大学概率论随机事件与概率.ppt

随机事件与概率 随机事件及其运算 随机事件的概率 条件概率与事件的独立性 第一章 确定性现象与不确定性现象 随机现象的统计规律性 不确定性现象 随机现象 确定性现象 每天早晨太阳从东方升起 水在标准大气压下加温到100oC沸腾 掷一枚硬币 正面朝上 反面朝上 一天内进入某超市的顾客数 随机现象在相同条件下进行大量观察或试验时出现的结果的规律性 前 言 概率论是一门研究客观世界随机现象统计 规律的数学分支学科 数理统计学是一门研究怎样去有效地收集 整理和分析带有随机性的数据 以对所考察的 问题作出推断或预测 直至为采取一定的决策 和行动提供依据和建议的数学分支学科 的数学分支学科 并无从属关系 学是概率论的一种应用 但是它们是两个并列 概率论是数理统计学的基础 数理统计 本学科的应用 概率统计理论与方法的应用几乎遍及 所有科学技术领域 工农业生产和国民经 济的各个部门中 例如 1 气象 水文 地震预报 人口控制 及预测都与 概率论 紧密相关 2 产品的抽样验收 新研制的药品能 否在临床中应用 均要用到 假设检验 6 探讨太阳黑子的变化规律时 时间 可夫过程 来描述 7 研究化学反应的时变率 要以 马尔 序列分析 方法非常有用 4 电子系统的设计 火箭卫星的研制及其 发射都离不开 可靠性估计 3 寻求最佳生产方案要进行 实验设计 和 数据处理 5 处理通信问题 需要研究 信息论 水库调度 购物排队 红绿灯转换等 都 可用一类概率模型来描述 其涉及到的知 目前 概率统计理论进入其他自然科学 装卸 机器维修 病人候诊 存货控制 8 许多服务系统 如电话通信 船舶 识就是 排队论 领域的趋势还在不断发展 在社会科学领 领域 特别是经济学中研究最优决策和经 济的稳定增长等问题 都大量采用 概率 统计方法 生活中最重要的问题 其中绝大多数在 实质上只是概率的问题 英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾 对概率论大加赞美 概率论是生活真正 的领路人 如果没有对概率的某种估计 那 么我们就寸步难行 无所作为 法国数学家拉普拉斯 Laplace 说对了 概率统计应用广泛 发展迅速 不仅高 等学校各专业都开设了该课程 而且在上 世纪末 此课程特意被教育部定为本科生 考研的数学课程之一 概率统计的思想 看待万事万物的一 种方法 通过比较概率的大小做决定 统计规律 统计决策 第一章 随机事件及其运算 第一节 一 基本概念 二 事件之间的关系 三 事件之间的运算 四 事件的运算律 1 加法原理 2 乘法原理 如果完成某件事有m种途径 而每种途 径有 种不同的方法 那么完成该件事共 种不同的方法 有 如果完成某件事须经过m个步骤 而完 成每个步骤分别有 种不同的方法 那么完成该件事共 有 种不同的方法 3 重复排列 从n个不同的元素中任意取出r个元素 1 r n 按照一定顺序允许重复出现排成一列 称为 从n个元素取出r个元素的重复排列 排列总数为 预备知识 4 选排列 预备知识 从n个不同的元素中任取出r个 1 r n 元素按照一定顺序不重复地排成一列 称为从n个元素 中取出r个元素的选排列 记为 且有 5 全排列 r n的选排列称为全排列 记为 且有 6 组合 从n个不同的元素中任意取出r个 0 r n 元素组成一组 不考虑次序 称为从n个元素中取出r个 元素的一个组合 记为 且有 1 随机试验 E 可在相同条件下重复进行 试验的所有可能结果明确可知 且不止一个 每一次试验的结果是不可预言的 由随机试验的一切可能结果组成的一个集合 其每个元素称为样本点 2 样本空间 对随机现象进行观察或试验 一 基本概念 E1 将一枚硬币连抛两次 考虑正反面出现的情况 E2 掷一颗均匀骰子 考虑可能出现的点数 记录某网站一分钟内受到的点击次数 E3 例1 记录他的身高 m 和体重 kg E4 任选一人 写出下列试验的样本空间 注 样本空间是一个集合 对于一个随机试验而言 样本空间并不唯一 例如 掷两枚均匀的骰子一次 若试验目的是观察出现的点数和 若实验的目的是观察所有 可能出现的结果 4 事件的发生 5 必然事件与不可能事件 事件 集合 3 随机事件 样本空间 的某个子集 例如 在掷骰子试验中 事件A 出现偶数点 基本事件 复合事件 由一个样本点构成的集合 由多个样本点构成的集合 发生 所包含的某一个样本点出现 二 事件之间的关系 2 事件的相等 1 事件的包含 3 事件的互斥 互不相容 A与B不能同时发生 注 基本事件之间是互斥的 与任何事件互斥 A发生必然导致B发生 与B互斥 即 则称A 则称A包含于B 三 事件的运算 1 和 并 或 2 积 交 且 注 和 积运算可推广到有限个和可列无穷多个的情形 A B中至少有一个发生的事件 A B同时发生的事件 4 逆 对立事件 称A与B互逆 注 事件互斥与互逆的区别 且 注 3 差 A发生而B不发生的事件 则 称为A与B的差 四 事件的运算律 3 对偶律 积的逆 逆的和 和的逆 逆的积 2 分配律 1 交换律 结合律 略 例2 用A B C的运算关系表示下列各事件 三个事件中至少一个发生 没有一个事件发生 由对偶律 恰有一个事件发生 至多有两个事件发生 考虑其对立事件 至少有两个事件发生 不能从字面上理解事件的对立 注 第一章 随机事件的概率 第二节 一 概率的统计定义 二 古典概率 三 几何概率 四 概率的性质 引言 概率就是随机事件发生的可能性大小的数量表征 通常用P A 来表示事件A发生的可能性大小 一 概率的统计定义 1 频率 定义1 在相同的条件下重复进行了N次试验 若A发生 了次 则称为A在N次试验中出现的频率 独立重复地做N次试验 2 概率的统计定义 定义2 发生的频率稳定地在某一数值p附近摆动 生的概率 当N很大时 若事件A 则称p为A发 注 概率是确定的 而频率与试验次数有关 高尔顿板 二 古典概率 有限性 等可能性 1 古典型随机试验 2 古典概率的定义 若事件中含有个样本点 则称为发生的概率 定义3 设古典型试验的样本空间为 记为 例1 从编号为 的10个同样的球中任取一个 解 由题意知 问题归结为古典概率的计算 包含的样本点个数 A包含的样本点个数 则 B包含的样本点个数 则 B 抽到奇数号球 的概率 A 抽到2号球 求 例2 掷两枚均匀的骰子一次 求出现点数和为8的概率 解 包含的样本点个数 设A 出现点数和为8 则 A包含的样本点个数 思考 能否取 为什么 不能 因为基本事件不是等可能的 解 设A 恰有一双配对 则 或 求 至少有一双配对的概率 例3 2 设B 至少有两只鞋子配成一双 则 其中恰有一双配对的概率 从6双不同的鞋子中任取4只 不能 因为取到两双部分重复了一次 某一次取法 第3双 第4双 另一次取法 第4双 第3双 B包含的样本点个数应为 思考 B包含的样本点个数能否为 为什么 比如 2 古典概率的性质 非负性 对任意A 规范性 可加性 若A和B互斥 则 重复 三 几何概率 无限性 等可能性 1 几何型随机试验 2 几何概率的定义 在几何型随机试验中 定义事件A发生的概率为 例4 如果在一个5万平方公里的海域里有表面积达40平 方公里的大陆架贮藏着石油 若在海域里随意选取一点 钻探 解 由题意知 设A 钻到石油 则 问钻到石油的概率是多少 问题归结为几何概率的计算 则会面的充要条件 这是一几何概率问题 7点设为零时刻 所求概率 点为图中阴影部分 可能的结果全体是边长为60的正方形里的点 例5 会面问题 两人相约7点到8点在 先到者等候另一人20分钟后就 试求这两人能会面的概率 解 以分别表示两人到达时刻 能会面的 可离去 某地会面 四 概率的性质 1 有限可加性 即 则有 3 单调性 2 事件差 A B是两个事件 4 加法公式 对任意两事件 有 5 互补性 6 可分性 对任意两事件 有 注 故 例6 1 取到的数能被2或3整除的概率 2 取到的数即不能被2也不能被3整除的概率 3 取到的数能被2整除而不能被3整除的概率 B 能被3整除 解 设A 取到的数能被2整除 则 求 在1 10这10个自然数中任取一数 例7 个数字之积能被10整除的概率 从1 9九个数字中有放回的取出n个数字 求这n 解 设A 取出的这n个数字中含有数字5 B 取出的这n个数字中含有偶数字 则 第一章 条件概率与事件的独立性 第三节 一 条件概率 二 乘法公式 三 全概率公式及贝叶斯公式 四 事件的相互独立性 某事件的发生对另一事件的发生是否产生影响 则 A 家中至少有一个女孩 B 家中至少有一个男孩 从而 引言 已知某家庭中有两个孩子 引例 1 定义 且 称 为在B发生的条件下A发生的条件概率 注 对于事件A B 一 条件概率 2 性质 例1 第二次抽到次品的概率 设10件产品中有3件次品 现无放回的抽取2件 在第一次抽到次品的条件下 解 则 第i次抽到次品 注 区分条件概率与两事件同时发生概率的不同 求 二 乘法公式 设 若 则 若 则 一般地 设 若 则 设口袋中有a只白球 b只黑球 第二次取出的是白球的概率 解 第i次取到白球 i 1 2 验证抓阄的科学性 例2 无放回取球 求 类似地 盒子里有n个球 问第i个人取到黑球的概率 解 第i个人摸到黑球 i 1 2 n 摸奖问题 例3 n个人 其中n 1个白球 1个黑球 依次取一个球 不放回 摸到大奖的概率几乎为0 三 全概率公式和贝叶斯公式 完备事件组 1 完备事件组 若满足 则称为的一个分割 或称为的一个 2 全概率公式 且 有 称为全概率公式 则对 例4 设某工厂有三个车间 生产同一种产品 解 设B表示取到得产品为次品 表示取到第i个车间的产品 一 二 三 次品率 0 05 0 03 0 01 产量 2500 2000 1500 混合后从中任取一件 求该产品为次品的概率 3 贝叶斯公式 称为贝叶斯公式 或逆全概率公式 且 有 则对 若 个分割 例5 临床上统计患非典的可能性分别为 仅发热 仅干咳 既发热又干咳 无上述现象 现对某疫区25000人检查发现 仅发热 500人 仅干咳 1000人 既发热又干咳 250人 疫区中任取一人 他为 非典 患者的概率 非典 患者中临床表现为 仅发热 病人的概率 检验 非典 求 C 既发热又干咳的病人 D 无明显症状的人 E 得了 非典 由全概率公式得 由贝叶斯公式得 解 设 A 仅发热的病人 B 仅干咳的病人 已知 例6 商店论箱出售玻璃杯 每箱20只 其中每箱含有 0 1 2只次品的概率分别为0 8 0 1 0 1 某顾客选中一箱 从中任选4只检查 结果都是好的 便买下了这一箱 问这一箱含有一个次品的概率是多少 解 设A 从一箱中任取4只检查 结果都是好的 分别表示事件每箱含0 1 2只次品 由贝叶斯公式 全概率公式与贝叶斯公式说明 结果 则 第i种原因发生的概率 导致该结果出 现的可能性大小 它是由某原因引起的可能 性大小 全概率公式 综合引起结果的各种原因 贝叶斯公式 当结果出现时 四 事件的相互独立性 1 两事件独立 定义1 两个事件满足 若 则称事件A与B相互独立 注 事件的独立与事件的互斥的区别 判别独立的方法 定义验证 对实际问题 由经验验证 无联系 例2 从一付52张 去掉王 的扑克牌中任意抽取一张 令 A 抽出一张K 问A与B是否独立 例1 求出现双6点的概率 解 B 抽出一张黑桃 解 是相互独立的 掷两枚均匀的骰子一次 加上大小王如何 定理1 相互独立 若事件A与B独立 则 也相互 证 与 独立 例3 设A 甲中 B 乙中 C 目标被击中 0 92 求在一次射击中目标被击中的概率 其命中率分别 0 8 0 6 0 8 0 6 用对立事件公式 两射手同时向同一目标射击一次 为0 8和0 6 解 解法1 解法2 2 多个事件的独立 定义2 若在此基础上还满足 注 两两独立 相互独立 例如 有4张同样大小的卡片 抽到的概率相同 1 2 3 2 1 3 则 上面标有数字 每张被 两两独立 但 即三个事件不相互独立 1 2 3 2 1 3 一般地 若以下等式成立 则 3 事件独立性的应用 1 加法公式的简化 2 在可靠性理论上的应用 解 设 第i支步枪击中飞机 例4 用步枪射击飞机 每支步枪的命中率为0 004 求 现用250支步枪同时射击飞机一次 飞机被击中 的概率 假如想以99 的概率击中飞机 至少需要多少支步枪同时射击 由 例5 如图 1 2 3 4 5表示继电器触点 每个触点闭合的概率为p 求L至R是通路的概率 且各继电器接点闭合与否相 设A L至R为通路 解 假设 互独立 Ai 第i个继电器通 i 1 5 从而有 易知 由全概率公式 内