高中数学第1章导数及其应用1.5.3微积分基本定理学案苏教版选修2_2.doc

1.5.3微积分基本定理学习目标1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分知识点一微积分基本定理(牛顿莱布尼茨公式)思考1已知函数f(x)2x1，F(x)x2x，则(2x1)dx与F(1)F(0)有什么关系？思考2对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使得F(x)f(x)?1微积分基本定理对于被积函数f(x)，如果F(x)f(x)，那么f(x)dx ，即F(x)dx2常见的原函数与被积函数关系(1)CdxCx|(C为常数)(2)xndx(n1)(3)sin xdxcos x|.(4)cos xdxsin x|.(5)dxln |x|(ba0)(6)exdxex|.(7)axdx(a0且a1)(8)dx(ba0)知识点二定积分和曲边梯形面积的关系思考定积分与曲边梯形的面积一定相等吗？设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S下，则(1)当曲边梯形在x轴上方时，如图，则f(x)dx (2)当曲边梯形在x轴下方时，如图，则f(x)dx(3)当曲边梯形在x轴上方、x轴下方均存在时，如图，则f(x)dx 特别地，若S上S下，则f(x)dx .类型一定积分的求法例1(1)定积分(2xex)dx的值为_(2)|1x2|dx_.(3)cos xdx_.反思与感悟(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)被积函数会有绝对值号，可先求函数的零点，结合积分区间、分段求解跟踪训练1(1)计算定积分(x2sin x)dx_.(2)已知f(x)求f(x)dx.类型二利用定积分求参数例2(1)已知2(kx1)dx4，则实数k的取值范围为_(2)设函数f(x)ax2c(a0)若f(x)dxf(x0)，0x01，则x0的值为_反思与感悟(1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念跟踪训练2(1)已知x(0,1，f(x)(12x2t)dt，则f(x)的值域是_(2)已知(3ax1)(xb)dx0，a，bR，试求ab的取值范围类型三利用微积分基本定理求面积例3求由曲线y，y2x，yx所围成图形的面积反思与感悟两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x运算较繁琐，则积分变量可选y，同时要更换积分上、下限跟踪训练3(1)如图，阴影部分由曲线y，y2x与直线x2，y0所围成，则其面积为_(2)求由曲线yx2，直线y2x和yx围成的图形的面积1若(2x)dx3ln 2，则a_.2(x2x)dx_.3已知f(x)ax2bxc(a0)，且f(1)2，f(0)0，f(x)dx2.求a，b，c的值4已知f(x)计算f(x)dx.5求由曲线y，直线yx2及y轴所围成的图形的面积1求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分2由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数提醒：完成作业1.5.3答案精析问题导学知识点一思考1由定积分的几何意义知，(2x1)dx(13)12，F(1)F(0)2，故(2x1)dxF(1)F(0)思考2不唯一，根据导数的性质，若F(x)f(x)，则对任意实数C，都有F(x)CF(x)Cf(x)1F(b)F(a)F(b)F(a)知识点二思考当被积函数f(x)0恒成立时，定积分与曲边梯形的面积相等，若被积函数f(x)0不恒成立，则不相等(1)S上(2)S下(3)S上S下0题型探究例1(1)e(2)2(3)4ln 2sin 2sin 1解析(1)(2xex)dx(x2ex)|(1e)1e.(2)|1x2|1x2|dx(1x2)dx(x21)dx12.(3)cos xdx(2x1cos x)dx(x2xln xsin x)|6ln 2sin 2(2sin 1)4ln 2sin 2sin 1.跟踪训练1(1)(2)解f(x)dx(12x)dxx2dx(xx2)|2.例2(1)，2(2)解析(1)(kx1)dxk1.由2k14得k2.(2)f(x)dx(ax2c)dxc.f(x0)axc，ax，即x0或.0x01，x0.跟踪训练2(1)0,2)(2)解(3ax1)(xb)dx3ax2(3ab1)xbdxa(3ab1)b0，即3ab2(ab)10.由于(ab)2a2b22ab4ab，所以()24ab，即9(ab)210ab10，得(ab1)(9ab1)0，解得ab或ab1.所以ab的取值范围是(，1，)例3解画出图形，如图所示解方程组及得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，1)，所以S(x)dx(2x)(x)dx(x)dx(2xx)dx(xx2)|(2xx2x2)|(2xx2)|692.跟踪训练3(1)ln 2(2)解由题意，三条曲线围成的面积如图阴影所示由和解出O，A，B三点的横坐标分别是0,1,2.故所求的面积S(2xx)dx(2xx2)dx0(4)(1).达标检测122.3解f(1)2，abc2，f(x)2axb，f(0)b0，f(x)dx(ax2c)dxac2，由可得a6，b0，c4.4解f(x)dxf(x)dxf(x)dx (4x2)dx cos xdx，取F1(x)2x22x，则F1(x