2010高考数学复习专题：函数的最值.doc

函数的最值（值域）高考要求 掌握求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；掌握二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法最值问题，几乎涉及到高中数学的各个分支，是历年高考重点考查的知识点之一，有一些基础题，也有一些小综合的中档题，更有一些以难题形式出现它经常与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系所以其解法灵活，综合性强，能力要求高解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法考生的运算能力，分析问题和解决问题能力在这里充分展现因此我们应注意总结最大、最小值问题的解题方法与技巧，以提高高考应变能力因函数的最大、最小值求出来了，值域也就知道了反之，若求出的函数的值域为非开区间，函数的最大或最小值也等于求出来了重难点归纳 (1)求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法 配方法、分离变量法、单调性法、导数法数形结合法（图像法）导数法数形结合法、判别式法、部分分式、均值不等式、换元法、不等式法等 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域 (2)函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目 此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强 (3)运用函数的值域解决实际问题此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力 知识点归纳一、相关概念1、值域：函数，我们把函数值的集合称为函数的值域。2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。记作最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最小值。记作注意：函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0I，使得f(x0) = M； 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有f(x)M（f(x)M）。二、 确定函数值域的原则1、当函数用表格给出时，函数的值域指表格中实数y的集合；x0123y=f(x)1234则值域为1，2，3，42、数的图像给出时，函数的值域是指图像在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；3、数用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；4、由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义决定。三、基本函数的值域1、一次函数的定义域为R，值域为R； 2、二次函数的定义域为R，；当 3、反比例函数的定义域为x|x0，值域为；4、数函数的值域为；5、对数函数的值域为R；6、函数y=sinx、y=cosx的值域是 ；7、函数,的值域为R。四、求函数值域的方法函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。常用方法：（1）观察法(用非负数的性质，如：；等)例如：求下列函数的值域：y=-3x2+2;y|y2变式：y=5+2(x-1).y|y5最值问题，几乎涉及到高中数学的各个分支，是历年高考重点考查的知识点之一，有一些基础题，也有一些小综合的中档题，更有一些以难题形式出现它经常与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系所以其解法灵活，综合性强，能力要求高解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法考生的运算能力，分析问题和解决问题能力在这里充分展现函数y=ax+1 (a0，1x1)的值域是_.（2）直接法：利用常见函数的值域来求，（3）配方法：(二次或四次) 转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为含有自变量的平方式与常数的和，型如：的形式，然后根据变量的取值范围确定函数的最值；例如：求值域：y=，；x； ；变式1：yx4x1 x-1,3)；变式2：求函数y=的值域.变式3：当时，函数在时取得最大值，则的取值范围是_（答：）；（4）换元法（代数换元法）通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题，化归思想；例如：求函数的值域. 变式1：求函数y=3x-的值域.y|y变式2：的值域为_（答：）（令，。运用换元法时，要特别要注意新元的范围）；变式3：的值域为_（答：）；变式4：函数的值域为_变式5：的值域为_（答：）；变式6：的值域为_（答：）；变式7：求函数的值域（5）分离常数法（分式转化法）；对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域 （6）逆求法（反求法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：例如：求下列函数的值域：y=(y|y)变式：函数y=的值域是（ ）A.1，1 B.（1，1 C.1，1） D.（1，1）解法一：y=1. 1+x21，02.1y1.解法二：由y=，得x2=.x20，0，解得1y1.解法三：令x=tan（），则y=cos2.2，1cos21，即1y1.答案：B求函数的值域求函数的值域（7）利用判别式法（将函数转化为二次方程）；若函数y=f（x）可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a（y）x2+ b（y）x+c（y）=0，则在a（y）0时，由于x、y为实数，故必须有=b2（y）4a（y）c（y）0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x值.例5求函数y =的最值-变式：；1,5（8）三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；求函数，的值域（答： 、（0,1）、）；（9）基本不等式法：转化成型如：，利用基本不等式公式来求值域；设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是_.（答：）。求函数的值域求函数的最小值（10）单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域 如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；求，的值域为_（答：、）；函数f(x)=的值域【】函数的值域【】（11）数形结合：根据函数图象或函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域 已知点在圆上，求及的取值范围（答：、）；求函数y =+ 的值域.求函数的值域（12）导数法求函数，的最小值。（答：48）典例剖析题型一：函数值域问题例1、求下列函数的值域 y=3x+2(-1x1) 解：-1x1，-33x3，-13x+25，即-1y5，值域是-1，5 即函数的值域是 y| y2 即函数的值域是 y| yR且y1（此法亦称分离常数法）当x0，=，当x0恒成立，试求实数a的取值范围 思路分析 解法一运用转化思想把f(x)0转化为关于x的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得 (1)解 当a=时，f(x)=x+2f(x)在区间1，+上为增函数，f(x)在区间1，+上的最小值为f(1)= (2)解法一 在区间1，+上，f(x)= 0恒成立x2+2x+a0恒成立 设y=x2+2x+a,x1,+，y=x2+2x+a=(x+1)2+a1递增，当x=1时，ymin=3+a,当且仅当ymin=3+a0时，函数f(x)0恒成立，故a3 解法二 f(x)=x+2,x1,+当a0时，函数f(x)的值恒为正；当a0时，函数f(x)0恒成立，故a3 点评 本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及运算能力 解题的关健是把求a的取值范围的问题转化为函数的最值问题.通过求f(x)的最值问题来求a的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想 例3（2008江苏理，20）已知函数，（为常数）函数定义为：对每个给定的实数，（1）求对所有实数成立的充分必要条件（用表示）；（2）设是两个实数，满足，且若，求证：函数在区间上的单调增区间的长度之和为（闭区间的长度定义为）解：（1）由的定义可知，（对所有实数）等价于（对所有实数）这又等价于，即对所有实数均成立. （*）由于的最大值为，故（*）等价于，即，这就是所求的充分必要条件（2）分两种情形讨论（i）当时，由（1）知（对所有实数）Oyx(a,f(a)(b,f(b)图1则由及易知， 再由的单调性可知，函数在区间上的单调增区间的长度为（参见示意图1）（ii）时，不妨设，则，于是 当时，有，从而；当时，有从而 ；当时，及，由方程Oyx(a,f(a)(b,f(b)(x0,y0)(p2,2)(p1,1)图2解得图象交点的横坐标为 显然，这表明在与之间。由易知 综上可知，在区间上， （参见示意图2）故由函数及的单调性可知，在区间上的单调增区间的长度之和为，由于，即，得 故由、得 综合（i）（ii）可知，在区间上的单调增区间的长度和为。点评：函数奇偶性的讨论问题是中学数学的基本问题，如果平时注意知识的积累，对解此题会有较大帮助.因为xR，f（0）=|a|+10，由此排除f（x）是奇函数的可能性.运用偶函数的定义分析可知，当a=0时，f（x）是偶函数，第2题主要考查学生的分类讨论思想、对称思想。题型三：函数的综合题例1.已知函数的定义域为，且同时满足：(1)对任意，总有；(2)(3)若且，则有.(I)求的值；(II)求的最大值；(III)设数列的前项和为，且满足.求证：.解：（I）令，由(3),则由对任意，总有 （2分）（II）任意且，则 （6分）(III) (8分)，即。 故即原式成立。 （14分）点评：本题贴近生活。要求考生读懂题目，迅速准确建立数学模型，把实际问题转化为数学问题并加以解决。该题典型代表高考的方向。例2（2003北京春，理文21）某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出。当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆。租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元。（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为： =12，所以这时租出了88辆车。（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：f（x）=（100）（x150）50，整理得：f（x）=+162x21000=（x4050）2+307050。所以，当x=4050时，f（x）最大，其最大值为f（4050）=307050。即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.点评：根据实际问题求函数表达式，是应用函数知识解决实际问题的基础，在设定或选定变量去寻求等量关系并求得函数表达式后，还要注意函数定义域常受到实际问题本身的限制。例3（2006湖南 理20）对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为：为，要求清洗完后的清洁度为。有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗。该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为。设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是，用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中是该物体初次清洗后的清洁度。()分别求出方案甲以及时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；()若采用方案乙, 当为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最小? 并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响。解：()设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z。由题设有=0.99，解得x=19。由得方案乙初次用水量为3, 第二次用水量y满足方程: 解得y=4,故z=4+3.即两种方案的用水量分别为19与4+3。因为当,故方案乙的用水量较少。（II）设初次与第二次清洗的用水量分别为与，类似（I）得，（*）于是+当为定值时,当且仅当时等号成立。此时将代入（*）式得故时总用水量最少, 此时第一次与第二次用水量分别为，最少总用水量是。当,故T()是增函数(也可以用二次函数的单调性判断)。这说明,随着的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量。点评：本题贴近生活。要求考生读懂题目，迅速准确建立数学模型，把实际问题转化为数学问题并加以解决。该题典型代表高考的方向。题型四：课标创新题例1（1）设，其中a、b、c、d是常数。如果求；（2）若不等式对满足的所有m都成立，求x的取值范围。解：（1）构