2020年中考数学提优专题：《圆：切割线定理》（含答案）

圆：切割线定理知识梳理：（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项几何语言：PT切O于点T，PBA是O的割线PT的平方=PAPB（切割线定理）（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 几何语言：PBA，PDC是O的割线 PDPC=PAPB（切割线定理推论）（割线定理） 由上可知：PT2=PAPB=PCPD一选择题1如图，P是O的直径BC延长线上一点，PA切O于点A，若PC2，BC6，则切线PA的长为（）A无限长BC4D2如图，PT是O的切线，T为切点，PBA是割线，交O于A、B两点，与直径CT交于点D，已知CD2，AD3，BD4，那么PB等于（）A6BC7D203设H为锐角ABC的三条高AD、BE、CF的交点，若BCa，ACb，ABc，则AHAD+BHBE+CHCF等于（）A（ab+bc+ca）B（a2+b2+c2）C（ab+bc+ca）D（a2+b2+c2）4如图，MN切O于A点，AC为弦，BC为直径，那么下列命题中假命题是（）AMAB和ABC互余BCANABCCOABCDMA2MBBC5如图，以OB为直径的半圆与半圆O交于点P，A、O、C、B在同一条直线上，作ADAB与BP的延长线交于点D，若半圆O的半径为2，D的余弦值是方程3x210x+30的根，则AB的长等于（）ABC8D56如图，AB是O直径，AC是O的弦，过弧BC的中点D作AC的垂线交AC的延长于E，若DE2，EC1，则O的直径为（）ABC5D47如图，过点P作O的两条割线分别交O于点A、B和点C、D，已知PA3，ABPC2，则PD的长是（）A3B7.5C5D5.58如图，已知O的弦AB、CD相交于点P，PA4cm，PB3cm，PC6cm，EA切O于点A，AE与CD的延长线交于点E，若AEcm，则PE的长为（）A4cmB3cmC5cmD cm9如图，O1与O2相交于A、B两点，PQ切O1于点P，交O2于点Q、M，交AB的延长线于点N若MN1，MQ3，则NP等于（）A1BC2D310同心圆O中，大圆的弦EF切小圆于K，EP切小圆于P，FQ切小圆于Q，G为小圆上一点，GE、GF分别交小圆于M、N两点，下列四个结论：EMMG；FQ2FNNG；EPFQ；FNFGEMEG正确的结论为（）ABCD二填空题11如图，AB为O的直径，P点在AB的延长线上，PM切O于点M若OAa，PM，那么PMB的周长是 12已知：如图，PC切O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CDAB于点E，PC4，PB8，则PA ，sinP ，CD 13如图，PA、PB与O分别相切于点A、点B，AC是O的直径，PC交O于点D，已知APB60，AC2，那么CD的长为 14如图，PA切O于点A，割线PBC交O于点B、C，若PA6，PB4，弧AB的度数为60，则BC ，PCA 度，PAB 度15如图，已知ABCD是一个半径为R的圆内接四边形，AB12，CD6，分别延长AB和DC，它们相交于点P，且BP8，APD60，则R 16如图，AC为O的直径，PA是O的切线，切点为A，PBC是O的割线，BAC的平分线交BC于D点，PF交AC于F点，交AB于E点，要使AEAF，则PF应满足的条件是 （只需填一个条件）17由O外一点F作O的两条切线，切点分别为B、D，AB是O的直径，连接AD、BD，线段OF交O于E，交BD于C，连接DE、BE有下列序号为的四个结论：BEDE；EBDEDB；DEAB；BD22ADFC其中正确的结论有 （把你认为正确结论的序号全部填上）三解答题18已知：如图，在ABC中，C90，BE是角平分线，DEBE交AB于D，O是BDE的外接圆（1）求证：AC是O的切线；（2）若AD6，AE6，求DE的长19如图，圆O是以AB为直径的ABC的外接圆，D是劣弧的中点，连AD并延长与过C点的切线交于点P，OD与BC相交于E；（1）求证：OEAC；（2）求证：；（3）当AC6，AB10时，求切线PC的长20如图，OB是以（O，a）为圆心，a为半径的O1的弦，过B点作O1的切线，P为劣弧上的任一点，且过P作OB、AB、OA的垂线，垂足分别是D、E、F（1）求证：PD2PEPF；（2）当BOP30，P点为的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及SDEF参考答案一选择题1解：PC2，BC6，PB8，PA2PCPB16，PA4故选：C2解：TDCDADBD，CD2，AD3，BD4，TD6，PT2PD2TD2，PT2PBPA（PDBD）（PD+AD），PD24，PBPDBD24420故选：D3解：AHADACAEACABcosBAE（b2+c2a2），同理BHBE（a2+c2b2），CHCF（a2+b2c2），故AHAD+BHBE+CHCF（a2+b2+c2）故选：B4解：BC是O的直径，BAC90，MAB+CAN90；MN切O于A，MA2MBMC，（故D错误）CANCBA，（故B正确）MAB+CBA90；（故A正确）OA是O的半径，BC是O的直径，BC2OA；（故C正确）故选：D5解：3x210x+30，x3（不合题意，舍去）或xcosDAD：BD1：3，设ADx，则BD3xAB2x，BC2x4（2x）2（2x4）xx0（舍去），或x2AB228故选：C6解：连接OD，点D是弧BC的中点，ODBC，OFC90，AB是直径，ACB90，DEAE，E90，四边形CFDE是矩形，ODE90，ED是圆的切线作OGAC，则OGCFED2DE2ECAE，AE4，AC3，AG，AO，AB5故选：C7解：PA3，ABPC2，PB5，PAPBPCPD，PD7.5，故选：B8解：PAPBPCPD，PA4cm，PB3cm，PC6cm，PD2；设DEx，AE2EDEC，x（x+8）20，x2或x10（负值舍去），PE2+24故选：A9解：PN2NBNA，NBNANMNQ，PN2NMNQ4，PN2故选：C10解：连接OK，EF切小圆于K，OKEF，根据垂径定理得EKFK，EP切小圆于P，FQ切小圆于Q，EPEK，FQFK，EPFQ，故正确；由切割线定理得，FK2FNFG，EK2EMEG，FNFGEMEG，故正确；故选：C二填空题（共7小题）11解：连接OM；PM切O于点M，OMP90，OAOMa，PM，tanMOPMP：OM，MOP60，OP2a，PBOPOBa；OMOB，OMB是等边三角形，MBOBa，PMB的周长是（+2）a12解：PC切O于点C，割线PAB经过圆心O，PC4，PB8，PC2PAPBPA2AB6圆的半径是3连接OCOC3，OP5，sinPCE，CD13解：连接AD，OB，OP；PA、PB与O分别相切于点A、点B，OAPOBP90，AOB180P120，AOP60，APAOtan60，PC；PA2PDPC，PD，CD14解：PA2PBPC，PA6，PB4；PC9，BC5；弧AB的度数为60，PCA30，PAB3015解：由切割线定理得PBPAPCPD，则有 820PC（PC+6）解得PC10在PAC中，由PA2PC，APC60，得PCA90从而AD是圆的直径由勾股定理，得AD2AC2+CD2（PA2PC2）+CD2202102+62336AD4RAD2故答案为216解：PAC90，ABC90，90AFP90BEP，APFCPF，PF平分APC17解：BF，DF是O的两条切线OF是DFB的角平分线，DFFB，FOBD，CDCBBEDE（正确）EBDEDB（正确）FB切O于BFBOBBCOFBC2OCFC（BD）2OCCEOC为ABD的中位线OCAD（BD）2ADCEBD22ADFC（正确）故其中正确的结论有三解答题（共3小题）18（1）证明：连接OE；（1分）O是BDE的外接圆，DEB90，BD是O的直径，（不证直径，不扣分）BE平分ABC，CBEOBE，OBOE，OBEOEB，（2分）OEBCBE，OEBC，（3分）C90，AEO90，AC是O的切线；（4分）（2）解：AE是O的切线，AD6，AE6，AE2ADAB，（5分）AB12，BDABAD1266；AEDABE，AA，AEDABE，（6分）；设DEx，BE2x，DE2+BE2BD2，（7分）2x2+4x236，解得x（负的舍去），DE2（8分）19（1）证明：AB为直径ACB90ACBC又D为中点，ODBC，ODAC，又O为AB中点，；（4分）（2）证明：连接CD，PC为切线，由PCDCAP，P为公共角，PCDPAC，（6分），又CDBD，；（8分）（3）解：AC6，AB10，BC8，BE4，OE3，DE2，BD2DE2+BE220，（9分）AD2AB2BD280，AD4，（10分）CDBD2，由（2），（11分）CP2DPAP455，切线PC15（12分）20（1）证明：连接PB，OP，PEAB，PDOB，BEPPDO90，AB切O1于B，ABPBOP，PBEPOD，同理，OPFBPD，PD2PEPF；（2）解：连接O1B，O1P，AB切O1于B，POB30，ABP30，O1BP903060，O1BO1P，O1BP为等边三角形，O1BBP，P为弧BO的中点，BPOP，即O1PO为等边三角形，O1POPa，O1OP60，又P为弧BO的中点，O1POB，在O1DO中，O1OP60O1Oa，O1Da，ODa，过D作DMOO1于M，DMODa，OMDMa，D（a， a），O1OF90，O1OP60POF30，PEOA，PFOPa，OFa，P（a，），F（a，0），AB切O1于B，POB30，ABPBOP30，