椭圆的标准方程的推导过程：如果对椭圆标准方程推导过程中的关键环节进行适当变形，我们会有新的发现： ，即 同时还有 (3)观察上述三式的结构，说出它们各自的几何意义,从而引出椭圆的第二定义二、讲解新课：1椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率2椭圆的准线方程对于，相对于左焦点对应着左准线；相对于右焦点对应着右准线对于，相对于下焦点对应着下准线；相对于上焦点对应着上准线准线的位置关系：焦点到准线的距离（焦参数）其上任意点到准线的距离：（分情况讨论）点评：（1）从上面的探索与分析可知，椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式（2）椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称 判断焦点在哪个轴上的方法：由标准方程的结构；由焦点坐标的写法；由准线方程的写法；三、讲解范例：例1求下列椭圆的准线方程：（1） (2) 解：方程可化为 ，是焦点在轴上且，的椭圆所以此椭圆的准线方程为 方程是焦点在轴上且，的椭圆所以此椭圆的准线方程为 例2椭圆上有一点P，它到椭圆的左准线距离为10，求点P到椭圆的右焦点的距离 解：椭圆的离心率为，根据椭圆的第二定义得，点P到椭圆的左焦点距离为 再根据椭圆的第一定义得，点P到椭圆的右焦点的距离为20812 例3椭圆的焦半径公式：设是椭圆的一点,和分别是点与点,的距离.那么（左焦半径）,（右焦半径）,其中是离心率推导方法一： ，即（左焦半径）,（右焦半径）推导方法二：，同理有焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式： （ 其中分别是椭圆的下上焦点）注意：焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加例4 椭圆，其上一点P(3,)到两焦点的距离分别是6.5和3.5，求椭圆方程解：由椭圆的焦半径公式，得，解得，从而有 所求椭圆方程为 四、课堂练习：五、课堂小结 ：本节课学习了椭圆的第二定义，椭圆两种定义是等价的；椭圆的两种类型的准线方程也是不同的，须区别开来六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：本课时背景材料是课本例4，学生解答例4并不困难，但对例4中直线的出现感到突然与困难，对由此得出的第二定义与第一定义有何内在联系搞不清楚 本设计通过反思椭圆标准方程的推导过程，引导学生自己去发现椭圆的第二定义 使学生明白两种定义是等价的，消除了学生困惑 利用引导学生去发现定义的教学，调动学生的积极性，加强了知识发生过程的教学 使用多媒体辅助教学，增加了课堂教学容量，提高了课堂教学效益 课题：82椭圆的简单几何性质（三）教学目的：1. 了解椭圆的参数方程，了解参数方程中系数的含义2通过学习椭圆的参数方程，进一步完善对椭圆的认识，理解参数方程与普通方程的相互联系并能相互转化提高综合运用能力教学重点：进一步巩固和掌握由曲线求方程及由方程研究曲线的方法及椭圆参数方程的推导.教学难点：深入理解推导方程的过程.灵活运用方程求解问题. 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入： 复习圆的参数方程的推导。二、讲解新课：1.问题：如图，以原点O为圆心，分别以 ()为半径作两个图，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作NAOX垂足为N，过点B作BMAN，垂足为M求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹的参数方程 解答：设A的坐标为，取 为参数，那么也就是 这就是所求点A的轨迹的参数方程将变形为发现它可化为，说明A的轨迹是椭圆2.椭圆的参数方程 注意：角不是角的几何意义是椭圆的离心角3、椭圆的标准方程与参数方程的互化。三、讲解范例：例1把下列参数方程化为普通方程，普通方程化为参数方程(1) (2)解：(1) (2) 例2 已知椭圆上的点P(),求的取值范围.解：例3 已知椭圆与轴的正半轴交于A,O是原点,若椭圆上存在一点M,使MAMO,求椭圆离心率的取值范围解：A(,0)，设M点的坐标为（），由MAMO得化简得 所以 四、课堂练习：五、课堂小结 ：椭圆的参数方程及形式,与普通方程的互化 椭圆的参数方程的应用 六、课后作业：七、板书设计（略）课题：82椭圆的简单几何性质（四）直线与椭圆的位置关系解析几何作为数学研究的重要的、有效的工具，集几何与代数的优点于一体，为数学的研究带来了方便。它的基础是用代数的方法来研究几何，从而把几何问题的讨论从定性的研究推进到可以计算的定量的层面。从下面几个关于直线与椭圆位置关系问题中可略见一斑.研究直线与椭圆的位置关系，一般是通过解直线方程与椭圆方程所组成的方程组，对解的个数进行讨论，有两组不同实数解（）时，直线与椭圆相交，有两组相同实数解（）时，直线与椭圆相切，无实数解（）时，直线与椭圆相离.一、公共点问题通过方程判别式来判断直线与椭圆的位置关系，几何的交点问题与代数的方程根问题完美结合于此.例1、判断直线与椭圆的位置关系解：由得化简整理得：当时，得，直线与椭圆相切；当时，得，直线与椭圆相交；当时，得，直线与椭圆相离；例2、若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围解法一：由可得，即解法二：直线恒过一定点当时，椭圆焦点在轴上，短半轴长，要使直线与椭圆恒有交点则即当时，椭圆焦点在轴上，长半轴长可保证直线与椭圆恒有交点即综述：解法三：直线恒过一定点要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点在椭圆内部即评述由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接导致两曲线的交点状况，而方程解的情况由判别式来决定，直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系，直线方程与椭圆方程联立，消去或得到关于或的一元二次方程，则（1）直线与椭圆相交（2）直线与椭圆相切（3）直线与椭圆相离，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具。或者可首先判断直线是否过定点，并且初定定点在椭圆内、外还是干脆就在椭圆上，然后借助曲线特征判断：如例2中法二是根据两曲线的特征观察所至；法三则紧抓定点在椭圆内部这一特征：点在椭圆内部或在椭圆上则二、弦长问题设直线，椭圆方程，直线与椭圆相交与A、B两点，则求|AB|的长度问题叫做弦长问题，具体求法如下：由联立消去得的一元二次方程：设，则若联立消去得的一元二次方程：设，则例3、已知椭圆：，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的长。解：a=3,b=1,c=2，则F（-2，0）。由题意知：与联立消去y得：。设A（、B（，则是上面方程的二实根，由违达定理，又因为A、B、F都是直线上的点，所以|AB|=例4、已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2，若过点P（0，-2）及F1的直线交椭圆于A,B两点，求ABF2的面积。解法一：由题可知：直线方程为由可得，解法二：到直线AB的距离由可得，又解法三：令则，其中到直线AB的距离由可得，评述在利用弦长公式（k为直线斜率）或焦（左）半径公式时，应结合韦达定理解决问题。例5已知椭圆中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且交直线y=x+1于P,Q两点，若OP OQ，求椭圆方程.解：设椭圆方程为mx2+ny2=1（m0，n0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），解方程组y=x+1，mx2+ny2=1.消去y，整理得（m+n）x2+2nx+n1=0.=4n24（m+n）（n1）0，即m+nmn0，OPOQx1x2+y1y2=0，即x1x2+（x1+1）（x2+1）=0，2x1x2+（x1+x2）+1=0，+1=0.m+n=2. 由弦长公式得2=（）2，将m+n=2代入，得mn=. 或解得 m=， m=，n= n=. 椭圆方程为+y2=1或x2+=1.三、中点问题例6、已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的两准线间的距离为2，若椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标是，求椭圆的方程解法一：令椭圆方程为，由题得：，由可得，又即 ,椭圆方程为解法二：令椭圆方程为，由题得：，由作差得又即 椭圆方程为例7、若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，且OAOB，求椭圆的方程.剖析：欲求椭圆方程，需求a、b，为此需要得到关于a、b的两个方程，由OM的斜率为.OAOB，易得a、b的两个方程.解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（，）.（a+b）x22bx+b1=0.由 x+y=1，ax2+by2=1，=，=1=.M（，）.kOM=，b=a. OAOB，=1.x1x2+y1y2=0.x1x2=，y1y2=（1x1）（1x2），y1y2=1（x1+x2）+x1x2=1+=.+=0.a+b=2. 由得a=2（1），b=2（1）.所求方程为2（1）x2+2（1）y2=1.评述：直线与椭圆相交的问题，通常采取设而不求，即设出A（x1，y1），B（x2，y2），但不是真的求出x1、y1、x2、y2，而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题.由OAOB得x1x2+y1y2=0是解决本题的关键.例8、已知椭圆，求以点P(2,1)为中点的弦所在的直线方程。解：设弦的端点则：故故直线方程为：评述椭圆中心定，焦点定，所以椭圆的位置定，而且由准线方程可得一个方程，还有一个方程怎么找？根据直线与椭圆相交，可联立方程组，利用韦达定理解决，事实上就是把交点问题化归为方程根的问题，有关中点问题还可设弦的两端点坐标代入椭圆方程相减，式中含有三个未知量，但直接联系了中点和直线的斜率，同样可得到a与b的关系（点差法）从而解决问题，但两者又各有弊端：韦达定理解决过程中易漏解，需关注直线的斜率问题；点差法则在确定范围方面略显不足。四、综合问题例9、已知三角形ABC的顶点A,B在椭圆上，C在直线上，且（1）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及三角形ABC的面积；（2）当,且斜边AC的长最大时，求AB所在的直线方程。解：（1）易知,AB:由解得，故 又两平行线间的距离 所以三角形ABC的面积为：（2）设AB:+m，由得，设则所以又所以当m=-1时，AC边最长，此时直线方程为：x-y-1=0例10、已知椭圆C：为其左、右两个焦点，能否在椭圆C上找到一点M，使点M到左准线的距离|MN|是|MF1|和|MF2|的比例中项？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由。解：由条件知：，令则又|MF1|+|MF2|=2a=4，则|MF2|=4-若M存在，则有即为，化为解得：（舍去），而左准线为椭圆上的点到左准线的距离的最小值是2，故M点不存在。课题：82椭圆的简单几何性质（五）椭圆的应用1、有相同离心率的椭圆系方程的设法：与椭圆有相同离心率的椭圆系方程可设为：0，和0，理由：椭圆的离心率是，方程0，的离心率也是；0，的离心率也是。【例】求经过点M(1,2)且与椭圆+=1有相同离心率的椭圆的标准方程。解：设所求椭圆方程为+=k (k0) ,或+= (0)，将点M（1，2）代入解得：，故所求椭圆方程为或2、共焦点的椭圆系方程的设法：与椭圆（）共焦点的椭圆系方程可设为：【例】求与椭圆共焦点且过点的椭圆方程。解：因为椭圆方程可化为：，设所求椭圆方程为：将点坐标代入方程解得：或（舍） 故所求椭圆方程为：3、焦点三角形的面积：【例】 如下图，设E：+=1（ab0）的焦点为F1与F2，且PE，F1PF2=2.求证：PF1F2的面积S=b2tan.证明：设|PF1|=r1，|PF2|=r2，则S=r1r2sin2，又|F1F2|=2c，由余弦定理有（2c）2=r12+r222r1r2cos2=（r1+r2）22r1r22r1r2cos2=（2a）22r1r2（1+cos2），于是2r1r2（1+cos2）=4a24c2=4b2.所以r1r2=.这样即有S=sin2=b2=b2tan.评述：椭圆中，解与PF1F2（P为椭圆上的点）有关的问题，常用正弦定理或余弦定理，并结合|PF1|+|PF2|=2a来解决.4、最值问题【例1】已知满足，求的最大值。【例1】解：由条件可设故令则的最大值为【例2】求椭圆上的点到直线的最短距离【例2】解法一：设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为：联立化简得（*） ，故切线方程为：这两条切线到已知直线的距离分别是故最短距离为解法二：（椭圆的参数方程求解）【例3】设，为椭圆+=1的右焦点，点M在椭圆上移动，当 取得最小值时，求M点的坐标.【例3】解：故故故取得最小值时， 取得最小值时，只有P、M、N三点共线时才会取得最小值.此时，M点的坐标为【例4】设AB是过椭圆中心的弦，椭圆的左焦点为，则F1AB的面积最大为（ ） A. B. C. D. 【例4】解析：如图，由椭圆对称性知道O为AB的中点，则F1OB的面积为F1AB面积的一半。又，F1OB边OF1上的高为，而的最大值是b，所以F1OB的面积最大值为。所以F1AB的面积最大值为cb。点评：抓住F1AB中为定值，以及椭圆是中心对称图形。【例5】已知点 在圆 上移动，点 在椭圆 上移动，求 的最大值【例5】解析：设椭圆上一点 ，又 ，于是而 当 时， 有最大值5故 的最大值为6点评：椭圆中的最值问题常转化为二次函数在闭区间上的最值问题5、离心率问题：越接近1，则就越接近，从而越小，椭圆越扁；反之，越接近0，则就越接近0，从而越近于，椭圆越接近于圆；当且仅当时，这时两个焦点重合，图形这时就变为圆，此时方程即为.解关于离心率的问题关键在作图，找出间的关系。【例1】 已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1F1A，POAB（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.剖析：求椭圆的离心率，即求，只需求a、c的值或a、c用同一个量表示.本题没有具体数值，因此只需把a、c用同一量表示，由PF1F1A，POAB易得b=c，a=b.【例1】解：设椭圆方程为+=1（ab0），F1（c，0），c2=a2b2，则P（c，b），即P（c，）.ABPO，kAB=kOP，即=.b=c.又a=b，e=.评述：由题意准确画出图形，利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关键.【例2】P是椭圆+=1（ab0）上一点，是椭圆的左右焦点，已知求椭圆的离心率。【例2】解：由条件知，故为直角三角形，故，即故【例3】（1）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ）(A) (B) (C) (D)（2）设椭圆=1（ab0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是 。【例3】解析：（1）不妨设椭圆方程为（ab0），则有，据此求出e，选B。（2）解析：由题意知过F1且垂直于x轴的弦长为，即e=。点评：本题重点考查了椭圆的基本性质。【例4】若椭圆短轴端点为满足，求椭圆离心率。解析：练习：1. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 2. 设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是3.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是4. 在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O为圆心，为半径作圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= 5.在中，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率6.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于7.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为 8.已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是 9.设椭圆上存在一点P，它与椭圆中心的连线和与长轴一个端点的连线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围为 10、若椭圆经过原点，且焦点为,则椭圆的离心率为 11.已知则当mn取得最小值时，椭圆的的离心率为 12. 设