第10讲 流体动力学基础：质点导数和系统导数、质量守恒与牛顿第二定律.ppt

第三章流体动力学基础 本章主要内容 描述流体运动的方法流场的若干概念质点导数与系统导数流体运动的基本物理定律及基本方程平行直线流断面上的压强关系式定常流动中的机械能关系运动流体与固体壁面间的作用力层流与湍流 物质体方法和场方法是从不同观点出发描述同一流体运动规律的两种方法 它们之间必然存在着相互的联系和某种对应关系 第三节质点导数与系统导数 t 1时刻的场 t 2时刻的场 t 2时刻的场 对于在某一时刻 如t时刻 占据着流场中某位置 如r位置 的流体质点的运动表现 两种方法所描述的是同一个客观存在 第三节质点导数与系统导数 在经历dt时间后 原来占据r位置的那个流体质点运动到达r dr的新位置 Euler法需要质点的坐标 Lagrange法不需要质点的坐标 第三节质点导数与系统导数 牛顿第二定律的数学表达中 需要用到同一个流体质点 或同一个流体系统 的运动物理量对时间的变化率 如何追踪到我们研究的质点的坐标是场方法能够应用牛顿第二定律的前提 一 质点导数 质点导数 流体质点具有的物理量对时间的变化率 也称为质点的随体导数 任一物理量 的导数 注意到 物理量 的质点导数表达式 物理量 的质点导数表达式 注意 物理量 可以是标量 矢量或张量 二 系统导数 系统导数 流体系统所具有的物理量随时间的变化率 系统 是一团流体质点的集合 在运动过程中 系统始终包含着确定的流体质点 有确定的质量 而这一团流体的表面常常会不断地变形 控制体 流场中某一确定的空间区域 这个区域的周界称为控制面 虚线为系统实线为控制体 设是定义在体积内单位体积所具有的物理量 则体积V内该物理量的总量为 系统占有的空间在不断改变它的大小和形状也随时间而变 此积分对时间的导数即为系统导数 根据导数的定义 有 a b c 式 b 右端第一项可表示为 b 式 b 中第二项积分中的前一项可写为 d b 式 b 中第二项积分中的后一项可表示为 e b 将式 d 和式 e 合并 并注意到 是整个控制体的面积 于是式 b 右端第二项成为 f 将式 c 和式 f 代入 b 中 得 这就是流体系统内物理量对时间的随体导数公式 也称为输运定理 或输运公式 上式即是按拉格朗日法求系统内物理量的时间变化率转换为按欧拉法计算的公式 系统内部物理量的时间变化率由两部分组成 控制体内 对时间的变化率 单位时间内经过控制面 的净通量 第四节流体运动的基本物理定律及基本方程 一 连续性方程 质量守恒 分析该微元六面体内质量的变化 速度分量为u v w 由表面ABCD流出的质量是 在dt时间内在x方向净流入的质量为 同理 在y方向和z方向上dt时间通过相应表面净流入的质量分别为 dt时间通过该微元六面体所有方向净流入的质量为 在dt时间内 因控制体内密度变化引起的总质量的增加量为 根据质量守恒定律得 或 微分形式的连续性方程 意义 表达了任何存在的流体流动必须满足的质量守恒条件 几种特殊情形下的简化形式 1 定常流动 非稳态项为零 只剩 2 不可压缩流体 密度随着时间和空间均不变化 在有限通道中作定常流动的情况 质量守恒可用简单的形式表达 而不必采用微分方程的形式 流体做定常流动时 流场内的各物理量均不随时间改变 则1断面上单位时间内流入的流体质量应等于2断面流出的流体质量 即 沿流道的上下游两个过流断面 若是不可压缩的均质流体 则连续性方程为 二 运动微分方程 牛顿第二定律 流体的运动与其所受外力之间的关系 应遵循动量守恒定律 牛顿第二定律 牛顿第二定律的数学表达式即为运动方程 1 理想流体的运动微分方程 理想流体 流体的粘性被忽略不计流体 在运动的理想流体中 取出一个微元平行六面体的微团 它的各边长度分别为dx dy和dz 如图所示 理想流体运动时不产生内摩擦力 所以作用在流体微团上的外力只有质量力和压强 微分方程的导出 微元六面体内理想流体微团的受力 y方向 假设六面体形心的坐标为x y z 速度 压强分别为u v w p 单位质量力为f 先分析y方向的运动左右两个平面中心点处的压强分别为 及 作用在流体微团上的质量力在y方向的分量 沿y方向牛顿第二定律的表达式为 将上式各项除以流体微团的质量 得到y方向的运动微分方程 类似地 在x和z两个方向上 分别有 理想流体的运动微分方程 在一般情况下 作用在流体上的质量力fx fy和fz是已知的 对理想不可压缩流体其密度 为一常数 在这种情况下 方程组中有四个未知数u v w和p 而方程仅有三个 为此需加上不可压缩流体的连续性方程 这样方程组封闭 从理论上提供了求解的可能性 方程组的封闭性问题 2 实际流体的运动微分方程 实际流体运动时 作用于微元六面体各个面上的应力不仅有法向应力 还有由于粘性产生的切向应力 根据牛顿第二定律 写出沿y方向的运动微分方程 化简后 得y方向的运动微分方程 同理可得 以应力形式表示的粘性流体的运动微分方程 方程组不封闭 九个应力三个速度分量均未知 12个未知数三个运动方程 1个连续性方程 4个方程不封闭 需要确定粘性流体中各应力与速度变形速率的关系 对于一般的流体 各应力与速度变形速率间的关系为 对于一般的流体 各应力与速度变形速率间的关系为 将应力关系式 代入其应力表示的运动微分方程中 化简得 不可压缩粘性流体的运动微分方程 又称