2013年高考数学复习专题系列-立体几何.doc

第六部分 立体几何一，常见结论1、简单旋转体的结构特征对比：结构特征球圆柱圆锥圆台母线无母线都平行且相等所有的母线都相等且交于顶点所有的母线都相等延长交于一点底面无两底面平行相等圆一个底面圆两底面平行不等圆平行于底截面球的任何截面都是圆与底面相等的圆与底面不等的圆与底面不等的圆轴截面大圆矩形等腰三角形等腰梯形侧面展开图不可展开矩形扇形扇环2、简单多面体的结构特征对比：结构特征棱柱棱锥棱台底面平行且全等多边形多边形平行相似多边形侧面平行四边形三角形梯形侧棱平行且相等相交于一点延长线交于一点平行于底的截面与底面全等的多边形与底面相似多边形与底面相似多边形过不相邻侧棱的截面平行四边形三角形梯形3、简单几何体的表面积和体积（1）圆柱、圆锥、圆台、球的表面积(是底面周长，为母线长)圆柱的侧面积: ，表面积；圆锥的侧面积，表面积；圆台的侧面积，表面积；球的表面积（2）简单几何体的体积棱柱和圆柱的体积；棱锥和圆锥的体积；棱台和圆台的体积；球的体积。4、三视图的投影规律：主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等5、空间图形的公理公理1：文字语言： 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（即直线在平面内）。符号语言：。应用：证明或说明点在平面内，线在平面内。公理2： 文字语言:经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面（即可以确定一个平面）。符号语言：若，则点、确定一个平面，又可记作：平面。推论1 经过直线和直线外的一点，确定一个平面；推论2 经过两相交直线，确定一个平面；推论3 经过两平行直线，确定一个平面。应用：证明点或线共面,确定平面。公理3：文字语言： 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过这个点的公共直线。符号语言：。应用：证明多点共线，多线公点，判定两平面相交。公理4 ：文字语言：平行于同一直线的两条直线平行。符号语言：。应用：证明线线平行。6、线面、面面、线线平行的证明方法(1) 线面平行的证明： （线线平行线面平行）（面面平行线面平行）（直线所在的向量和平面的法向量垂直）(2) 面面平行的证明：（线面平行面面平行）（线线平行面面平行）（面面平行传递性） (两平面的法向量平行)(3) 线线平行的证明： （线线平行传递性）（线面平行线线平行）（面面平行线线平行）7、线面、面面、线线垂直的证明方法(1) 线面垂直的证明：（线线垂直线面垂直）（面面垂直线面垂直）(2) 面面垂直的证明：（线面垂直面面垂直）(3) 线线面垂直的证明： 8、空间角的求法（1）异面直线所成的角: 范围： 求法：【方法一】平移法：把两条直线平移到同一个平面内求解【方法二】向量法：设异面直线的夹角为，它们的方向向量分别为，则；（2）直线与平面所成的角: 范围： 求法：设直线与平面所成角为【方法一】定义法：如图1，设直线与平面的交点为，在直线上取一点，过作平面的垂线，垂足是，则就是设直线与平面所成角，然后在计算即可【方法二】向量法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，则，即或者；（3）二面角: 范围：求法：设平面与平面所成角为，【方法一】定义法：在两个平面的交线上取一点，过分别在平面内作的垂线，公共垂足是，即所以平面与平面所成角为就是；【方法二】如图2，在平面（或）中任取一点，向另一平面（或）作垂线，垂足为，即（或），然后过向交线作垂线，垂足为，即，连接，则交线垂直于平面，即；【方法三】向量法：设平面的法向量为，平面的法向量为，则即（1）当两个平面的法向量，的方向都指向两个平面的内部或外部时，；（2）当两个平面的法向量，的方向一个指向平面的内部（或外部），另一个指向平面的外部（或内部）时，;如图3所示；9、空间距离的求法：（1）空间中的距离分三类：点到平面的距离：直线和平面平行的线面距离：转化为点到平面距离两个平行平面的面面距离：转化为点到平面距离即点到平面的距离，直线和平面平行的线面距离，两个平行平面的面面距离都是转化为点到平面距离来求；（2）点到平面距离的定义： 过点向已知平面作垂线，则点和垂足构成的线段就是点到平面的距离；如图4所示：，垂足是，则点到平面距离就是；(3)求法：【方法一】定义法：先作后求【方法二】等体积法：【方法三】向量法：在平面内任取一点，设平面的法向量为，则原因如下：如图5所示，点到平面距离就是，设，在中，10、空间直角坐标系中点的坐标：（1）空间直角坐标系中点的坐标的如何确定：设空间中有一点，则点的横坐标的绝对值是它到 平面的距离，点的纵坐标的绝对值是它到平面的距离，点的竖坐标的绝对值是它到平面的距离；（2）空间直角坐标系中特殊点的坐标若点在原点，则点的坐标为；若点在x轴上，则点的坐标为；若点在y轴上，则点的坐标为；若点在z轴上，则点的坐标为；若点在平面上，则点的坐标为；若点在平面上，则点的坐标为；若点在平面上，则点的坐标为；若点在空间上，则点的坐标为；二，例题分析例1、（12新课标文、理7）如图6，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A、 B、 C、 D、【解析】此题考查三视图、锥体的体积计算公式、考查学生的空间想象能力； 由已知三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为，所以几何体的体积为，选B；例2、（12新课标理11）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为（ ）A、 B、 C、 D、【解析】此题考查球的性质、点到平面的距离、锥体体积的计算公式、考查学生的空间想象能力和转化化归思想的应用；【解法一】直接法：的外接圆的半径，点到面的距离,为球的直径点到面的距离为， 此棱锥的体积为，所以选A【解法二】排除法：因为排除,选A.例3、（12新课标文8）平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为 （ ）A、 B、 C、 D、【解析】此题考查球的截面、球的性质、球的体积的计算公式；球半径，所以球的体积为，选B.例3、（12全国文8、理4）已知正四棱柱中 ，为的中点，则直线与平面的距离为（ ）A、 B、 C、 D、【解析】此题考查空间中距离的计算、考查学生的等价转化和化归思想的应用、考查学生的运算求解能力；如图7所示，连结交于点，连结，因为是中点，所以,且，所以，即直线 与平面BED的距离等于点到平面BED的距离，过做于,则即为所求距离.因为底面边长为2，高为，所以,所以利用等积法得，选D. 例4.（12陕西文8）将正方形（如图8所示）截去两个三棱锥，得到图9所示的几何体，则该几何体的左视图为 （ ）【解析】此题考查三视图知识、考查学生的空间想象能力；根据空间几何体的三视图的概念易知左视图是实线是虚线，故选B.例5、（12江西文7）若一个几何体的三视图如图10所示，则此几何体的体积为（ ）A、 B、5 C、4 D、【解析】此题考查三视图、柱体的体积计算公式、考查学生的空间想象能力；由三视图可知这是一个高为1的直六棱柱。底面为六边形的面积为，所以直六棱柱的体积为，选D. 此题题容易把底面六边形看成是边长为1的正六边形，其实只有上下两个边长是1.例6、（12湖南文4、理3）某几何体的正视图和侧视图均如图11所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）【解析】此题考查空间几何体的三视图、考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；此题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，都可能是该几何体的俯视图，不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.例7、（12广东理6）某几何体的三视图如图12所示，它的体积为（ ）A、 B、 C、 D、【解析】此题考查空间几何体的三视图、空间组合体的体积的计算、考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；该几何体是一个组合体，上部是一个圆锥，下部是一个圆柱，如图13所示，根据三视图中的数量关系，可得，所以选C；例8、（12四川理、文14）如图13，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是_。【解析】本题主要考查空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，以及异面直线所成角的求法，有两种方法：一是定义法，二是向量法；【解法一】定义法：连接，则,又，易知，所以与所成角的大小是；【解法二】：坐标法：建立如图13所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，所以异面直线与所成角的大小是；例9、（12浙江文5） 设是直线，是两个不同的平面（ ）A、 若，则 B、 若，则C、 若，则 D、 若，则【解析】此题考查空间中线面、面面垂直或平行的判定、考查学生的推理论证能力；利用排除法可得选项B是正确的，平行的传递性适合于线线线、面面面之间，二者的混合不具有传递性，即；，所以A错误；若，则或，所以C错误；若，则或，所以D错误；故选B；例9、（12四川文6、理6）下列命题正确的是（ ）A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【解析】此题考查空间中线面、面面位置关系的判定、考查学生的推理论证能力；对于A，两直线可能平行，可能相交，可能异面故A不正确；对于B，两平面平行或相交，所以B不正确；C项正确；D中这两个平面平行或相交，所以错误；故选C例10、（11辽宁理8）如图14，四棱锥的底面为正方形，则下列结论中不正确的是（ ）A、 B、C、与平面所成的角等于与平面所成的角D、与所成的角等于与所成的角【解析】选D. 四棱锥的底面为正方形，又，所以，从而，故，所以A正确；由，可得，所以B正确；选项A中已证得，又，所以与平面所成的角等于与平面所成的角，所以C正确；与所成的角为，此为锐角，而与所成的角即与所成的角，此为直角，二者不相等,所以D正确例11、（08山东理6）如图15是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）A、B、 C、 D、【解析】考查三视图与几何体的表面积、考查学生的空间想象能力和运算求解能力。从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为选D例12、（09山东理4）一空间几何体的三视图如图16所示，则该几何体的体积为（ ）A、 B、 C、 D、【解析】本题考查了立体几何中的空间想象能力,由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地计算出.几何体的体积；该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆柱的底面半径为1,高为2,体积为,四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为所以该几何体的体积为.答案:C例13、（11江西理8）已知，是三个相互平行的平面平面，之间的距离为，平面，之间的距离为直线与，分别相交于，那么“=”是“”的（ ） A、充分不必要条件B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件【解析】此题考查两平行平面的距离的定义、转化为点到平面距离、考查学生的推理论证能力；过点作平面的垂线g,交平面，分别于点A、B两点,由两个平面平行的性质可知,所以,故选C.例14、（11年陕西理16）（本小题满分12分）如图17，在ABC中，ABC=，BAC，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC（1）证明：平面ADB平面BDC；（2）设E为BC的中点，求与夹角的余弦值【解析】（1）确定图形在折起前后的不变性质，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明；（2）在（1）的基础上确定出三线两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标和向量的数量积运算求解（1）折起前AD是BC边上的高，当ABD折起后，ADDC，ADDB，又，AD平面BDC，AD平面ABD，平面ABD平面BDC（2）由BDC及（1）知DA，DB，DC两两垂直，不妨设|DB|=1，以D为坐标原点，以，所在直线为轴建立如图18所示的空间直角坐标系，易得：D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,3,0),A(0,0,),E(,0)，所以，所以与夹角的余弦值是例15、（07山东理19）（本小题满分12分）如图19,在直四棱柱中,已知,.(I)设是的中点,求证: ;(II)求二面角的余弦值. 【解析】此题考查线面平行问题的证明和二面角的求法、考查学生的运算求解能力和空间想象能力；此题适合于利用向量求解，根据现有图形建立空间直角坐标系，正确写出点的坐标和向量的坐标是做对的关键所在；(I)连结，则四边形为正方形，且，为平行四边形，.(II) 以D为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图20所示的空间直角坐标系，不妨设，则设为平面的一个法向量，由得，取，则. 设为平面的一个法向量，由得，取,则.由于该二面角为锐角，所以所求的二面角的余弦值为例16、（12全国文19）如图21，四棱锥中，底面为菱形，底面，是上的一点，（）证明：平面；（）设二面角为90，求与平面所成角的大小【解析】此题主要是考查了四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面角的求解的运用。从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得到相应的垂直关系和长度，并加以证明和求解。可采用两种方法证明（1）【证明方法一】设，连接， 因为底面，所以是直角三角形，所以，又因为（1）设,，以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图22所示的空间直角坐标系，则，设。【证明方法二】由，则，所以，所以，所以；（）设平面 的法向量为，由，设 平面的法向量为，又，由，因为二面角为，所以；所以，平面的法向量为，所以与平面所成角的正弦值为，所以与平面所成角为30； 三，反馈练习1、（12陕西理5）如图23，在空间直角坐标系中有直三棱柱，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）A、 B、 C、 D、 2、（12广东文7）某几何体的三视图如图24所示，它的体积为（ ）A、 B、 C、 D、3、（11辽宁理15）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如图25所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 4、（12天津理10）一个几何体的三视图如图26所示（单位：m），则该几何体的体积为_m3. 5、（12湖北理4）已知某几何体的三视图如图27所示，则该几何体的体积为（ ）A、 B、 C、 D、6、（07山东理3）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）A、 B、 C、 D、 7、（12辽宁理13）一个几何体的三视图如图28所示，则该几何体的表面积为_。8、（12山东理14）如图29，正方体的棱长为1，分别为线段上的点，则三棱锥的体积为_.9、（12浙江文3）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图30所示，则该三棱锥的体积是（ ）A、1cm3 B、2cm3 C、3cm3 D、6cm310、（12上海文5）一个高为2的圆柱，底面周长为，该圆柱的表面积为 11、（12湖北文15）已知某几何体的三视图如图31所示，则该几何体的体积为_.12、（12辽宁文13）一个几何体的三视图如图32所示，则该几何体的体积为_.13、（12江苏7）如图33，在长方体中，则四棱锥的体积为 14、（12天津文科10）一个几何体的三视图如图34所示（单位：m）,则该几何体的体积 .15、（12安徽文12）某几何体的三视图如图35所示，则该几何体的体积等于_。 16、（12山东文13）如图36，正方体的棱长为1，E为线段上的一点，则三棱锥的体积为17、（12全国文16）已知图37正方体中，、分别为的中点，那么异面直线与所成角的余弦值为_.18、（10山东理3）在空间，下列命题正确的是（ ）A、平行直线的平行投影重合 B、平行于同一直线的两个平面平行C、垂直于同一平面的两个平面平行 D、垂直于同一平面的两条直线平行19、（11山东理11）图38是长和宽分别相等的两个矩形。给定三个命题：存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图。其中真，命题的个数是（ ）A、3 B、2 C、1 D、020、（11陕西理5）某几何体的三视图如图39所示，则它的体积是（ ）A、 B、 C、 D、21、（12安徽文19）（本小题满分 12分）如图41，长方体中，底面是正方形，是的中点，是棱上任意一点。（）证明： ；（）如果=2，=，,，求 的长。22、（12山东文19） (本小题满分12分)如图42，几何体是四棱锥，为正三角形，.()求证：；()若，M为线段AE的中点，求证：平面.23、(12广东文18)本小题满分13分）如图43所示，在四棱锥中，平面，是的中点，是上的点且，为中边上的高.（1）证明：平面；（2）若，求三棱锥的体积；（3）证明：平面.24、（12江苏16）（14分）如图45，在直三棱柱中，分别是棱上的点（点 不同于点），且为的中点求证：（1）平面平面（2）直线平面25、（11北京理16）（本小题共14分）如图46，在四棱锥中，平面，底面是菱形，.()求证：平面（）若求与所成角的余弦值；（）当平面与平面垂直时，求的长.【参考答案】1、【解析】此题考查空间直角坐标系中点的坐标如何确定、异面直线所求成的角的求法、考查学生的运算求解能力；设，则，故选A.2、【解析】此题考查三视图知识、空间几何体的体积计算公式、考查学生的空间想象能力、运算求解能力；该几何体是圆锥和半球体的组合体，则它的体积3、【解析】设棱长为，由体积为可列等式，所求矩形的底边长为，这个矩形的面积是4、【解析】此题考查空间几何体的组合体的三视图知识、空间几何体的体积计算公式、考查学生的空间想象能力、运算求解能力；根据三视图可知，这是一个上面为长方体，下面有两个直径为3的球构成的组合体，两个球的体积为，长方体的体积为，所以该几何体的体积为。5、【解析】此题考查空间几何体的组合体的三视图知识、空间几何体的体积计算公式、考查学生的空间想象能力、运算求解能力；解决的关键是根据三视图还原出几何体，确定几何体的形状，然后再根据几何体的形状计算出体积；显然有三视图我们易知原几何体为 一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个1/2的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为6，则知所求几何体体积为原体积的一半为；6、【解析】此题考查几何体的三视图知识、考查学生的空间想象能力；从选项看只要判断正方体的三视图都相同就可以选出正确答案D7、【解析】本题主要考查几何体的三视图、柱体的表面积公式，考查空间想象能力、运算求解能力；本题解决的关键是根据三视图还原出几何体，确定几何体的形状，然后再根据几何体的形状计算出表面积。由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱，其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1，圆柱的底面直径为2，所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积，即为8、【解析】此题考查三棱锥体积的计算、考查学生的运算求解能力和利用转化和化归思想解决问题的能力；求三棱锥的体积，关键是求三棱锥的高，转化为点到平面距离求解；【解法一】：因为点在线段上，所以，又因为点在线段上，所以点到平面的距离为1,即，所以.【解法二】：使用特殊点的位置进行求解，不失一般性令点在点处，点在点处，则。9、【解析】本题主要考查几何体的三视图、三棱锥的体积计算公式，考查空间想象能力、运算求解能力；由题意判断出，底面是一个直角三角形，两个直角边分别为1和2，整个棱锥的高由侧视图可得为3，所以三棱锥的体积为.10、【解析】此题考查圆柱的定义、圆柱的表面积计算公式、考查学生的运算求解能力；因为底面圆的周长，所以圆柱的底面半径，所以圆柱的侧面积为两个底面积为。，所以圆柱的表面积为。11、【解析】此题考查空间几何体的组合体的三视图知识、空间几何体的体积计算公式、考查学生的空间想象能力、运算求解能力；解决的关键是根据三视图还原出几何体，确定几何体的形状，然后再根据几何体的形状计算出体积；由三视图可知，该几何体是由左右两个相同的圆柱（底面圆半径为2，高为1）与中间一个圆柱（底面圆半径为1，高为4）组合而成，故该几何体的体积是.12、【解析】本题主要考查几何体的三视图、柱体的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，属于容易题。本题解决的关键是根据三视图还原出几何体，确定几何体的形状，然后再根据几何体的形状计算出体积；由三视图可知该几何体为一个长方体和一个等高的圆柱的组合体，其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1，圆柱的底面直径为2，高位1，所以该几何体的体积为13、【解析】此题考查正方形的性质，棱锥的体积的计算。长方体底面是正方形，中，边上的高是（它也是中上的高）。四棱锥的体积为。14、【解析】本题考查了几何体的三视图，空间几何体的体积.意在考查考生的空间想象能力、识图能力与基本运算求解能力；先由三视图还原几何体，后求其体积.由题可知此几何体是由两个棱柱组成，其底面分别是矩形和直角梯形，其体积为15、【解析】本题考查了几何体的三视图，空间几何体的体积.意在考查考生的空间想象能力、识图能力与基本运算求解能力；该几何体是底面是直角梯形，高为的直四棱柱，几何体的的体积是。16、【解析】此题考查三棱锥体积的计算、考查学生的运算求解能力和利用转化和化归思想解决问题的能力；求三棱锥的体积，关键是求三棱锥的高，即为点到平面距离；因为点在线段上，所以，又因为点在线段上，所以点到平面的距离为1,即，所以17、【解析】此题考查空间直角坐标系中点的坐标如何确定、异面直线所求成的角的求法、考查学生的运算求解能力；如图37连接，则,所以与所成的角即为异面直线所成的角，设边长为2，则，在三角形中.18、【解析】本题考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题。由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以很容易得出答案选D19、【解析】此题考查三视图知识、考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；均是正确的，只需底面是等腰直角三角形的直四棱柱，让其直角三角形直角边对应的一个侧面平卧；直四棱柱的两个侧面是正方形或一正四棱柱平躺；圆柱平躺即可使得三个命题为真，所以选A。20、【解析】此题考查三视图知识、考查组合体的几何体的体积计算公式；根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计算由几