高中数学思想方法.doc

高中数学解题思想方法常用数学方法：配方法、消去法、换元法、待定系数法、数学归纳法、坐标法、参数法等；数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等；常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想、运动与变换思想等。一、配方法例1.讨论下列问题：1.在正项等比数列 .2. 方程x2y24kx2y5k0表示圆的充要条件是（ ）. A. k1 B. k1 C. kR D. k或k13. 已知sin4cos41，则sincos的值为（ ）. A. 1 B. 1 C. 1或1 D. 04. 函数y的单调递增区间是（ ）. A. （, B. ,+) C. (, D. ,3)5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两实数根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上，则实数a_。6. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（ ）. A. B. C. 5 D. 6例2. 设方程x2kx2=0的两根为p、q，若成立，求k的取值范围。例3. 设非零复数a、b满足aabb=0，求 。二、换元法例1.讨论下列问题：1. ysinxcosxsinx+cosx的最大值是_。2.设f(x1) （a1），则f(x)的值域是_。3.已知数列an中，a11，an+1anan+1an，则数列通项an_。4. 设实数x、y满足x2xy10，则xy的取值范围是_。5.方程的解是_。6.不等式log2(21) log2(22)2的解集是_。例2. 实数x、y满足4x5xy4y5 ，设Sxy，求的值。例3 ABC的三个内角A、B、C满足：AC2B，的值。例4. 设a0，求f(x)2a(sinxcosx)sinxcosx2a的最大值和最小值。 例5. 设对所有实数x，不等式恒成立，求a的取值范围。例6. 已知的值。例7. 实数x、y满足，若xyk0恒成立，求k的范围。例8.实数a、b、c满足abc1，求abc的最小值。例9.已知正四棱锥SABCD的侧面与底面的夹角为，相邻两侧面的夹角为,求证：cos=-cos。三、待定系数法例1.讨论下列问题：1.设，f(x)的反函数f(x)nx5，那么m、n的值依次为_。A. , 2 B. ， 2 C. , 2 D. ，22.二次不等式axbx20的解集是，则ab的值是_。A. 10 B. 10 C. 14 D. 143.在(1x)（1x）的展开式中，x的系数是_。A. 297 B.252 C. 297 D. 2074.函数yabcos3x (b0)的最大值为，最小值为，则y4asin3bx的最小正周期是_。5.与直线L：2x3y50平行且过点A(1,-4)的直线L的方程是_。6.与双曲线有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是_。例2.已知函数的最大值为7，最小值为1，求此函数式。例3. 设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是，求椭圆的方程。例4. 是否存在常数a、b、c，使得等式1223n(n1) (anbnc)对一切自然数n都成立？并证明你的结论。 例5. 有矩形的铁皮，其长为30cm，宽为14cm，要从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？四、定义法例1.讨论下列问题：1.已知集合A中有两个元素，集合B中有7个元素，AB的元素个数为n，则_。A. 2n9 B. 7n9 C. 5n9 D. 5n72.设MP、OM、AT分别是46角的正弦线、余弦线和正切线，则_。A. MPOMAT B. OMMPAT C. ATOMMP D. OMATMP3.复数z1a2，z22，如果|z1| |z2|，则实数a的取值范围是_。A. 1a1 C. a0 D. a14.椭圆上有一点P，它到左准线的距离为，那么P点到右焦点的距离为_。A. 8 C. 7.5 C. D. 3 5.奇函数f(x)的最小正周期为T，则f()的值为_。A. T B. 0 C. D. 不能确定6. 正三棱台的侧棱与底面成45角，则其侧面与底面所成角的正切值为_。例2. 已知z1， 设wz34，求w的三角形式； 如果1，求实数a、b的值。例3. 已知f(x)xcx，f(2)14，f(4)252，求的定义域，判定在(,1)上的单调性。例4. 如图，已知ABCABC是正三棱柱，D是AC中点。A A D C C O H B B 证明：AB平面DBC；假设ABBC，求二面角DBCC的度数。（94年全国理）例5. 求过定点M(1,2)，以x轴为准线，离心率为的椭圆的下顶点的轨迹方程。五、反证法例1.讨论下列问题：1.已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)0 _。A.至多一个实根 B.至少一个实根 C.一个实根 D.无实根2.已知a0,1bab ab B. ababa C. aba ab D. ab aba3.已知l，a ，b ，若a、b为异面直线，则_。A. a、b都与l相交 B. a、b中至少一条与l相交C. a、b中至多有一条与l相交 D. a、b都与l相交4.四面体顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，不同的取法有_。A. 150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种例2. 如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点。求证：AC与平面SOB不垂直。 S C A O B例3. 若下列方程：x4ax4a30， x(a1)xa0, x2ax2a0至少有一个方程有实根。试求实数a的取值范围。例4. 给定实数a，a0且a1，设函数 (其中xR且x)，证明：.经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴； .这个函数的图像关于直线yx成轴对称图像。(88年全国理)。六、数形结合例1.讨论下列问题：1.设命题甲：0x5；命题乙：|x2|3，那么甲是乙的_。A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.若log2log20，则_。A. 0ab1 B. 0bab1 D. ba13.如果|x|,那么函数f(x)cosxsinx的最小值是_。A. B. C. 1 D. 4.如果奇函数f(x)在区间3,7上是增函数且最小值是5，那么f(x)的-7,-3上是_。A.增函数且最小值为5 B.增函数且最大值为5C.减函数且最小值为5 D.减函数且最大值为5 5.设全集I(x,y)|x,yR，集合M(x,y)| ，N(x,y)|yx1，那么等于_。 A. B. (2,3) C. (2,3) D. (x,y)|yx1 6.如果是第二象限的角，且满足是_。A.第一象限角 B.第三象限角 C.可能第一象限角，也可能第三象限角 D.第二象限角7.已知集合E|cossin，02，F|tg0),椭圆中心D(2,0)，焦点在x轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的左顶点为A。问p在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线L的距离？例5. 设a、b是两个实数，A(x,y)|xn，ynab （nZ），B(x,y)|xm，y3m15 (mZ)，C(x,y)|xy144，讨论是否存在a、b，使得AB与(a,b)C同时成立。七、分类讨论例1.讨论下列问题：1.集合Ax|x|4,xR，Bx|x3|a，xR，若AB，那么a的范围是_。A. 0a1 B. a1 C. a1 D. 0a0且a1，ploga(aa1)，qloga(aa1)，则p、q的大小关系是_。A. pq B. pq D.当a1时，pq；当0a1时，pq3.函数的值域是_。4.若(0, )，则的值为_。A. 1或1 B. 0或1 C. 0或1 D. 0或1或15.函数的值域是_。A. 2,+) B. (-,-22,+) C. (-,+) D. -2,26.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为_。A. B. C. D. 或7.过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_。A. 3x2y0 B. xy50 C. 3x2y0或xy50 D.不能确定例2. 设0x0且a1，比较|loga(1x)|与|loga(1x)|的大小。例3. 已知集合A和集合B各含有12个元素，AB含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数： . CAB且C中含有3个元素； . CA 。例4. 设an是由正数组成的等比数列，Sn是前n项和。 . 证明：； .是否存在常数c0，使得成立？并证明结论。例5. 设函数f(x)ax2x2，对于满足1x0，求实数a的取值范围。例6. 解不等式.例7. 设a0,在复数集C中，解方程：z2|z|a 。 例8. 在xoy平面上给定曲线y2x，设点A(a,0)，aR，曲线上的点到点A的距离的最小值为f(a)，求f(a)的函数表达式。 八、函数与方程思想例1.讨论下列问题：1.方程lgxx3的解所在的区间为_。A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+)2.如果函数f(x)xbxc对于任意实数t，都有f(2t)f(2t)，那么_。A. f(2)f(1)f(4) B. f(1)f(2)f(4) C. f(2)f(4)f(1) D. f(4)f(2)0，a1，试求方程有实数解的k的范围。例3. 设不等式2x1m(x1)对满足|m|2的一切实数m的取值都成立。求x的取值范围。例4. 设等差数列an的前n项的和为Sn，已知a312，S120，S13b0）的半焦距为c，直线l过(0,a)和(b,0)，已知原点到l的距离等于，则椭圆的离心率为_。 A. B. C. D. 6. 已知三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，SA5，SB4，SC3，D为AB的中点，E为AC的中点，则四棱锥S-BCED的体积为_。 A. B.