苏州市第一中学2014—2015学年度第二学期高一数学期中测试卷(PDF版).pdf

1 苏州市第一中学 2014 2015 学年度第二学期 高一数学期中测试卷2015 04 一 填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 共 70 分 请将答案填写在答题卡相应位置 1 在 ABC 中 A B C 的对边分别是 a b c 若 a 1 b 3 C 30 则 ABC 的面积是 2 数列 an 成等差数列 a3 10 则 a1 a2 a6 3 不等式x 3 x 1 3 的解集为 4 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别是 a b c 若 a b c 2 3 4 则最小角的余弦值 为 5 等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 S1 3S2 5S3成等差数列 则 an 的公比为 6 设变量 x y 满足约束条件 x y 0 x y 2 y 2 0 则 x 3y 的最大值为 7 在等腰 ABC 中 D 是底边 BC 上一点 BAD 45 DAC 30 则BD DC 8 在数列 an 中 前 n 项和为 Sn an 13 2n 1 当 n 时 Sn取最大值 9 函数 y x2 49 x2 1的最小值为 10 在 ABC 中 cos2A 2 b 2c 4c a b c 分别为角 A B C 的对边 则 ABC 的形状为 11 数列 an 中 an an 1 2 n 则数列 an 的前 10 项的和为 用数值表示 12 二次函数 f x ax2 bx c 不等式 f x 0 的解集为 1 4 函数 y f x 9x 的值域为 0 则 a 13 等差数列 an 各项大于 0 公差 d 2 bn 1 anan 1 数列 bn 前 100 项的和 S100 4 41 则数列 an 首项 a1 14 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别是 a b c tanB tanC 3 2 边 c 1 ABC 面积最大值 第 7 题 30 45 D C A B 2 二 解答题 本大题共 6 小题 共 90 分 请在答题卡规定区域写出文字说明 证明过程或演算 步骤 15 本小题满分本小题满分 14 分分 如图 在 ABC 中 tanB 1 2 AB 2 5 点 D 在 BC 边上 且 CD 1 ADC 45 1 求 sin BAD 2 求 BD AC 的长 16 本小题满分本小题满分 14 分分 已知数列 an 是等差数列 其前 n 项和为 Sn bn 是等比数列 且 a1 b1 2 a4 b4 27 S4 b4 10 来源 Z xx k Com 1 求数列 an 与 bn 的通项公式 2 是否存在 m m N 使得4 ma7 m 4 ma7 4 ma7 4m 为数列 bn 2 中的连续三项 说明理由 17 本小题满分本小题满分 14 分分 在 ABC 中 B 3 角 A B C 的对边分别是 a b c 1 若 2c 3a b 求c a的值 2 若 b 1 设 C 为 x 3 1 a c 是关于 x 的函数 f x 求其最大值 并指出此时 x 的值 C B D A 3 18 本小题满分本小题满分 16 分分 特种运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶在 500 千米的路段上 50 x a a 为公路的最高限 速 a 50 假设汽油的价格是每升 6 元 而汽车每小时耗油 2 x2 400 升 司机的工资是每小时 84 元 1 求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式 2 当卡车以什么速度行驶时 这次行车的总费用最低 19 本小题满分本小题满分 16 分分 已知数列 an 与 cn 满足 n c 22 1nn aa n N 1 若数列 an 是等差数列 求证 数列 cn 是等差数列 2 已知 an 各项都大于 0 cn n 若 a1 1 求 an 的通项公式 a1为何值时 an 为等差数列 4 20 本小题满分本小题满分 16 分分 已知数列 an 各项都不为 0 数列 bn 满足 n b 2 n a 记 an 的前 n 项和 Sn 数列 bn 的前 n 项和 Tn 且 2Tn Sn Sn 1 1 求 an 的首项 a1 2 求 Sn 的通项公式 3 求数列 nan 的前 n 项和 Kn 命题 朱 亮 审阅 盛 淳 5 苏州市第一中学 2014 2015 学年度第二学期 高一数学期中测试答案2015 04 一 填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 共 70 分 请将答案填写在答题卡相应位置 1 在 ABC 中 A B C 的对边分别是 a b c 若 a 1 b 3 C 30 则 ABC 的面积是 3 4 2 数列 an 成等差数列 a3 10 则 a1 a2 a6 30 3 不等式x 3 x 1 3 的解集为 3 1 4 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别是 a b c 若 a b c 2 3 4 则最小角的余弦值 为 7 8 5 等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 S1 3S2 5S3成等差数列 则 an 的公比为 1 5 6 设变量 x y 满足约束条件 x y 0 x y 2 y 2 0 则 x 3y 的最大值为 4 7 在等腰 ABC 中 D 是底边 BC 上一点 BAD 45 DAC 30 则BD DC 2 8 在数列 an 中 前 n 项和为 Sn an 13 2n 1 当 n 时 Sn取最大值 6 9 函数 y x2 49 x2 1的最小值为 13 10 在 ABC中 cos2A 2 b 2c 4c a b c分别为角A B C的对边 则 ABC的形状为 等 腰三角形 11 数列 an 中 an an 1 2 n 则数列 an 的前 10 项的和为 用数值表示 62 12 二次函数 f x ax2 bx c 不等式 f x 0 的解集为 1 4 函数 y f x 9x 的值域为 0 则 a 1 和 9 13 等差数列 an 各项大于 0 公差 d 2 bn 1 anan 1 数列 bn 前 100 项的和 S100 4 41 则数列 an 首项 a1 5 14 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别是 a b c tanB tanC 3 2 边 c 1 ABC 面积最大值 5 8 第 7 题 30 45 D C A B 6 设 BC 边上的高 AD h tanB 3x tanC 2x 则 BD 3 h x CD 2 h x 面积 2 5 12 h x 2 2 1 3 h h x 2 2 2 1 9 x h x 故 S 51 1 12 9 x x 5 8 二 解答题 本大题共 6 小题 共 90 分 请在答题卡规定区域写出文字说明 证明过程或演算 步骤 15 本小题满分本小题满分 14 分分 如图 在 ABC 中 tanB 1 2 AB 2 5 点 D 在 BC 边上 且 CD 1 ADC 45 1 求 sin BAD 2 求 BD AC 的长 解 1 tanB 1 2 B 0 sinB 1 5 cosB 2 5 2 分 sin BAD sin 4 B 1 10 5 分 2 2 5 3 sinsin sin 4 BDAD BADB 解得 BD 2 9 分 AD 22 11 分 AC 22 2cos 4 ADDCAD DC 5 14 分 16 本小题满分本小题满分 14 分分 已知数列 an 是等差数列 其前 n 项和为 Sn bn 是等比数列 且 a1 b1 2 a4 b4 27 S4 b4 10 来源 Z xx k Com 1 求数列 an 与 bn 的通项公式 2 是否存在 m m N 使得4 ma7 m 4 ma7 4 ma7 4m 为数列 bn 2 中的连续三项 说明理由 解 1 设数列 an 公差为 d bn 公比为 q 则 3 3 23227 86210 dq dq 解得 3 2 d q 4 分 C B D A 7 n a 3n 1 2n n b 7 分 2 数列 bn 2 中的连续三项仍为等比数列 2 777 4 444 mm aaa mmm 代入得 2 202031220mm 10 分 解得 m 0 舍去 或 5 12 分 经检验这三个数为 4 16 64 分别是数列 bn 2 的第 1 2 3 项 故存在 m 5 适合题意 14 分 17 本小题满分本小题满分 14 分分 在 ABC 中 B 3 角 A B C 的对边分别是 a b c 1 若 2c 3a b 求c a的值 2 若边 b 1 设 C 为 x 求 3 1 a c 的最大值 并指出此时 x 的值 解 1 B 3 222 bacac 2 22 23caacac 3 分 整理得 2 31180 cc aa 解得 c a 1 或 8 3 6 分 当 c a 1 时 b c 舍去 c a 8 3 时检验适合 综上所述 c a 8 3 7 分 2 3 1 a c 2 31 sinsin 33 xx 9 分 62 sin 4 x x 0 2 3 12 分 当 x 4 时 ymax 62 14 分 法 2 22 1acac 设 t 3 1 a c 代入得 22 63 32 3310atat 关于 a 的方程有解 0 解得62t 11 分 8 当 31 6 a 时 即 x 4 时 成立 14 分 18 本小题满分本小题满分 16 分分 特种运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶在 500 千米的路段上 50 x a a 为公路的最高限 速 a 50 假设汽油的价格是每升 6 元 而汽车每小时耗油 2 x2 400 升 司机的工资是每小时 84 元 1 求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式 2 当卡车以什么速度行驶时 这次行车的总费用最低 解 1 y 500 966 400 x x x 50 a 5 分 2 当 50 a 80 函数在 50 a 上是减函数 x a 时 ymin 500 963 200 a a 10 分 当 a 80 y 500 966 400 x x 5002 966 400 x x 1200 x 80 时 等式成立 15 分 综上所述 当 50 a 80 卡车应以速度 a 千米 小时行驶 当 a 80 卡车应以速度 80 千米 小时行驶 16 分 19 本小题满分本小题满分 16 分分 已知数列 an 与 cn 满足 n c 22 1nn aa n N 1 若数列 an 是等差数列 求证 数列 cn 是等差数列 2 已知 an 各项都大于 0 cn n 若 a1 1 求 an 的通项公式 a1为何值时 an 为等差数列 解 1 设数列 an 公差为 d n c 11nnnn aaaa d 1nn aa 1nn cc d 211nnnn aaaa 2d 2为常数 cn 为等差数列 5 分 2 累加得 22 1n aa 1 2 n 1 8 分 a1 1 an 0 2 11 1 22 n ann 11 分 9 3 法 1 设 22 1 11 22 n anna kn b k 0 a1 0 则 22222 1 11 2 22 nnak nkbnb 该方程有无数多解 13 分 2 22 1 1 2 1 2 2 k kb ba 解得 1 2 4 a 16 分 法 2 22 1 11 22 nna 是完全平方式 0 解得 1 2 4 a 16 分 法 3 an 前三项 22 111 1 3aaa 成等差 即 22 111 2 1 3aaa a1 0 解得 1 2 4 a 14 分 检验 2 1112 21 2284 n annn 为等差数列 16 分 20 本小题满分本小题满分 16 分分 已知数列 an 各项都不为 0 数列 bn 满足 n b 2 n a 记 an 的前 n 项和 Sn 数列 bn 的前 n 项和 Tn 且 2Tn Sn Sn 1 1 求 an 的首项 a1 2 求 Sn 的通项公式 3 求数列 nan 的前 n 项和 Kn 解 1 2 111 21aa a 解得 1 1a 0 舍去 3 分 2 2Tn Sn Sn 1 2Tn 1 Sn 1 Sn 1 1 n 2 相减得 2 2 1 nnnnn aSSaa an 0 2 1 1 nnn aSS 11 2 1 nnnn SSSS 1 31 nn SS 7 分 10 1 11 3 22 nn SS 1 2 n S 是以 1 1 2 S 3 2 为首项 公比为 3 的等比数列 1 13 3 22 n n S 1 31 2 n n S 1