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平面向量教案 二、复习要求 1、 向量的概念; 2、向量的线性运算:即向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积等的定义,运算律; 3、向量运算的运用 三、学习指导 1、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法-有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中,借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释,有时甚至更简捷。 向量运算中的基本图形:向量加减法则:三角形或平行四边形;实数与向量乘积的几何意义-共线;定比分点基本图形-起点相同的三个向量终点共线等。 2、 向量的三种线性运算及运算的三种形式。 向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积都称为向量的线性运算,前两者的结果是向量,两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式:图形、符号、坐标语言。 主要内容列表如下: 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言 加法与减法 = - = 记 =(x1,y1), =(x1,y2) 则 =(x1 x2,y1 y2) - =(x2-x1,y2-y1) = 实数与向量 的乘积 = R 记 =(x,y) 则 =(x,y) 两个向量 的数量积 =| | | cos , 记 =(x1,y1), =(x2,y2) 则 =x1x2 y1y2 3、 运算律 加法: = ,( ) = ( ) 实数与向量的乘积:( )= ;( ) = ,( )= () 两个向量的数量积: = ;( ) = ( )=( ),( ) = 说明:根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则,正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算,例如( )2= 4、 重要定理、公式 (1)平面向量基本定理;如果 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于该平面内任一向量 ,有且只有一对数数1,2,满足 =1 2 ,称1 2 为 , 的线性组合。 根据平面向量基本定理,任一向量 与有序数对(1,2)一一对应,称(1,2)为 在基底 , 下的坐标,当取 , 为单位正交基底 , 时定义(1,2)为向量 的平面直角坐标。 向量坐标与点坐标的关系:当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若A(x,y),则 =(x,y);当向量起点不在原点时,向量 坐标为终点坐标减去起点坐标,即若A(x1,y1),B(x2,y2),则 =(x2-x1,y2-y1) (2)两个向量平行的充要条件 符号语言:若 , ,则 = 坐标语言为:设 =(x1,y1), =(x2,y2),则 (x1,y1)=(x2,y2),即 ,或x1y2-x2y1=0 在这里,实数是唯一存在的,当 与 同向时, 当 与 异向时, 0。 |= ,的大小由 及 的大小确定。因此,当 , 确定时,的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中的几何意义。 (3)两个向量垂直的充要条件 符号语言: =0 坐标语言:设 =(x1,y1), =(x2,y2),则 x1x2 y1y2=0 (4)线段定比分点公式 如图,设 则定比分点向量式: 定比分点坐标式:设P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2) 则 特例:当=1时,就得到中点公式: , 实际上,对于起点相同,终点共线三个向量 , , (O与P1P2不共线),总有 =u v ,u v=1,即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量,且系数和为1。 (5)平移公式: 点平移公式,如果点P(x,y)按 =(h,k)平移至P(x,y),则 分别称(x,y),(x,y)为旧、新坐标, 为平移法则 在点P新、旧坐标及平移法则三组坐标中,已知两组坐标,一定可以求第三组坐标 图形平移:设曲线C:y=f(x)按 =(h,k)平移,则平移后曲线C对应的解析式为y-k=f(x-h) 当h,k中有一个为零时,就是前面已经研究过的左右及上下移 利用平移变换可以化简函数解析式,从而便于研究曲线的几何性质 (6)正弦定理,余弦定理 正弦定理: 余弦定理:a2=b2 c2-2cbcosA b2=c2 a2-2cacosB c2=a2 b2-2abcosc 定理变形:cosA= ,cosB= ,cosC= 正弦定理及余弦定理是解决三角形的重要而又基本的工具。通过阅读课本,理解用向量法推导正、余弦定理的重要思想方法。 5、向量既是重要的数学概念,也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直,线线平行,求夹角等,特别是直角坐标系的引入,体现了向量解决问题的”程序性”特点。 四、典型例题 例1、如图, , 为单位向量, 与 夹角为1200, 与 的夹角为450,| |=5,用 , 表示 。 分析: 以 , 为邻边, 为对角线构造平行四边形 把向量 在 , 方向上进行分解,如图,设 = , = , 0, 0 则 = | |=| |=1 =| |,=| | OEC中,E=600,OCE=750,由 得: 说明:用若干个向量的线性组合表示一个向量,是向量中的基本而又重要的问题,通常通过构造平行四边形来处理 例2、已知ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),BC边上的高为AD,求点D和向量 坐标。 分析: 用解方程组思想 设D(x,y),则 =(x-2,y 1) =(-6,-3), =0 -6(x-2)-3(y 1)=0,即2x y-3=0 =(x-3,y-2), -6(y-2)=-3(x-3),即x-2y 1=0 由得: D(1,1), =(-1,2) 例3、求与向量 = ,-1)和 =(1, )夹角相等,且模为 的向量 的坐标。 分析: 用解方程组思想 法一:设 =(x,y),则 = x-y, =x y , = , &nb 即 又| |= x2 y2=2 由得 或 (舍) = 法二:从分析形的特征着手 | |=| |=2 =0 AOB为等腰直角三角形,如图 | |= ,AOC=BOC C为AB中点 C( ) 说明:数形结合是学好向量的重要思想方法,分析图中的几何性质可以简化计算。 例4、在OAB的边OA、OB上分别取点M、N,使| | |=13,| | |=14,设线段AN与BM交于点P,记 = , = ,用 , 表示向量 。 分析: B、P、M共线 记 =s 同理,记 = , 不共线 由得 解之得: 说明:从点共线转化为向量共线,进而引入参数(如s,t)是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一,利用该定理唯一性的性质得到关于s,t的方程。 例5、已知长方形ABCD,AB=3,BC=2,E为BC中点,P为AB上一点 (1) 利用向量知识判定点P在什么位置时,PED=450; (2) 若PED=450,求证:P、D、C、E四点共圆。 分析: 利用坐标系可以确定点P位置 如图,建立平面直角坐标系 则C(2,0),D(2,3),E(1,0) 设P(0,y) =(1,3), =(-1,y) =3y-1 代入cos450= 解之得 (舍),或y=2 点P为靠近点A的AB三等分处 (3) 当PED=450时,由(1)知P(0,2) =(2,1), =(-1,2) =0 DPE=900 又DCE=900 D、P、E、C四点共圆 说明:利用向量处理几何问题一步要骤为:建立平面直角坐标系;设点的坐标;求出有关向量的坐标;利用向量的运算计算结果;得到结论。 同步练习 (一) 选择题 1、 平面内三点A(0,-3),B(3,3),C(x,-1),若 ,则x的值为: A、 -5 B、-1 C、1 D、5 2、平面上A(-2,1),B(1,4),D(4,-3),C点满足 ,连DC并延长至E,使| |= | |,则点E坐标为: A、(-8, ) B、( ) C、(0,1) D、(0,1)或(2, ) 2、 点(2,-1)沿向量 平移到(-2,1),则点(-2,1)沿 平移到: 3、 A、(2,-1) B、(-2,1) C、(6,-3) D、(-6,3) 4、 ABC中,2cosBsinC=sinA,则此三角形是: A、 直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、以上均有可能 5、 设 , , 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则: ( ) -( ) =0 | |-| | | - | ( ) -( ) 不与 垂直 (3 2 )(3 -2 )=9| |2-4 |2中, 真命题是: A、 B、 C、 D、 6、ABC中,若a4 b4 c4=2c2(a2 b2),则C度数是: A、600 B、450或1350 C、1200 D、300 7、OAB中, = , = , = ,若 = ,tR,则点P在 A、AOB平分线所在直线上 B、线段AB中垂线上 C、AB边所在直线上 D、AB边的中线上 8、正方形PQRS对角线交点为M,坐标原点O不在正方形内部,且 =(0,3), =(4,0),则 = A、( ) B、( ) C、(7,4) D、( ) (二) 填空题 9、已知 , |是平面上一个基底,若 = , =-2 - ,若 , 共线,则=_。 10、已知| |= ,| |=1, =-9,则 与 的夹角是_。 11、设 , 是两个单位向量,它们夹角为600, 则(2 - )(-3 2 )=_。 12、把函数y=cosx图象沿 平移,得到函数_的图象。 (三) 解答题 13、设 =(3,1), =(-1,2), , ,试求满足 = 的 的坐 14、若 =(2,-8), - =(-8,16),求 、 及 与