2019-2020学年高二上学期期末四校联考数学试题 PDF版含答案

考试科目 数学考试科目 数学 满分 满分 150 150 考试时间 考试时间 120120 分钟分钟 一 选择题 本小题共一 选择题 本小题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分分 在每小题给出的四个选项中 只有一项在每小题给出的四个选项中 只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 请把答案填在答题纸的相应位置请把答案填在答题纸的相应位置 1 复数 i i z 1 的共轭复数是 A i 2 1 2 1 B i 2 1 2 1 C i 2 1 2 1 D i 2 1 2 1 2 抛物线 2 8yx 的焦点坐标是 A 0 2 B 2 0 C 1 0 32 D 1 0 32 3 九章算术 第三章 衰分 中有如下问题 今有甲持钱四百八十 乙持钱三百 丙持钱二 百二十 凡三人俱出关 关税百钱 欲以钱数多少衰出之 问乙出几何 其意为 今有 甲带了 480 钱 乙带了 300 钱 丙带了 220 钱 三人一起出关 共需要交关税 100 钱 依照 钱的多少按比例出钱 则乙应出 A 50 B 32 C 31 D 30 4 9 k 是 曲线1 93 22 k y k x 为双曲线 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 5 已知axxxf 12ln 且1 2 f 则 a A 5 7 B 5 6 C 5 3 D 5 4 6 已知圆 22 3 1Cxy 与双曲线 22 22 1 0 0 xy Eab ab 的渐近线相切 且圆心C 恰好是双曲线E的一个焦点 则双曲线E的标准方程是 A B 1 2 2 2 y x C 1 129 22 yx D 1 2 2 2 y x 7 函数 1 ln1 f x xx 的图象大致是 A B C D 8 设F为抛物线pxy2 2 的焦点 斜率为 0 kk的直线过F交抛物线于A B两点 若 4 FBFA 则直线AB的斜率为 A 2 1 B 4 3 C 1 D 3 4 9 已知 x aexxf 2 在 R 上有两个零点 则a的取值范围是 A 2 e B 2 e C 2 0 e D 2 0 e 10 已知有相同两焦点F1 F2的椭圆x 2 m y 2 1 m 1 和双曲线x 2 n y 2 1 n 0 P 是它们的一个交 点 则 PF1F2的形状是 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 随m n的变化而变化 11 利用一半径为 4cm 的圆形纸片 圆心为 O 制作一个正四棱锥 方法如下 1 以 O 为圆心制作一个小的圆 2 在小的圆内制作一内接正方形 ABCD 3 以正方形 ABCD 的各边向外作等腰三角形 使等腰三角形的顶点落在大圆上 如图 4 将正方形 ABCD 作为正四棱锥的底 四个等腰三角形作为正四棱锥的侧 面折起 使四个等腰三角形的顶点重合 问 要使所制作的正四棱锥体积最 大 则小圆的半径为 A 4 2 5 B 6 2 5 C 8 2 5 D 2 2 12 已知ABC 为等腰直角三角形 其顶点为 A B C 若圆锥曲线E以 A B为焦点 并经过顶 点C 该圆锥曲线E的离心率不 可以是 A 21 B 2 2 C 2 D 21 1 3 2 2 y x 第 卷 非选择题 共 90 分 二 填空题二 填空题 本大题共本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 2020 分分 请把答案填在答题纸的相应位置请把答案填在答题纸的相应位置 13 命题 p 013 2 xxRx使 则它的否定p 为 14 袋子中有四个小球 分别写有 四 校 联 考 四个字 有放回地从中任取一个小球 取到 联 就停止 用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率 先由计算器产生 1 到 4 之间 取整数值的随机数 且用 1 2 3 4 表示取出小球上分别写有 四 校 联 考 四个字 以 每两个随机数为一组 代表两次的结果 经随机模拟产生了 20 组随机数 13 24 12 32 43 14 24 32 31 21 23 13 32 21 24 42 13 32 23 34 据此估计 直到第二次就停止的概率为 15 已知抛物线 2 4Cyx 的焦点为F 准线为l 过抛物线C上的点A作准线l的垂线 垂足 为M 若AMF 与AOF 其中O为坐标原点 的面积之比为 3 1 则点A的坐标为 16 已知函数 Raaxxxxxf 2 2ln 若存在 3 1 x 使得 xxfxf 成立 则实 数a的取值范围是 三 解答题三 解答题 本大题共本大题共 6 6 小题 共小题 共 7070 分分 解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 已知曲线 C 3 2 3 3 1 23 xxxxf 1 求 xf在点 1 1 fP处的切线方程 2 求 xf在R上的极值 18 本小题满分 12 分 如图 在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD中 AD BC ABC 90 AC与BD相交于点E PA 平面ABCD PA 2 AD 1 AB 3 BC 3 1 求证 BD 平面PAC 2 求二面角A PC D的余弦值 19 本小题满分 12 分 某 双一流A类 大学就业部从该校 2018 年已就业的大学本科毕业生中 随机抽取了 100 人进行问卷调查 其中一项是他们的月薪收入情况 调查发现 他们的月薪收入 在人民币1 65万元到2 35万元之间 根据统计数据分组 得到如下的频率 分布直方图 1 将同一组数据用该区间的中点值 作代表 求这 100 人月薪收入的样本 平均数x 2 该校在某地区就业的 2018 届本 科毕业生共 50 人 决定于 2019 国庆长假期间举办一次同学联谊会 并收取一定的活动费用 有 两种收费方案 方案一 设区间 1 85 2 15 月薪落在区间 左侧的每人收取 400 元 月薪落在区间 内 的每人收取 600 元 月薪落在区间 右侧的每人收取 800 元 方案二 每人按月薪收入的样本平均数的3 收取 用该校就业部统计的这 100 人月薪收入的样本频率进行估算 哪一种收费方案能收到更多的费 用 20 本小题满分 12 分 已知正方形的边长为4 E F分别为 AD BC的中点 以EF为棱将正方 形ABCD折成如图所示的60的二面角 点M在线段AB上 1 若M为AB的中点 且直线MF与由EDA 三点所确定平面的交点为G 试确定点G的 位置 并证明直线EMCGD面 2 是否存在点M 使得直线DE与平面EMC所 成的角为 60 若存在 求此时 AB AM 的值 若不存在 说明理由 21 本小题满分 12 分 已知椭圆 C 22 22 1 xy ab a b 0 的左右焦点分别为 21 F F 点 B 0 3 为短轴的一个端点 60 2 BOF 1 求椭圆 C 的方程 2 如图 过右焦点 F2 且斜率为 0 kk的直线l与椭圆 C 相交于 D E 两点 A 为椭圆的右 顶点 直线 AE AD 分别交直线 x 3 于点 M N 线段 MN 的中点为 P 记直线 PF2的斜率为 k 试 问k k 是否为定值 若为定值 求出该定值 若不为定值 请说明理由 22 本小题满分 12 分 已知函数 2 1 2lnf xxax x a R 1 讨论 f x的单调性 2 若 f x有两个极值点 1212 x xxx 求 21 2f xf x 的最大值 试卷参考答案 试卷参考答案 一 选择题 本小题共 12小题 每小题 5 分 共 60分 一 选择题 本小题共 12小题 每小题 5 分 共 60分 BCDAA BBDDB CC BCDAA BBDDB CC 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 满分 20 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 满分 20 分 13 013 2 xxRx使 14 0 3 15 22 2 16 4 5 三 解答题三 解答题 本大题共本大题共 6 6 小题 共小题 共 7070 分分 解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 17 解析 1 32 2 xxxfxf的导数 1 分 3 1 4 1 ff又 所以 xf在点 1 1 fP处的切线方程为014 yx 也可写成14 xy 4 分 2 3 1 32 2 xxxxxfxf的导数 令0 xf可得3 1 21 xx 5 分 当x变化时 xfxf的变化如下表 x 1 1 3 1 3 3 xf 0 0 xf 递增 极大值 递减 极小值 递增 8 分 所以 xf在x 1 处取得极大值 3 7 1 f xf在x 3 处取得极小值 3 25 3 f 10 分 18 解析 1 PA 平面 ABCD BD 平面 ABCD BD PA 又tan ABD AD AB 3 3 tan BAC BC AB 3 2 分 ABD 30 BAC 60 4 分 AEB 90 即 BD AC 又 PA AC A BD 平面 PAC 6 分 用坐标法各点坐标见 2 条件完整亦给分 2 建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz 则 A 0 0 0 B 3 0 0 C 3 3 0 D 0 1 0 P 0 0 2 CD 3 2 0 PD 0 1 2 BD 3 1 0 设平面 PCD 的法向量为n x y 1 则CD n 0 PD n 0 02 023 zy yx 可取 4 x即 3 32 4 n 8 分 由 1 知平面PAC的一个法向量为m BD 3 1 0 10 分 cos m n nm nm 8 4 93 3 4 3 93 31 11 分 由题意可知二面角A PC D为锐二面角 二面角A PC D的余弦值为3 93 31 12 分 19 解析 1 这 100 人月薪收入的样本平均数x是 0 02 1 70 10 1 80 24 1 90 31 2x 0 2 2 1 0 09 2 20 04 2 32 5 分 2 方案一 月薪落在区间 左侧收活动费用约为 0 020 10 400 50 100000 24 万元 月薪落在区间 收活动费用约为 0 240 31 0 20600 50 100002 25 万元 月薪落在区间 右侧收活动费用约为 0 090 04800 50 100000 52 万 元 因此方案一 这 50 人共收活动费用约为 3 01 万元 9 分 方案二 这 50 人共收活动费用约为50 0 03 3x 万元 11 分 故方案一能收到更多的费用 12分 20 解析 1 因为直线MF 平面ABFE 故点G在平面ABFE内也在平面ADE内 所以点G在平面ABFE与平面ADE的交线上 如图所示 2 分 因为 BFAG M为AB的中点 所以 MBFGAM 所以 MFGM BFAG 所以点G在EA的延长线上 且 2 AG 连结DF交EC于N 因为四边形CDEF为矩形 所以N是EC的中点 4 分 连结MN 因为MN为 DGF 的中位线 所以 GDMN 又因为MN 平面EMC 所以直线 EMCGD面 5 分 2 由已知可得 EFAE EFDE 所以EF 平面ADE 所以 GDEABEF平面平面 取AE的中点H为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标 系 所以 1 0 0 E 0 0 3 D 0 4 3 C 1 4 0 F 7 分 所以 1 0 3 ED 1 4 3 EC 设 1 0 04 Mtt 则 2 0 EMt 设平面EMC的法向量 mx y z 则 20 0 0430 xty m EM m ECxyz 取2y 则xt 8 3 t z 所以 8 2 3 t mt 9 分 DE与平面EMC所成的角为60 所以 2 2 83 2 8 24 3 t t 所以 2 2 33 2 419tt 所以 2 430tt 解得1t 或3t 11 分 此时 4 1 AB AM 或 4 3 AB AM 所以存在点M 使得直线DE与平面EMC所成的角为60 12 分 21 解析 1 由条件可知2 3ab 故所求椭圆方程为1 34 22 yx 4分 2 设过点 2 1 0 F的直线l方程为 1 xky 由 22 1 1 43 yk x xy 可得 01248 34 2222 kxkxk 因为点 2 1 0 F在椭圆内 所以直线 和椭圆都相交 即0 恒成立 设点 1122 E x yD xy 则 34 124 34 8 2 2 21 2 2 21 k k xx k k xx 6 分 因为直线AE的方程为 2 2 1 1 x x y y 直线AD的方程为 2 2 2 2 x x y y 令3x 可得 2 3 1 1 x y M 2 3 2 2 x y N 所以点P的坐标 12 12 1 3 222 yy xx 8 分 直线 2 PF的斜率为 12 12 1 0 222 3 1 yy xx k 122112 1212 12 42 4 x yx yyy x xxx 1212 1212 23 41 42 4 kx xk xxk x xxx 22 22 22 22 4128 234 1 4343 41284 24 4343 kk kkk kk kk kk 3 4k 所以为定值 4 3 12 分 22 解析 1 2 1221 22 xax fxxa xx 0 x 1 分 A B C D E F G N M 第 20 题图 l 令 2 221yxax 当 2 480a 即 22a 时 0y 此时