浙江大学2003 2004年数学分析考研试题.doc

浙江大学2003年数学分析考研试题1. 叙述数列的柯西（Cauchy）收敛原理，并证明之.2. 设在上一致连续，在上连续，且，证明：在上一致连续.3. 设在上有二阶连续导数，且，当时，.证明：在内，方程，有且只有一个实根.4. 设连续，且（常数），求，并讨论在处的连续性.5. 定义为，证明：.6. 给出Riemann积分的定义，并确定实数的范围，使下列极限收敛.7. 证明：（1） 函数项级数在上一致收敛，但是对任意，级数非绝对收敛；（2） 函数项级数对任意都绝对收敛，但在上非一致收敛.8. 计算（1） ；（2） ，其中为平面曲线，所围成的有界闭区域；（3） ，其中.浙江大学2003年数学分析考研试题解答1. 解：数列收敛的充分必要条件是对，当时，有，数列收敛的充分必要条件是为柯西数列. 书上有证明.2. 证明：设，则在上连续，由存在，可知在上一致连续，又在上一致连续，所以在上一致连续.3. 证明：因为当时，所以在上单调递减，当时，从而在上严格单调递减，又 ，所以当充分大时，有，且，所以必有零点，又严格单调递减，所以有且仅有一个实根.4. 解：，由，得， ， ，所以在处连续.5. 证明：当，不妨设，经过多次分部积分，得，当时，经过多次分部积分，得， ， ，.6. 解：定积分的定义书上有.，当时，该积分收敛，数列的极限存在.7. （1）证明：设，显然在上一致有界，对每一，单调递减，即在上一致收敛于零，由狄利克雷判别法，知在上一致收敛.显然，发散，所以发散，非绝对收敛.（2） 证明：当时，绝对收敛，当时，绝对收敛，因为余和，所以在上不一致收敛.8(1). 解： ，当时，在处取到最大值， ，.(2)、解：做坐标变换，.（3） 解：由曲面， ， ，故.浙江大学2004年数学分析考研试题1 设函数在区间上有定义，试证明：在上一致连续的充分必要条件是对区间上任意两数列与，当时，有.2 设函数在区间内具有直到三阶的连续导数，且，试证明：绝对收敛.3 设函数在区间上可微，且在点的右导数，在点的左导数，试证明：在内至少有两个零点.4 设函数在区间上Riemann可积，且.试证明：存在闭区间，使得当时，.5 证明：若一族开区间覆盖了闭区间，则必存在一个正数，使得中任何两点，满足时，必属于某个开区间.6 用球面坐标，变换方程.7 计算.8 求在条件下的最大最小值，其中.9 利用公式，计算，（说明计算过程中每一步的合理性）.10 （1）设为中光滑区域，为其边界，在上有连续二阶偏导数.证明：，其中为沿边界外法线方向的导数，为边界上的面积元，.（2） 的坐标为，函数，证明：在上成立.（3） 设是以为中心，为半径的球面，为其边界，若在上满足，则.浙江大学2004年数学分析考研试题解答1 证明：必要性 设在上一致连续，则对，当，时，有.由，对于上述，当时，有，从而有，所以.充分性：用反证法 假设在上不一致连续，则，对，存在，尽管，但，不妨取，存在，尽管，但，上述，满足，但是，与条件,矛盾.2 证明：由，得，于是，再由级数收敛，得收敛，所以绝对收敛.3 由，存在，；由，存在，.由连续函数的介值定理：存在，使得，再由罗尔中值定理，存在，使得，存在，使得，所以在内至少存在两个零点.4 证明：反证法，假设对任意区间，却有，把这些区间叠加覆盖区间，与题设条件，矛盾.5 证明：对于每一个，由于覆盖了，存在，使得，又由是开区间，存在，使得，显然开集族亦覆盖了区间，根据有限覆盖定理，存在有限个，使得就能覆盖了，取，对任意，当时，存在，有，于是，结论得证.6 解：与的关系为，由，得，在两边对求偏导数得，所以 ，同理 ， ，由两边对求偏导，得，所以 ，同理 ， ，因为，所以把上述关系式代入微商连锁关系，得 ， （1） ， （2） , （3）注意到是相互独立的， ， （4） ， （5） ， （6）将（4），（5），（6）式两边相加，并利用，及，得 ，即拉普拉斯算符在球面坐标系中表示为 .7 解： ， ，故.8 解：，解得，所以最大值为，最小值为.9 解： ，考察,其中，利用公式，计算，其中，关于一致收敛，关于一致收敛，且存在，所以积分可以交换次序，令，则得， ; 于是 ，故 .10 （1）证明：即格林第一公式，格林第二公式. 应用高斯公