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线段和最小值问题问题模型：如下图，、是直线同旁的两个定点问题：在直线上确定一点，使的值最小方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小（不必证明）题型一：两定一动一线例1：如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是_方法总结：当有两个定点时，做任一定点关于线的对称点，连接另一点和对称点，和线的交点即为所求。跟踪练习：如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则BEQ周长的最小值为_ 题型二：一定两动一线例2：如图 ，在矩形ABCD中 ，AB=10 , BC=5 若点M、N分别是线段ACAB上的两个动点 ， 则BM+MN的最小值为_方法总结：点P在AD上运动，则作线段AD关于线AE的对称线段，结合垂线段最短求最小值。跟踪练习如图，正方形ABCD的边长为4，DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是_拓展提升题型三：三动一线（做法参照题型二）例3：如图，菱形ABCD中，AB=2，BAD=60，E、F、P分别是AB、BC、AC上的动点，PE+PF的最小值等于_题型四：一定两动两线例4：如图，AOB=45，角内有一动点P ，PO=10，在AO，BO上有两动点Q，R，求PQR周长的最小值_方法总结：分别作定点关于两线的对称点，连接两对称点所得线段即为线段和的最小值。题型五：两定两动两线例5：如图，AOB30，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MPPQQN的最小值是_. 方法总结：分别作两定点关于两线的对称点，连接两对称点所得线段即为线段和的最小值。随堂练习：1.如图，正方形ABCD的边长为7，点E、F分别在AB、BC上，AE=3，CF=1，P是对角线AC上的个动点，则PE+PF的最小值是_2.如图，等边ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，EM+CM的最小值为_3.如图所示，正方形ABCD的面积为12，是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使的和最小，则PD+PE这个最小值为_4.如图，在RtABC中，ACB=90，AC=6，BC=8，AD是BAC的平分线若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是_5.如图，五边形ABCDE中，BAE=120，B=E=90
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