计算方法复习提纲PPT课件.ppt

计算方法复习课 说明 评分标准 最后考试成绩占70 平时及上机报告 30 考试形式为闭卷 需带计算器 许诺老师上课内容 60 70 徐政老师上课内容为30 40 1 课程基本内容 绪论一元非线性方程的解法线性方程组Ax b的解法 直接法 迭代法插值与拟合数值积分常微分方程的数值解法 2 绝对误差和绝对误差限 1 绪论 相对误差和相对误差限 有效数字 3 误差在算术运算中的传播1 加 减运算 2 乘法运算 3 除法运算 数据误差影响的估计 大小相近的同号数相减 乘数的绝对值很大 以及除数接近于零等 在数值计算中都应设法避免 4 2非线性方程f x 0求根 非线性方程求根 二分法 简单迭代法 牛顿迭代法 弦截法 要求熟练掌握标准牛顿迭代法及迭代法收敛阶的判断 5 设有方程x x 及迭代过程 且设 xk 收敛于x 对迭代误差ek x xk 如果有误差关系 其中P为实数且P 1 c为正常数 称迭代过程为P阶收敛 当P 1时称迭代过程为线性收敛 当P 1时称迭代过程为超线性收敛 当P 2时称迭代过程为二次收敛 或为平方收敛 1 收敛速度 6 对于迭代过程 如果在所求根x 的邻近连续 并且 则称该迭代过程在点x 邻近是p阶收敛的 定理2 3 7 3线性方程组求解 线性方程组求解 直接法 迭代法 高斯消元法 三角分解法 雅可比迭代 赛德尔迭代 超松弛迭代 大规模 稀疏矩阵 小中型矩阵 追赶法 改进平方根法 选列主元技术 特殊线性方组 8 1 熟练掌握高斯消去法及选列主元的技术 2 熟练掌握三角分解法 A LU 及选列主元技术 3 会计算向量与矩阵的三种范数 方程组的条件数 线性代数方程组的直接解法 9 线性代数方程组的迭代解法 熟练掌握求解线性代数方程组的雅可比迭代法 赛德尔迭代法及SOR迭代法的迭代格式和收敛条件 10 Jacobi迭代公式 k 0 1 2 11 Gauss Seidel迭代公式 12 松弛因子 1即Gauss Seidel方法 逐次超松弛迭代法 SOR法 13 推论2设 为非奇异矩阵且D也非奇异 则 1 Jacobi迭代法收敛的充分必要条件是 2 Gauss Seidel迭代法收敛的充分必要条件是 3 SOR迭代法收敛的充分必要条件是 14 定理3 12设Ax b 如果A为严格对角占优阵 则Jacobi迭代法和Gauss Seidel迭代法均收敛 定理3 13设解Ax b的SOR法收敛 则0 2 定理3 14设Ax b 如果A为对称正定矩阵 且0 2 则SOR迭代法收敛 15 4插值法 插值公式 拉格朗日插值 牛顿插值 分段低次插值 三次样条插值 16 1 理解插值概念及插值多项式存在唯一性 2 熟练掌握拉格朗日插值法及余项公式 知道插值基函数 3 熟练掌握牛顿插值多项式 4 掌握三次样条插值法 定义 5 曲线拟合和最小二乘法 17 18 定义4 6设函数S x 定义在区间 a b 上 给定n 1个节点a x0 x1 x2 xn b 若函数S x 若S x 满足 1 S x 在 a b 上有二阶连续导数 2 S x 在每个小区间 xk xk 1 k 0 2 n 1 上是不高于三次的多项式 则称S x 为三次样条函数 若S x 还满足 3 S xk f xk k 0 1 n 则称S x 为三次样条插值函数 19 待定系数应满足的4n 2个方程 1 插值条件 2 连续条件 20 边界条件的类型很多 常见的有 1 给定一阶导数值 2 给定二阶导数值 作为特例 称为自然边界条件 满足自然边界条件的三次样条插值函数称为自然样条插值函数 3 当y f x 是周期为xn x0的函数时 则要求S x 及其导数都是以xn x0为周期的函数 相应的边界条件为 由f x 的周期性知f