2016校物理竞赛试题及解答.pdf

1 一 填空题 每题 4 分 共计 40 分 1 质量为 m 的小球速度为 v 0 与一个以速度 v v m 则碰撞后小球的 速度 vm 挡板对小球的 冲量 I 2 一粒子沿 x 轴运动 它的势能 EP x 为 x 的函数 函数图线如图 所示 若该粒子所具有的总能量 E 0 则该粒子的运动范围为 当粒子处在 x2位置时 其动能为 3 一列火车以速度 u 作匀速直线运动 当一位实验者站在一节敞车上面将一质量为 m 的小 球以速度 v 相对于火车 向前或竖直向上抛出 在地面参考系中看来实验者对小球作的功 分别是 W 前 W 上 4 如图所示 圆柱体的半径为 R 其上有一半径为 r 的固定圆盘 圆 盘质量忽略不计 盘周绕有细绳 今沿垂直于圆盘轴的水平方向以力 F 拉绳 若使该圆柱体在水平面上作纯滚动 则该柱体与水平面间 的静摩擦力 f 当Rr 2 1 时静摩擦力 f 5 图为一自转轴在水平方向的回转仪的俯视图 t 0 时刻 回转仪绕自转轴的角动量为 iLL 1 欲使回转仪逆时针进动 则该时刻对它加的 外力矩的方向应为 2 若经过时间 t 回转仪进动到它的角动量 指向 y 方向 而大小不变 则在这段时间内 回转 仪所受到的冲量矩为 M m v v 0 U0 x EP O x1 x2 R B C r F O x y 2 6 一个平行板电容器的电容值 C 100 pf 面积 S 100 cm2 两板间充以相对介电常量为 r 6 的云母片 当把它接到50 V的电源上时 云母中电场强度的大小E 金属板上的自由电荷 真空介电常量 0 8 85 10 12 C2 N 1 m 2 7 三个完全相同的金属球 A B C 其中 A 球带有电荷 Q 而 B C 球均不带电 先使 A 球同 B 球接触 分开后 A 球再和 C 球接触 最后三个球分别孤立地放置 则 A B 两球所 储存的电场能量 WA WB 与 A 球原先所储存的电场能量 W0比较 WA是 W0的 倍 WB是 W0的 倍 8 如图 电荷分别为 q1 q2的两个正点电荷 某时刻分别以速度 1 v 2 v 1 v 的方向和 2 v 的方向垂直且v1 v2均远小于真空中光速 运动 则电荷为 q2的点电荷该时刻所受磁力的大小为 方 向为 9 一半圆形闭合线圈 半径 R 0 2 m 通过电流 I 5 A 放在均匀磁 场中 磁场的方向与线圈平面平行 如图所示 磁感强度 B 0 5 T 则 线圈所受到磁力矩为 若此线圈受磁力矩的作用从上述 位置转到线圈平面与磁场方向成 30 角的位置 则此过程中磁力矩作功 为 10 如图 匀强磁场B 垂直于纸面向里 局限于半径为 R 的 圆柱形空间区域 磁感强度B 以 dB dt 常量的速率增加 D 点在圆柱形空间内 到轴线距离为 r1 C 点在圆柱形空间外 到 轴线距离为 r2 将一电子 质量为 m 电荷为 e 置于 D 点时电子的加速度大小 D a 置于 C 点时电子的加速度大小 C a 并在图中标明 C a D a 的方向 1 v 2 v a q1 q2 R I B D O r1 C B r2 R 3 二 计算题 每题 10 分 共计 60 分 11 在一较大的无摩擦的平均半径为 R 的水平圆槽内 放有两个小球 质量分别为 m 和 M 两球可在圆槽内自由滑动 现将一不计其长度的 压缩的轻弹簧置于两球之间 如图所示 1 将压缩弹簧释放后 两球 沿相反方向被射出 而弹簧本身仍留在原处不动 问小球将在槽内何处 发生碰撞 2 设压缩弹簧具有弹性势能 E0 问小球射出后 经多少时 间发生碰撞 12 一辆洒水车沿水平公路笔直前进 车与地面之间的摩擦系数为 车载满水时质量为 M0 设洒水车匀速将水喷出 洒出的水相 对于车的速率为 u 单位时间内喷出的水的质量为 m0 当洒水车在 水平牵引力F 的作用下在水平公路上由静止开始行进时 同时开始 向外洒水 设洒水车的牵引力F 为恒力 由动量定理在下面两种情况下计算洒水车的速度 随时间变化的关系式 1 水向与车前进方向垂直的两侧喷出 2 水向车的正后方喷出 13 一半径为 R 的球冠 对球心的张角为 2 如图所示 此球冠面上均匀带 电 电荷面密度为 试求其轴线上与球心 O 相距为 z z R 的 P 点处的电势 设 无限远处为电势零点 并利用电势梯度求该点场强 14 按照经典模型 可假设电子是一个质量均匀分布的球体 电荷均匀分布的球壳 并绕它 的一条直径转动 即自旋 已知电子的自旋动量矩 2 1 S 质量为 m 电荷为 e 电子的 半径为 R 求电子中心处磁感应强度的大小 球体绕中心轴的转动惯量为 5 2 mR2 15 载有稳恒电流 I1的无限长直导线 看成刚体 下用一劲度系数为 k 的轻质弹簧 挂一载有稳恒电流 I2的矩形线圈 设长直导线通电前弹簧长度为 L0 通电后矩 形线圈将向下移动一段距离 求当磁场对线圈作的功满足 A 0I1I2a 2 时 线 圈 弹簧 地球组成的系统的势能变化 忽略感应电流对 I2的影响 16 宇宙飞行器和小行星都绕太阳在同一平面内做圆周运动 飞行器的质量比小行星的质量 小的多 飞行器的速率为 v0 小行星的轨道半径为飞行器轨道半径的 6 倍 有人企图借助飞 行器与小行星的碰撞使飞行器飞出太阳系 于是他便设计了如下方案 I 当飞行器在其圆周 R M m F P z R2 O I2 I1 b a 4 轨道的适当位置时 突然点燃飞行器上的喷气发动机 经过极短时间后立即关闭发动机 以 使飞行器获得所需的速度 沿圆周运动的切线方向离开圆轨道 II 飞行器到达小行星的轨 道时正好位于小行星的前缘 速度的方向和小行星在该处速度的方向相同 正好可被小行星 碰撞 III 小行星与飞行器的碰撞是弹性碰撞 不计燃料的燃烧质量 1 是通过计算证明按上述方案能使飞行器飞出太阳系 2 设在上述方案中 飞行器从发动机取得的能量为 E1 如果不采取上述方案而是令飞 行器在圆轨道上突然点燃喷气发动机 经过极短时间后立即关闭发动机 以使飞行器获得足 够的速度沿圆轨道切线方向离开圆轨道后能直接飞出太阳系 采用这种办法时 飞行器从发 动机取得的能量的最小值用 E2表示 则 E1 E2为多少 参考答案 参考答案 一 填空题 每题 4 分 共计 40 分 1 2v v 0 2m v v 0 2 x x1 U0 3 vvmum 2 2 1 2 2 1 vm 4 F R rR 3 2 f 与 F 方向相反 0 5 沿 y 轴方向 ijL 6 9 42 103 V m 5 10 9 C 7 1 16 1 4 8 12 2 210 4 vv a qq F 方向垂直 2 v 向左 9 0 157 N m 7 85 10 J 5 10 t B m er d d 2 1 t B mr eR d d 2 2 2 方向见图 二 计算题 每题 10 分 共计 60 分 1 解 1 设两小球被射出后的角速度分别为 m和 M 根据角动量守恒有 Mm MRmR 22 m M M m 设在碰撞处 两小球所转过的角度分别为 m M 则有 m M 2 m m t M M t 得 M m M m 由 解得 2 Mm M m 2 Mm m M 2 由机械能守恒定律得 0 22 2 1 2 1 ERMRm Mm 将 式代入上式 有 21 0 MmM mE R M 小球从射出到碰撞经过的时间为 0 2 2 mE MMm Mm mR t M M 12 解 1 分析洒水车受力情况 并建立 x 坐标 如图所示 设 t 时刻洒水车的质量为 tmMtM 00 洒水车的速度为 v t t dt 时刻洒水车的质量为 mtMttMd d 其中 tmmdd 0 洒水车的速 度为vvvd d tt 以地面为参考系 水由车侧面喷出 时 水对地速度的 x 分量即为车速 由动量定理列出 x 方向 的方程 vvvvMmmMtgtMF d d d d vd d 0000 tmMtgtmMF t tg tmM F 0000 d d v v gt tmM M m F 00 0 0 lnv 2 以地面为参考系 水由正后方喷出时 水对地速度的 x 分量为v u 根据动量 定理列出 x 方向的方程 tgtmMFd 00 vvvvMummM d d d mutmMtgtmMFdd d 0000 v D O r1 C B r2 R C a D a F x N f gM 6 tumtmMdd 000 v t tg tmM umF 000 0 0 d d v v gt tmM M m umF 00 0 0 0 lnv 13 解 设坐标系如图 在球冠上任取一面元 dS R2 sin d d 此面元距 P 点的距离为 22 2 sincosRRzr cos2 22 RzRz 面元上的电荷 d q d S 在 P 点产生的电势为 r S U d 4 1 d 0 球冠上的电荷在 P 点产生的电势为 0 022 2 2 0 0cos2 dsin d 4 1 RzRz SR U RxRzRz z R cos2 2 22 0 由于轴对称性 P 点电场强度为 k z U EE z d d k RzRz zR z R cos2 cos 1 2 22 0 2 0 2 14 解 1 设电子自转的角速度为 2 1 JS 2 5 2 mRJ 2 4 5 mR 2 面电荷密度 e 4 R2 把电子看作旋转的均匀带电球壳 则与轴夹角为 的窄环带上的电荷 形成的电流为 TRRTqI dsin2 dd dsin 2 R 此电流在球心处产生的磁场为B d 方向沿转轴 如图 其大小为 cos d 4 d 3 0 R RldI B 20 2 0 sin 2 dsin 4R dI l R dI 3 球心处磁感强度的大小为 3 0 24 5 d Rm e BB 方向与图中B d同 15 解 设弹簧原长为 l0 长直导线通电后 弹簧长度变为 L 矩形线圈质量为 m 则系统 势能的变化为 0 2 00 2 0 2 1 2 1 LLmglLklLkWP mg k L0 l0 P 0 0 z z O y x dS r O dI B d R 7 2 0 2 1 LLkWP A I2 0 01010 0 ln 2 d 2L bLaI ra r I L bLaI ra r I ln 2 d 2 1010 00 210 ln 2LbL LbLaII A 由已知条件 A m0 I1I2a 2 可得 e LbL LbL 00 ebLe bL L 0 0 1 2 0 0 0 12 1 L ebLb bL kWP 16 解 1 设太阳的质量为 M0 飞行器的质量为 m 飞行器绕太阳做圆周的轨道半径为 R 根据所 设计的方案 可知飞行器是从其原来的圆轨道上某处出发 沿着半个椭圆轨道到达小行星轨 道上的 该椭圆既与飞行器原来的圆轨道相切 又与小行星的圆轨道相切 要使飞行器沿此 椭圆轨道运动 应点燃发动机使飞行器的速度在极短时间内 有 v0变为 u0 设飞行器沿椭 圆轨道到达小行星轨道时的速度为 u 因大小为 u0和 u 的这两个速度的方向都与椭圆的长轴 垂直 由角动量守恒定律可得 muRRmu6 0 有能量关系 有 R mM Gmu R mM Gmu 62 1 2 1 020 2 0 有万有引力定律 有 R v m R mM G 2 0 2 0 既 R GM v 0 0 有 三式得 00 7 12v u 0 21 1 vu 设小行星绕太阳运动的速度为 v 小行星的质量为 M 有万有引力定律 R v M R MM G 6 6 2 2 0 的 0 0 6 1 6 v R GM v 8 可以看出uv 由此可见只要选择好飞行器在圆轨道上合适的位置离开圆轨道 使得它到达小行星轨道处 时 小行星的前缘也正好运动到该处 则飞行器就能被小行星撞击 可以把小行星看做静止 飞行器以相对速度 v u 射向小行星 由于小行星的质量比飞行器的质量大的多 碰撞后 飞行器以同样的速率 v u 弹回 即碰撞后飞行器相对小行星的速度大小为 v u 方向与 小行星的速度方向相同 故飞行器相对太阳的速度为 uvuvvu 2 1 将 式代入 01 21 1 3 2 vu 如果飞行器能从小行星的轨道上直接飞出太阳系 它应具有的最小速度为 2 u 则有 0 62 1 0 2 2 R mM Gmu 得 0 0 2 3 1 3 v R GM u 可以看出 20001 3 1 7 1 2 3 1 21 1 3 2 uvvvu 所以飞行器被小行星撞击后具有的速度足以保证它飞出太阳系 2 为使飞行器能进入椭圆轨道