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随机过程 哈尔滨工程大学信息与通信工程学院 离散随机过程及其通过系统分析 叶方 第4讲 2020 3 18 1 4 1离散时间随机过程基本概念 一 定义 2020 3 18 2 4 1离散时间随机过程基本概念 1 一维情况 2 二维情况 3 n维情况 概率分布函数 概率密度函数 概率分布函数 概率密度函数 概率分布函数 概率密度函数 二 概率分布 2020 3 18 3 4 1离散时间随机过程基本概念 4 相互独立 5 联合分布 随机变量相互独立 联合分布函数 统计独立 同理可从联合概率密度函数进行表述 二 概率分布 2020 3 18 4 4 1离散时间随机过程基本概念 定义性质 线性独立的含义是随机序列和中的任意两个随机变量都互不相关 统计独立一定线性独立 反之不一定 三 数字特征 1 均值 2020 3 18 5 4 1离散时间随机过程基本概念 三 数字特征 2 均方值 3 方差 4 自相关函数 5 自协方差函数 2020 3 18 6 4 2离散时间随机过程平稳性和遍历性 一 平稳性 1 严平稳 离时间随机过程经过时间平移后其概率统计特性保持不变 平稳离散随机过程的一维概率分布与时间无关 平稳离散随机过程的二维概率分布与时间差有关 推论 2020 3 18 7 4 2离散时间随机过程平稳性和遍历性 一 平稳性 2 宽平稳 3 联合宽平稳 前提是两个随机过程各自平稳 2020 3 18 8 4 2离散时间随机过程平稳性和遍历性 一 平稳性 4 自相关序列性质 2020 3 18 9 4 2离散时间随机过程平稳性和遍历性 一 平稳性 4 自相关序列性质 2020 3 18 10 4 2离散时间随机过程平稳性和遍历性 二 遍历性 1 时间均值 2 时间自相关序列 3 宽遍历 2020 3 18 11 4 3多维离散时间随机过程 一 互相关和互协方差 1 互相关序列 2 互协方差序列 2020 3 18 12 4 3多维离散时间随机过程 二 联合平稳与联合遍历 1 联合平稳 2 联合遍历 2020 3 18 13 4 3多维离散时间随机过程 三 联合平稳互相关序列性质 2020 3 18 14 4 4平稳离散时间随机过程的功率谱 一 定义 为零均值广义平稳离散时间随机过程 自相关函数满足 功率谱密度 T是随机序列相邻各值的时间间隔 是频率为的周期性连续函数 其周期为 奈奎斯特频率 2020 3 18 15 4 4平稳离散时间随机过程的功率谱 二 谱分解 1 z变换 D为在的收敛域内环绕z平面原点反时针旋转的一条闭合围线 2 性质 因为 2020 3 18 16 4 4平稳离散时间随机过程的功率谱 二 谱分解 3 谱分解定理 设X n 是广义平稳实离散随机过程 具有有理功率谱密度函数 则可分解为 其中 包含了单位圆之内的全部零点和极点 包含了单位圆之外的全部零点和极点 2020 3 18 17 4 5随机过程通过离散时间系统的分析 一 时域分析法 1 输出的表达式 连续时间系统 离散时间系统 系统的输出等于输入信号与单位冲激响应的卷积和 2 输出的均值 2020 3 18 18 4 5随机过程通过离散时间系统的分析 一 时域分析法 3 输入输出的互相关函数 2020 3 18 19 4 5随机过程通过离散时间系统的分析 一 时域分析法 4 输出的自相关函数 2020 3 18 20 4 5随机过程通过离散时间系统的分析 二 频域分析法 1 输出的均值 2 功率谱密度 2020 3 18 21 5随机过程通过非线性系统的分析 难点 对线性系统 只需知道系统的特性函数和输入随机过程的数字特征 对非线性系统 还需已知输入过程的一 二维分布律 甚至高维分布律或高阶矩 对一般非线性系统 动态非线性系统或称为有惰性非线性系统 的特性描述 甚至测量都非常困难 已知 输入的统计特性和系统的非线性特性 求解 输出的统计特征 2020 3 18 22 5随机过程通过非线性系统的分析 无惰性时不变非线性系统 特点 系统不含惰性元件 无惰性系统 输出Y t 在t1时刻的特性完全由X t 在t1时刻的特性决定 而不取决于X t 在其他时刻的特性 这样的系统称为无惰性系统 时不变系统 2020 3 18 23 5随机过程通过非线性系统的分析 典型的无惰性时不变非线性系统 硬限制线性半波检波线性全波检波二次失真平方律检波器 重点讨论线性半波检波 线性全波检波和平方律检波 2020 3 18 24 5随机过程通过非线性系统的分析 已知 输入的统计特性 系统的非线性变换函数 求解 输出的统计特征 方法 直接根据定义求解 特点 简单 直观 计算信号输出统计特性的直接法 2020 3 18 25 5随机过程通过非线性系统的分析 计算信号输出统计特性的直接法 1 概率密度 单调 不单调 其中 2020 3 18 26 5随机过程通过非线性系统的分析 计算信号输出统计特性的直接法 2 均值和自相关函数 X t 的一维概率密度 X t 的二维概率密度 若输入 二阶严平稳 则输出广义平稳的 2020 3 18 27 5随机过程通过非线性系统的分析 平方律检波器 平方律检波器的传输特性为 其中b是常数 严平稳 2020 3 18 28 5随机过程通过非线性系统的分析 平方律检波器 2020 3 18 29 5随机过程通过非线性系统的分析 平方律检波器 2020 3 18 30 5随机过程通过非线性系统的分析 平方律检波器 2