高等数学（二）复习指导－第10章__曲线积分与曲面积分.pdf

高等数学 二 复习指导 第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 第十章 曲线积分与曲面积分 第十章 曲线积分与曲面积分 一 基本要求及重点 难点一 基本要求及重点 难点 1 1 基本要求 1 了解第一类曲线积分 即对弧长的曲线积分 的概念及其物理与几何意义 并掌握 其计算方法 2 了解第二类曲线积分 即对坐标的曲线积分 的概念及物理意义 并掌握其计算方 法 能熟练应用曲线积分计算力场沿曲线所做的功 3 掌握格林公式的条件和结论 熟练掌握利用格林公式把第二类曲线积分化为二重积 分的计算方法 及掌握通过添加辅助曲面利用格林公式改变积分路径的计算方法 4 掌握在单连通区域上第二类曲线积分与路径无关的等价条件及其应用 会求全微分 的原函数 5 了解第一类曲面积分 即对面积的曲线积分 的概念及其物理与几何意义 并掌握 其计算方法 6 掌握高斯公式的条件与结论 并会利用高斯公式计算第二类曲面积分 2 重点及难点 1 重点 a 熟练选择适当的参数方程或坐标系将曲线积分化为定积分 b 熟练掌握用投影法将曲面积分化为二重积分 c 格林公式 熟练使用格林公式计算曲线积分 d 曲线积分与路径无关的概念及条件 e 高斯公式 熟练使用高斯公式计算曲面积分 2 难点 a 两类曲线积分的关系 b 格林公式的灵活使用 条件 结论 辅助曲线的添加 c 高斯公式的灵活使用 条件 结论 辅助曲面的添加 二 内容概述二 内容概述 1 曲线积分的基本概念与性质 1 对弧长的曲线积分 又称第一类曲线积分 定义定义 设 f x y在 xOy 面内的光滑曲线 L上有界 第一类曲线积分为 0 1 lim n iii L i f x y dsfs 见课本 为空间曲线时 类似地有 高等数学学习指导 0 1 lim n iiii i f x y z dsfs 物理意义物理意义 设曲线 L的线密度为 x y 则其质量为 L Mx y ds 性质 1 性质 1 运算性质 LLL f x yg x ydsf x y dsg x y ds LL kf x y dskf x y ds 其中k为常数 性质 2性质 2 对弧长的曲线积分与积分路径的走向无关 即 LL dsyxfdsyxf 性质 3性质 3 对积分路径具有可加性 即 12 k LLLL f x y dsf x y dsf x y dsf x y ds 其中 12k LLLL 2 对坐标的曲线积分 又称第二类曲线积分 定义定义 设 P x y Q x y在xOy面内的有向光滑曲线L上有界 L P x y dxQ x y dy 0 1 lim n iiiiii i PxQy 为空间曲线时 类似地有 P x y z dxQ x y z dyR x y z dz 0 1 lim n iiiiiiiiiiii i PxQyRz 物理意义物理意义 变力变力 FP x y iQ x y j 沿曲线L所作的功功为 L WP x y dxQ x y dy 性质 1性质 1 对坐标的曲线积分与积分路径的方向有关 即 LL dyyxQdxyxPdyyxQdxyxP 性质 2性质 2 对积分路径具有可加性 即 1 LL P x y dxQ x y dyP x y dxQ x y dy 高等数学 二 复习指导 第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 2 k LL P x y dxQ x y dyP x y dxQ x y dy 其中 k LLLL 21 3 两类曲线积分之间的关系 平面曲线L上两类曲线积分有如下关系 L P x y dxQ x y dy cos cos L P x yQ x yds 其中 yxyx 为平面有向曲线L上点 yx处的切线向量的方向角 空间曲线 上两类曲线积分有如下关系 P x y z dxQ x y z dyR x y z dz cos cos cos P x y zQ x y zR x y zds 其中 x y zx y zx y z 为空间有向曲线 上点 x y z处切向量的方向角 2 曲线积分的计算公式 1 对弧长的曲线积分 1 设函数 f x y在平面曲线 t t L xy t 上连续 tt 在区间 上连续 且 22 0tt 则 22 L f x y dsfttttdt 2 设平面曲线L的方程为 bxaxyy 且 xy 在区间 ba 上连续 则 2 1 b La f x y dsf x y xy xdx 3 设函数 zyxf在空间曲线 xtyt tz t 上连 续 ttt 在区间 上连续 且 22 tt 2 0t 则 f x y z ds 222 fttttttdt 注意注意 化对弧长的曲线积分为定积分时 定积分的上限一定比下限大 2 对坐标的曲线积分 1 设函数 yxQyxP在有向曲线L上连续 L的参数方程为 tytx t 即 为有向曲线L的始点对应的参数值 为其终点对应的参数值 且 tt 在以 高等数学学习指导 为端点的区间上连续 22 0tt 则 L P x y dxQ x y dy PtttQttt dt 2 若L是由方程 yx 给出 L的始点的横坐标为a 终点的横坐标为b x 具有 一阶连续导数 则 L P x y dxQ x y dy b a P xxQ xxx dx 3 类似地 对于空间曲线 xtytzt P x y z dxQ x y z dyR x y z dz Ptttt dtQtttt dt Rtttt dt 为有向曲线 的始点对应的参数值 为其终点对应的参数值 3 二元函数的全微分求积 设函数 yxP yxQ在单连通域G内有连续的一阶偏导数 且 x Q y P 则 QdyPdx 在G内为某一函数 yxu的全微分 且有 00 0 xy xy u x yP x y dxQ x y dy 如图 a 或 dxyxPdyyxQyxu x x y y 0 00 如图 b 3 曲线积分的有关定理 定理 1定理 1 格林公式 设闭区域D是由分段光滑的曲线L围成 函数 yxQyxP在 D上具有连续的一阶偏导数 则有 dxdy y P x Q QdyPdx LD OO x 图 a y 00 yxA 0 yxB yxC 图 b x y 00 yxA 0 yxB yxC 高等数学 二 复习指导 第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 其中L是D的取正向的边界曲线 定理 2定理 2 平面上曲线积分与路径无关的条件 设函数 yxP yxQ在单连通域G内 有连续的一阶偏导数 则以下四个条件等价 L PdxQdy 与路径无关 即 L PdxQdy 1 L PdxQdy 其中L 1 L为G内具有相同始点和终点任意曲线 L QdyPdx0 其中L为G内的任意闭曲线 PQ yx 在G内恒成立 PdxQdydu x y 即PdxQdy 在G内为某一函数 u x y的全微分 4 曲面积分的基本概念与性质 1 对面积的曲面积分 又称第一类曲面积分 定义 定义 设 f x y z在光滑曲面 上有界 0 1 lim n iiii i f x y z dSfS 极限存在时 物理意义物理意义 设曲面 的面密度为 x y z 则其质量为 Mx y z dS 性质性质 设曲面 12 1 2 ki ik 都是光滑的 则 12 f x y z dSf x y z dSf x y z dS k f x y z dS 2 对坐标的曲面积分 又称第二类曲面积分 指定了侧的曲面称为有向曲面 有向曲面 定义定义 设 P x y z Q x y z R x y z在有向光滑曲面 上有界 0 1 lim n iiiiyz i P x y z dydzPS 极限存在时 0 1 lim n iiiizx i Q x y z dzdxQS 极限存在时 高等数学学习指导 0 1 lim n iiiixy i R x y z dxdyRS 极限存在时 其中 iii 是任意分割有向曲面 为n片小曲面后 所得到的第i片小曲面 i S 上的任意 一点 ixyiyzizx SSS 分别为 i S 在三个坐标面上的投影 为n片小曲面 i S 1 2 in 的直径中的最大者 曲面 在点 iii 处的单位法向量为cos coscos iii nijk cos cos cos iyziiizxiiixyii SSSSSS 物理意义物理意义 稳定流动的不可压缩的流体 密度1 如果在点 zyx处的流速是 vP x y z iQ x y z jR x y z k 则单位时间内流过曲面 一侧的流量为 PdydzQdzdxRdxdy 性质 1性质 1 设曲面 12 k 则 1 PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy 2 k PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy 性质 2性质 2 设 表示与 取相反侧的有向曲面 则 PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy 3 两类曲面积分之间的关系 空间曲面 上的两类曲面积分有如下关系 coscoscos PdydzQdzdxRdxdyPQRdS 其中cos cos cos 是有向曲面 上点 x y z处的法向量的方向余弦 5 曲面积分的计算公式 1 对面积的曲面积分 设光滑曲面 的方程是 yxzz在坐标面xoy上的投影区域为 xy D 则 高等数学 二 复习指导 第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 f x y z dS 22 1 xy xy D f x y z x yzz dxdy 设光滑曲面 的方程是 zxyy在坐标面xoz上的投影区域为 xz D 则 f x y z dS 22 1 xz xz D f x y x z zyy dxdz 设光滑曲面 的方程是 zyxx在坐标面yoz上的投影区域为 yz D 则 f x y z dS 22 1 yz yz D f x y zy zxx dydz 2 对坐标的曲面积分 设光滑曲面 的方程是 yxzz在坐标面xoy上的投影区域为 xy D 取上 下 侧 则 xy D R x y z dxdyR x y z x y dxdy 其中 取上侧时为正 取下侧时为负 注意注意 当曲面 是母线平行于z轴的柱面0 yxF时 上任意一点的法向量与z轴 的夹角的余弦coscos0 2 则 0R x y z dxdy 设光滑曲面 的方程是 zxyy在坐标面xoz上的投影区域为 xz D 则 Q x y z dzdx xz D Q x y x z z dzdx 取右侧时为正 取左侧为负 设光滑曲面 的方程是 xx y z 在坐标面yoz上的投影区域为 yz D 则 P x y z dydz yz D P x y zy z dydz 取前侧时为正 取后侧为负 6 曲面积分的有关定理 定理 1定理 1 高斯公式 设空间闭区域 是由分片光滑的闭曲面 所围成 函数 zyxRzyxQzyxP在 上具有一阶连续偏导数 则有 高等数学学习指导 dxdydz z R y Q x P RdxdyQdzdxPdydz 或 dxdydz z R y Q x P dSRQP coscoscos 其中 是 的整个边界曲面的外侧 cos cos cos 是 上点 zyx处的法向量的方 向余弦 三 典型例题分析三 典型例题分析 例例 1 计算 22 xy Le ds 其中L为圆周 222 xya 直线xy 及x轴在第一象限内所围 成的扇形的整个边界 分析分析 由于曲线L分段光滑 所以先将L分为若干光滑曲线段之和 再利用曲线积分的可 加性计算曲线积分 解 解 22222222 123 xyxyxyxy LLLL edsedsedseds 1 L的方程为 2 0 2 yxxa 2 1 2dsyx dxdx 22 1 2 2 2 0 2 a xyx L edsedx 2 2 2 0 2 1 a xa edxe 2 L的方程为 cos sin 0 4 xat yatt 2222 sin cos dsxtyt dtatatdtadt 22 2 4 0 4 xyaa L a edsae dte 3 L的方程为 0 0 yxa 2 1 dsyx dxdx 22 3 0 1 a xyxa L edse dxe 所以 22222222 123 xyxyxyxy LLLL edsedsedseds 1122 44 aaaa aa eeee 例例 2 具有连续偏导数的函数 f x y应满足怎样的条件才能使曲线积分 L f x yydxxdy 与积分路径无关 xO y 2 L 1 L 3 La 高等数学 二 复习指导 第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 解 解 设 Qxf x yPyf x y yxyfyxf y P y yxxfyxf x Q x x Q y P x f x y f y 充要条件 例例 3 计算 dyyxdxxyxI 2 422 其中L为由点 0 0 O到点 1 1 A的曲线 xy 2 sin 解解 dyyxdxxyxI 2 422 由 xxyx yy P 2 2 2 知 xyx xx Q 2 42 x Q y P 即 从而此曲线积分与路径无关 取折现 15 23 1 1 0 4 1 0 2 dyydxx故原式 例 4 例 4 确定a值 使曲线积分 AB dyyyxdxxyx aa 56 4 4214 与路径无关 解 解 44 4xyxP 421 56yyxQ a x Q y P xay x Q xay Y P aa 221 1 64 221 1 64 aa xayxay 系数相等 4a 6 a 1 a 3 例 5 例 5 计算 L xx dymyedxmyeI cos 其中L为由点 0 a到点 0 0 的上半圆 周0 22 yaxyx 解解 myemyye yy P xx cos sin yemye xx Q xx cos cos x Q y P 即 如右图 x y o 0 aA M 高等数学学习指导 AMOAAOAOAOL I dxdy y P x Q D AMOA 8 2 a m dxdym D 00 0 0 medx x a AO 8 0 8 22 a m a m I AMOAAO 例例 6 计算 L dyxyx 2 2 其中L是由 0 aA沿 0 1 2 2 2 2 y b y a x 到 0 aB 的曲 线段 解 解 本题方法较多 可在直角坐标系下计算 分为取x为积分变量 取y为积分变量 亦 可利用参数方程tbytaxsin cos 计算 方法一 方法一 取y为积分变量 L需分为两段 2 2 1 b y ax 有 2222 0 222 2222 0 2 1 21 1 21 b Lb yyyy xxy dyaaydyaaydy bbbb b abdy b y ya 0 2 2 2 3 4 14 方法二 方法二 取x为积分变量 L的方程为 dx ya xb dxxydy a x bxy 2 2 2 2 1 始点ax 终点ax 则有 a a a aL dxx a x b x a b dx ya xb zyxdyxyx 2 2 2 3 2 2 2 2 22 2 1 2 2 被积函数中 第一项是关于x的奇函数 第二项是关于x的偶函数 于是 2 0 2 2 2 2 3 44 2 abdxx a b dyxyx a L 在方法二中 dx ya xb dxxydy 2 2 这里0 y是无穷间断点 由于原曲线积分 存在 可知此广义积分收敛 故能算出结果 这种把曲线积分化成广义积分的情形常会发生 方法三 方法三 利用积分曲线的方程化简被积表达式的方法求解 作法如下 高等数学 二 复习指导 第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 由于1 2 2 2 2 b y a x 故 1 2 2 22 b y ax xdx a b ydy 2 2 于是 0 1 0 2 2 2 2 2 22 a LL dy b y ady b y aadyx 22 2 2 2 2 3 42 22abdxx a b dxx a b xxydy a aLL 所以 22 3 4 2 abdyxyx L 方法四 方法四 将曲线L用参数方程 tby tax sin cos 表示 则有 2 0 222 3 4 cos cossin2cos 2 abtdtbttabtadyxyx L 方法五 方法五 利用格林公式计算 注注 用不同方法计算曲线积分 既可以比较不同方法的繁简 也有利于理解曲线积分的概念 和训练计算技巧 例例 7 证明曲线积分 3 4 2322 1 2 6 63 xyy dxx yxydy 在整个坐标面xoy上与路径 无关 并计算积分值 解 解 2322 6 63Pxyy Qx yxy 因为 2 123 PQ xyy yx 且QP 在坐标面xoy上有一阶连续偏导数 故曲线积分与路径无关 3 4 2322 1 2 6 63 xyy dxx yxydy 23222322 6 63 6 63 ABBC xyy dxx yxy dyxyy dxx yxy dy 3 4 2322 1 2 622 6 33 3 xdxyy dy 80 156236 例例 8 设 2232 38 812 y dux yxydxxx yyedy 求 u x y 解解 设 2232 38 812 y Px yxy Qxx yye x y O 2 1 A 2 3 B 4 3 C 高等数学学习指导 由 2 316 PQ xxy yx 所以 2232 1 0 0 38 812 x y y u x yx yxy dxxx yyedyC 32 1 0 0 0 812 xy y dxxx yyedyC 322 1 412 1 12 y x yx yeyC CC 注意注意 利用上述方法求函数 yxu时 选择的起点不同求出的 yxu可能相差一个常数 例 9 例 9 计算曲面积分 4 2 3 zxy dS 其中 为平面1 234 xyz 在第一卦限的部分 解解 设 4 1 23 xy z 0 0 1 23 xy xy 在坐标面xoy上的投影区域 xy D为 1 0 0 23 xy xy 由于 2 222 4 11 2 3 xy zz 61 3 4 244 3234 xyz zxyx y z 所以 44 61 244 61 33 xy D zxy dSdSdxdy 例 10 例 10 设 为椭球面 22 2 1 22 xy z 的上半部分 点 P x y z 为 在点P处的 切平面 x y z 为点 0 0 0 O到平面 的距离 试求 z dS x y z 解解 设 ZYX为 上任意一点 22 2 1 22 xy Fz 则 2 xyz FxFyFz 在点P处的切平面 的方程为 2 0 x Xxy Yyz Zz 即 1 22 xXyY zZ 2222 2 2 000 1 122 44 22 xy z x y z xy xy z z x y z 0 2 3 4 高等数学 二 复习指导 第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 在坐标面xOy上的投影区域记为 22 2 xy Dxy 由 22 1 22 xy z 则 2222 2 12 1 2222 xy xy zz xyxy 22 22 22 4 1 4 1 22 xy xy zz xy 所以 z dS x y z 222222 22 4 11 224 4 1 22 xy D xyxyxy dxdy xy 22 1 4 4 xy D xy dxdy 2 2 2 0 0 13 4 42 drrdr 例 11例 11 计算 zdxdyydzdxxdydzI 其中 为曲面 22 yxz 在第一象部分 10 z 的上侧 解 方法一 解 方法一 投影法 直接计算 设 yz D zx D xy D分别表示 在yOz平面 zOx平面 xOy平面的投影 相应 把 的方程分别是 2 yzx 2 xzy 22 yxz 则 zdxdyydzdxxdydzI yz D dydzyz 2 zx D dxdzxz 2 xy D dxdyyx 22 1 0 2 2 0 1 2 1 0 1 0 2 1 0 2 rdrrddzxzdxdzyzdy x 8 方法二 方法二 高斯公式 此时要补上三个平面块0 1 y 0 2 x 1 3 z 与曲面块 构成封闭 曲面 所围成的空间区域记为 注意到 取内侧 因此 123 I xy D dxdydxdydz003 2 0 1 0 1 2 3 r Dxy dxdydzrdrd 84 1 2 3 1 0 2 drrr 方法三 方法三 化为第一类曲面积分 曲面块 方程 22 yxz 得xzx2 yzy2 从而 高等数学学习指导 22 441 2 cos yx x 22 441 2 cos yx y 22 441 1 cos yx r dxdyyxds 22 441 dszyxI cos cos cos xy D dxdyyxyxyx 1 2 2 22 xyxy DD dxdyyxdxdyyxyx 22 222222 8 2 0 1 0 2 rdrrd 例 12 例 12 计算 2 1 222 2 zyx dxdyazaxdydz I 其中 222 yxaz 上侧0 a 解 解 dxdyazaxdydz a I 2 1 补有向曲面 1 222 0zxya 取下侧 则 222 11 222 ayx dxdyadxdyazdxdyazaxdydz 4 a 所以 4 23 11 11 adxdydzza aa I 0 43 2222 2 3 4 2 1 3 1 a zayx adxdyzdzaa a 0 4224 1 2 a az azdza a 3 2 a 四 自测题及解答四 自测题及解答 一 选择题 一 选择题 1 设 L 是起点为 A 1 1 终点为 B 2 2 的任意不通过原点的路径 则 L yx ydyxdx 22 为 A ln2 B 0 C 2 D ln2 2 设函数 P x y Q x y在单连通域D上具有一阶连续偏导数 则曲线积分 C QdyPdx在D域内与路径无关的充要条件是 高等数学 二 复习指导 第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 A y P x Q B x P y Q C x P y Q D y P x Q 3 记以点 A 1 0 B 0 1 C 1 0 D 0 1 为顶点的正方形为 ABCDA 则 ABCDA yx dydx 为 A ln2 B 2 C 0 D 1 4 设 L1 2 2 2 2 b y a x 则曲线积分 L yx xdyydx 22 A 与L的取向无关 与 a b的值有关 B 与L的取向无关 与 a b的值无关 C 与L的取向有关 与 a b的值有关 D 与L的取向有关 与 a b的值有关 5 设 2222 0 xyzaz 1 为 在第一卦限的部分 则有 1 A 4 xdSxdS 1 B 4 ydSxdS 1 C 4 zdSxdS 1 D 4xyzdSxyzdS 二 二 填空题填空题 1 设 L 为取正向的圆周9 22 yx 则 L dyxxdxyxy 4 22 2 2 设C为 逆 时 针 方 向 的 闭 曲 线 其 方 程 为 1 1 22 yx 则 C dyxyydxyx 2 222 3 设 L 为曲线 32 tztytx 依参数 t 增加的方向 10 t上的一段弧 则 L dzxydydxzy 222 2 4 设 C 为闭域 D 的正向边界闭曲线 则 c x dyyxdxye sin 2 2 可通过 A 表示为 A 为 D 面积 5 cos cos cos 是光滑闭曲面 的外法向量的方向余弦 又 所围的空间闭区域为 设函数 P x y z Q x y z和 R x y z在 上具有二阶连续偏导数 则由高斯公式 有 ds y P x Q x R z P z Q y R cos cos cos 三 计算题 高等数学学习指导 1 I L dszyx 其中 L 11 3 2 32 ttztytx 2 I 4 2 22 xydydxyx L 其中 L 是从 A 0 1 沿曲线 x x y sin 到 0 B 3 证明 2 2 222 yxdudyyxyxdxyxy 并求 u x y 4 求质点 M x y受作用力 3 2 Fyx iyx j 沿路径 L 顺时针方向运动一周所作 的功 其中 L 为椭圆44 22 yx 5 计算 22 L xy ds 其中L为圆周 22 xyax 0 a 6 设 L是 沿 动 圆 周 222 tyx 的 逆 时 针 方 向 计 算 含 曲 线 积 分 的 极 限 L dynymxdxbyax t t 1 2lim 其中 a b m n为常数 7 计算xdydzydzdxzdxdy 其中 是上半球面 22 1zxy 的上侧 自测题参考答案自测题参考答案 一 1 A 分析 积分与路径无关 2 D 3 C 4 D 分析 因 22 yx y P Q 22 yx x 且 222 22 yx xy x Q y P 故在 L 为边界的区域 D 内 有偏导数不存在的点 0 0 可取 C 为不过原点但含于 L 内部并与 L 同向的曲线 在 L 与 C 所围区域 1 D应用格林公式 D CL QdyPdxdxdy y P x Q 当 CL为 1 D正向闭曲线时 取 号 否则 取 号 因 1 D上 y P x Q 从而0 1 dxdy y P x Q D 即 L yx xdyydx 22 C yx xdyydx 22 此积分与 C 的方向也即 L 的方向有关 但与 a b 无关 5 C 二 1 18 分析 由于 xxQYXYP4 22 2 故应用格林公式 高等数学 二 复习指导 第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 L dyxxdxyxy 4 22 2 DD ddxdy y P x Q 182 2 0 分析分析 设 C 所围成的区域为 D 由于 xyyQyxP2 222 所以在 D 上 x Q y y P 2 故应用格林公式 C dyxyydxyx 2 222 0 dxdy y P x Q D 3 35 1 4 2A 分析 因1 1 sin 2 2 x Q y P yxQyeP x 由格林公式 原式 DD Adxdydxdy y P x Q 22 5 dxdydz x P 三 1 解 dttdtttdt dt dz dt dy dt dx ds 21 441 242 222 L dtttttdszyx 1 1 232 15 22 5 2 3 1 2 21 3 2 2 解 xyQyxP4 2 22 在 x