近岸波浪传播变形数学模型的研究与进展.pdf

第 2 0 卷第 4期 2 0 0 2 年 1 1 月 海 洋 工 程 T HE OCEAN ENGI NEERI NG Vo 1 2 0 No 4 NO V 2 0o 2 文章 编号 1 0 0 5 9 8 6 5 2 0 0 2 0 4 0 0 4 3 1 5 近岸波浪传播变形数学模型的研究 与进展 李孟国 王正林 蒋德才 1 交通部天津水运工程科学研究所 天津3 0 0 4 5 6 2 青岛海洋大学 海洋环境学院 山东青岛2 6 6 0 0 3 摘要 对近岸波浪传播变形 的各种数学模 型进行 了归纳评述和总结 以期对本研究方向的发展起到一定的引导和促进作用 关键 词 波浪 射线理论 缓坡 方程 B o u s s i n e s q方程 数学模 型 中图分类号 P 7 3 1 2 0 3 5 3 2 文献标识 码 A A r e v i e w o n t h e ma t h e ma t i c a l mo d e l s o f wa v e t r a n s f o r ma t i o n i n t h e n e a r s h o r e r e g i o n LI Me n g g u o 一 WANG Z h e n g l i n J I A NG De c a i 1 T i a n j i n R e s e a r c h I n s t i t u t e o f Wa t e r T r a n s p o r t E n g i n e e r i n g T i a n j i n 3 0 0 4 5 6 Ch i n a 2 M n e En v i mn me n l c0 l l e g e 0c e a l 1 u n i v e r s i t v 0 f Q i n g d n o Q i n g d a o 2 6 6 0 0 3 C h i n a A e a u r s l a l e a s a r y a l 1 d c I T n e n t s n V u s H1a t 1e H1a t i c a l m0 d e l s 0 f W a v e t mn s f 0 i n i n t l e n e h r e r e n i n t h e h o p e o f g u i d i n g a n d p r o mo t i n g thi s s u b ie c t s d e v e l o p me n t Ke y wo r d s wa V e r a y the o r y mi l d s l o p e e q u a t i o n B o u s s i n e s q e q ua t i o n s mt l e mt i c a l mo de 1 在由外海向近岸的传播过程 中 由于受到复杂地形 障碍物 和水 流等因素 的影 响 将发生 浅化 折 篓 射 反 射 底 摩 擦 能 量 耗 散 及 破 碎 等 一 系 列 复 杂 现 象 即 波 浪 传 播 发 生 变 形 本 文 对 波 浪 传 播 变 形 数 学 模 型 的 诸 多 研 究 成 果 进 行 综 述 以期对本学科 的发展起到一定 的引导与促进作用 射线理论又称几何波动理论 特 d 仳z线 论 基本方程 的常用形式为 尸 0 2 H Kr K Ho 3 T c o n s t 4 为 周 乎 2 兀 为 圆 频 率 为 波 数 c 为 波 速 为 水 深 g 为 重 力 力 水 波 高 为 沿 波 向 线 水 深 为 处 经 折 射 后 的 波 高 为 波 向 线 散 开 因 子 薹 J 为 折 射 因 子 I o 为变浅因子 尸 Q为系数 s n 为以波数矢量定义的正交坐标 一 一 收稿 日期 2 0 0 1 0 8 0 9 作者简介 李孟 国 1 9 6 4一 男 天津人 副研 究员 博士生 主要从事海岸河 口水 动力与泥沙研究 维普资讯 海 洋 工 程 第 2 0卷 关于射线理论的基本方程有 以下几点说明 射线理论是研究波浪折射 的经典方法 基于几何光学折射理论 适用于缓变水深海区 b 式 1 为波向线微分方程 亦称射线 曲率 方程 式 2 为波 向线散开 因子 的微分方程 亦称波强方程 Ar t hu r M u n k等 根据 F e r m a t 原理 波浪沿波 向线需时最小原理 分别于 1 9 4 6年和 1 9 5 2年导 出了式 1 和 式 2 文献 3 4 也给出了式 1 2 的详细推导过程 龚崇准等 5 以线性势波理论 的基本方程为基础 采用小参数展开方法得到 了与式 1 和式 2 等价的折射方程 式 5 为弥散关系 c 式 3 为沿波 向线问的能通量守恒 假设没有能量跨过波向线 方程的一种表现形式 d 射线理论基本方程属于初值问题 只要给定深水波要素即可进行计算 计算结果是一条一条的由深水 边界到岸边的波 向线和波 向线上 的波高值 e 式 1 和式 2 构成一个关于 0和 的微分方程组 该方程组有 唯一的一族特征线 即 d y d x t a n 0 说 明波向线就是特征线 f 利用特征线理论 方程 1 2 可化为以直角坐标 或 Y为 自变量的等价常微分方程组 g 通过 d s C d t 可 以将式 1 和式 2 改写成相对于时间 t 变化 的方程形式口 2 数值方法 波浪折射射线理论 的基本方程或其等价方程一般情 况下不能求 出解析解 只能求 出数值解 国外数值 解最早见于 1 9 6 3年 而国内最早文献是 1 9 7 3年 1 数值求解方法主要是有限差分法 而且 主要是对方程 1 2 进 行 数 值 解 波 高 计 算 式 3 是 解 析 式 数 值 求 解 方 法 主 要 有 G r i s w o l d法 R u n g e K u t t a 法 5 m 川 及直接 网格节点法 等 3 缺陷与改进 射线理论 的缺陷是 射线理论本身为线性理论 适用于缓变地形 且假定无能量跨过波 向线 在海底坡度 较大 地形较复杂时 应用射线理论会出现焦散现象 波 向线 相交 和死区现象 波 向线不能进入某些 区域 导致该射线理论失效 射线理论在以下方面得到 了发展 和改进 复杂地形上 的射线理论m 考虑底摩擦作 用 考 虑潮位 和水流 的作用 引 有 限振幅波 的折射 不规则波的折射 波群的折射 2 3 2 5 通过绕射因子考虑绕 射作用的联合折射绕射射线理论 I 3 等 详见文献E 3 1 1 2 波能平衡方程和波作用量守恒 方程 对于稳态波动 不考虑水流 的波能平衡方程为 H2 0 6 对于稳态波动 考虑水流的波作用量守恒方程为 V s 舞 s s 0 7 对于稳态波动 考虑水流的波作用量守恒方程为 V E E 0 8 J 一 一 式中 V O 3 x a a y 为水平梯度算子 c 为波浪群速矢量 O o o O k S S s 为辐射应力张量的 分量 E为波动能量 E p g H2 8 ID为海水密度 为流速矢量 分别为 Y方 向上的单 位矢 量 波浪在流场 U上传播时的表视 绝对 频率 2 丌 与 固有频率 满足波密度守恒方程或 D o p p l e 方程 c J u k c o s 0 v k s i n O 9 式 4 5 6 和波数矢量 J c o s 0 s i n 无旋方程 7 k 0 1 0 构成 了基于波能平衡方程的不考虑水流作用的波浪折射方程 式 4 5 7 或式 8 9 1 O 则构成 了基于波能平衡方程 或波作用量守恒方程 的考虑水流作用 的波浪折射方程 3 4 基于波能平衡方程和波作用量守恒方程 的折射模型在考虑波浪 的非线性 s 考虑波浪 的绕射 构成联 合折射绕射模型 埘 考虑底摩擦波能损耗 一 考虑波浪的不规则性 等方 面已经有 了改进工作 维普资讯 第 4期 李孟国 等 近岸波浪传播变形数学模型的研究与进展 4 5 基于波能平 衡 方程 和 波作 用量 守恒 方 程 的折 射模 型 及其 各种 改 进模 型 一般 采用 有 限差 分 方法 求 解 亚 一 引 1 3波浪绕射方程 1 3 1 I t o 等 方程 I t 0 等 的方程为 一 03 V o t g 3x a 一 a y 一3Uo一 3 t 一 g 一3x 一3v o一 一 g 一3 y 式 中 t 为时间 7 7 Y t 为时变波面 u 分别为水 面处波动水质点沿 Y的速度分量 式 1 1 为 E u l e r 方程和连续方程在等水深线性波动时的简式近似形式 可用于波动绕射变形 的描述 I t o等 使用交错 网格 有限差分方法对式 1 1 的无量纲形式进行了数值求解 1 3 2 H e l m h o h z 方程 H e l n fl m l t z 方程的形式为 声 k 声 0 1 2 式中 3 2 3 x 0 2 3 y 声为速度势函数 Y z t 的水平变化 函数 亦称二维速度势 函数 二者之 间关系为 Y z f y e im x i 为虚数单位 式 1 2 是线性简谐波动条件下等水深水域 的波浪绕射方程 可用于任意形状港 湾和防波堤掩 护水域 的 波场确定 一般情况下需要通过数值计算来实现 数值计算通常采用单源点 边界元 法l4 2 基于上述两种方程 的波浪变形数学模型的缺点是等水深假定 在某些实际问题 中不一定满足该条件 1 4缓坡 方 程 1 缓坡方程 的形式 与特点 缓坡方程 的形式为 c 声 k C 声 0 1 3 缓坡方程的时变形式为 舶 J 12 一 c 一 k c 一叫 0 1 4 式中 为 声的时变形式 Y t 声 Y e 缓坡方程式 1 3 最早 由 B e o 圳于 1 9 7 2年根据势 波理论用小参 数展开方法导出 该方程也 可 由其 它 方法导出 4 B o o i j 给出了缓坡方程 的时变形式 式 1 4 缓坡方程的特点 a 缓坡方程可以看作是势波理论三维 L a p l a c e方程的一种简化近似形式 将三维问题化为二维问题 使 问题处理得 以简化 b 缓坡方程是线性单频波的折射绕射方程 结合固边界的反射边界条件 即可构成波浪传播变形的联合 折射绕射反射数学模型 成立条件是满足缓坡假定 即 h k h l o i j 详细地讨论 了缓坡方程在不 同 水底坡度条件下应用的精度 其结论是在海底坡度达到 1 3时仍可 以保证其使用的准确性 c 缓坡方程具有很宽的波浪频率 从短波到长波 和水深 从浅水到深水 适用范围 在 k h l浅水情况 下 缓坡方程简化为浅水长波方程 g h 声 声 O 在 胁 1深水情况或 常水深情况时 方程简化为 H e h n h o l t z 方程 k 声 O 该方程即上面介绍 的波浪绕射方程 d 可用 时变波面 1 7 Y f 和波面振 幅 y 分别替代式 1 4 和式 1 3 中的 和 声作为变量 而方程 形式不变 1 7 Y f y e y i y g e 缓坡方程式 1 3 是椭 圆型偏微分方程 因此也称椭圆型缓坡方程 时变缓坡方程式 1 4 为双曲型偏微 分方程 变量为复变量 方程本身具有不可分离的性质 维普资讯 海 洋 工 程 第 2 0卷 f 缓坡方程中未考虑底摩擦能量损失 波浪破碎 波浪的非线性和随机 不规则 性及波流相互作用等 2 缓坡方程 的各种简化近似形式 a H e l I T l h o l t z 方程型缓坡方程 删 0 1 5 式 为有效势函 一 为有效波数 b 抛物型缓坡方程 柏 3 x i k一一 1 i 2kCC a c c 一 一 一 2k CC e ay c 双 曲 型缓 圾 方程 C o p e l a n d的方程 的 f 0 3 t c c 7 0 Wa t a n a b e等的方程 不考虑能量耗散 0 3 t c 7 0 式 中 凡 c c 为单宽流量 d R C P WAVE缓 坡 方 程 5 3 赵士清等的方程 f 0 3 t c 7 0 张海文等的方程 不考虑能量耗散 0 1I n I V S I2 南 C C g V H 17 H c 5 0 1 8 S 0 1 9 式中 日为波高 S i l 5 l c o s O l S l s i n O为位相梯度 式 1 7 和 1 8 可通 过令 声 a e 代入缓坡方 程式 1 3 得到 3 缓坡方程的求解 和各种简化近似形式 缓坡方程 包括下述的改进形式 一般采用有限元方法 圳 主要是混合元 H E M 求数值解 在每个波 长上至少要有 8 个 一般 8到 1 0个 网格节点 由于方程本身为不可分离的椭圆型偏微分方程 对它 的离散 求解不能应用迭代法 受计算机容量 和速度的限制 对于大的计算域求解 比较困难 B e r k h o ff等 6 川曾将缓坡 方程的应用限制在不超过 1 0个波长尺度 范围的水域 Z h a n g L i b a n g 提 出了改进 的混合元方法 MH E M 和 Z h u等 6 2 提 出了双相关边界元法 D R B E M 采用改进数值方法的手段使缓坡方程 能在大水域 中求解并用 于解决实际工程问题 缓坡方程各种简化近似形式是为了克服椭 圆型缓坡 方程直接求解的困难 为其实际应用方便而作出的 H e l m h o l t z 方程型缓坡方程完 全是为 了直接求解缓 坡方程 而做的一种 简化形式 方 程形式仍 为椭 圆型 的 其数值求解方法有 广义最小余数法 G MR E S 共轭梯度法 C G 广义共轭梯度法 G C G 6 5 1 稳定 双共轭梯度法 B i C G S T A B 多重网格 mu l t i d 法 误差传播法 E V P 等 嘣 等 这些 方法都是 以有限 差分法为基础配以高效 的迭代技术 从改进数值方法的角度克服缓坡方程在大水域 中的求解难度 抛物型缓坡方程是在抛物近似假定下得到的方程 所谓抛物近似假定就是忽 略波向线 方向的绕射作用 而仅考虑沿波峰线 方向的绕射作用 式 1 6 为波浪传播 主方 向为 轴的抛物型缓坡方程 抛物型缓坡方程 的形式 比较简单 一般采用有限差分法离散求解 多采用 C r a n k N i c o l s o n差分格式 抛物型方程将缓坡方程 的边值问题化为初值问题 大大简化了计算 很适 用于 自外海至近岸 大面积海域范 围内波浪传播变形 的计 算 抛物型缓坡主程 的主要缺点有两个 其一是没有考虑地形和障碍物的反射作用 在反射作用比较强的地 方不适用 二是要求波浪基本沿主方 向 轴 传播 入射波向不得偏离主方向太大 这一限制也比较苛刻 维普资讯 第 4期 李孟国 等 近岸波浪传播变形数学模型的研究与进展 4 7 双 曲型缓坡方程是连续方程和动量方程构成 的方程组 和抛物型缓坡方程相 比 双 曲型缓坡方程没有 忽略反射波 和椭 圆型缓坡方程相比 双 曲型方程具有椭 圆型方程 的精度 且数值方法简单 用显式有限差分 法求解 按时间与空间向前推进 计算时间少 对有 M个节点 的正方形 网格 用椭 圆型方程求 解要求计算机 运算次数为 r 用双曲型方程求解则为 M 可以得到波浪随时间的变化过程等优点 一般用于港 内波浪 场计算 但由于双曲型方程为时变型方程 为使模 型收敛 需要用小的时间步长 通 常 由 C o u r a n t 数确定 在 相当多个波周期上进行积分 对大计算域仍需相当的计算时间 另外 开边界处理具有难度 R C P WA V E缓坡方程有三个优点 其一是将 椭圆型缓坡方程 的边 值问题化为初值 问题 简 化了求 解 其 二是所涉及的方程均在实数域内 且方程是定常的 因此计算空间 网格步长不受波长的限制 其三是可用简 单 的有限差分离散 空间步进求解 E b e r s o l e模式 的优点决定 了它能被方 便地用于大面积海域的波场计算 其缺点是没有考虑反射效应 且对波浪传播方向要求有和抛物近似方程相似 的限制条件 4 缓坡方程 的改进 a 椭圆型缓坡方程 的改进 椭圆型缓坡方程 已有的改进工作有 考虑底摩擦作用 考虑波浪破碎作用 弼 邡 考虑水流 的作 用 波流相互作用 舶 考虑非线性作用 踟 瑙 考虑波浪的不规则性 7 4 8 6 9 0 同时考虑水流和波浪的不 规则性 考虑非缓坡海底地形 保 留含有 h和 h 2 的项 同时考虑水流和非缓坡地形 同时 考虑水流 非缓坡地形和非线性作用 b 抛物型缓坡方程 的改进 抛物型缓坡方程 已有 的改进工作有 考虑底摩擦作 用 考虑 波浪破碎作用 考虑水流 的作用 波流相互作用 舶 考虑非线性作用 考虑波的不规则性 川 考虑大角度入射 考虑波浪反射 考虑非缓坡地形 和不连续地形 非直角坐标 系的应用 笛 时变抛物 型缓坡 方程 及应用 j 等 c 双曲型缓坡方程的改进 双曲型缓坡方程 已有的改进工作有 改进生波技术 求解技术 和边 界条件 引 考虑波浪破碎I s l 5 2 考虑非线性 考虑非缓坡地形I 1 3 6 等 d R C P WA V E缓坡方程的改进 R C P WA V E缓坡方程 已有的改进工作有 考虑底摩擦 考虑波浪破碎 3 2 7 6 考虑非线性I 8 o 8 a 考虑波 浪的不规则性 同时考虑波浪的不规则性和破碎 同时考虑水流和波浪 的不规则 1 4 3 1 4 5 等 对缓坡方程较为详细的综述介绍见文献 f 1 4 6 1 5 B o u s s i n e s q方 程 1 研究 B o u s s i n e s q方程 的两个重要参数 设 A h L和 lic 分别为波浪的特征波幅 特征水深 特征波长和特征波数 k 2 r L 则在研究 B o u i s q 方程中使用的两个无因次小参数分别是 1 h C 1 胁 和 A h 用于衡量水波运 动中的非线性程 度 用于衡量 水波的色散程度 在 B o u s s i n e s q方程研究 中 通常假定 D D 1 2 1 2 B o u s s i n e s q方程 的形式 与特点 1 8 7 2年 B 叫s s m e s q r I4 7 假定水平速度上下均匀 垂 向速度从 底面的零线性增加 到 自由表面 的最大值 得 到了经典 的一维非线性控制方程 称为 B o u s s i n e s q方程 P e r e n e 于 1 9 6 7年推导 出了变水深条件下的二 维 B o u s s i n e s q方程 称为经典 B o u s s i n e s q方程 或称 B o u s s i n e s q方程的标准形式 方程 的形式为 0 2 0t d d r 一 3 u u 舞 舞 扣 一 3 v u 一 式中 Y为与静止水面 某一基准面 重合 的直角坐标 系坐标 u t t 分别为水 深平均 的水 质点速度矢量沿 Y方向的分量 为波面到静止水面的距离 维普资讯 4 8 海 洋 工 程 第 2 卷 式 2 0 2 1 2 2 为时域 B o u i s q方程 B o u s s i n e s q方程还可以写成频域形式或用频域形式表达 经典 B o u s s i 0 n e s q方程具有如下特点 B o u i n e q 方程 为质量守恒的连续方程和不可压无粘流体的动量方程 方程右端的三阶混合空间时间 导数项 称为 1 3 o u s i n e q 项 该项 的产生是 因为方程 中考虑了垂 向加速度的影响 即色散项 是短波 区别于长 波的主要标 志 b B o u i n e q 方程假定垂 向速度沿水深为线性分布 由此得 出水平速度 和压力沿水深为抛物 型分 布 二 次多项式分布 B o u 1 q方程将 三维波动问题化为二维问题 使 问题处理得以简化 d B o u i q方程用流速和水位描述水体变化 运动要保持质量 和动量 守恒 因此 B o u s s i n e s q方程能 够 反映波浪运动的各种变形 如折射 绕射 反射及波浪之间的相互作用 B o u 1 q方程对 边界输入条件没有特殊要求 因此可以模 拟各种波形 如规则波 单 向不规则波 多 向不规则波 二阶长波等 f B o u s s i n e s q方程精确到 O t l 2 即方程中保 留了 O 项和 O 项 因此 B o u s s i n e s q方程 中包含 了 弱非线性和弱色散性 色散性 能精确到 A i r y 波精确解的 P a d e 0 2 阶近似 属于二 阶方程 g B o u s s i n e s q方程一般在时域 内求解 可以描述波动的变化过程 在数值求解时一般 时间步长取周期的 1 2 4 1 3 0 空间步长取波长 的 1 8 1 1 2 只能用 于较小范围水域 一般小于 1 0 k m 1 0 k m h 由于 B o u s s i n e s q 方程 中仅包含弱色散性 其只能用于相对较浅的水域 一般地 h L 0 2 2 为深水 波长 i B o u s s i n e s q方程 中没有考虑底摩擦 波浪破碎和环境水流的影响 i B o u s s i n e s q方程在数值求解时要涉及到方程离散 造波 边界消波和反射边界等若干技术 3 B o u s s i n e s q方程 的改进 由于 B o u s s i n e s q方程包含非线性和色散性 能够反映和描述海岸工程关心 的各种波浪变形现象 被认为 是短波数值模拟领域 的一个重大突破 但 B o u s s i n e s q方程 只具有 弱色散性和弱非线性 而且 方程 本身没有 考虑底摩擦 波浪破碎和环境水流的影响 这些都 严重影响 了 B o u s s i n e s q方程 的实 际应用 从 1 9 9 0年以后 B o u s s i n e s q方程的理论和应用有 了很大的发展 出现了各种形式 的改进型 B o u s s i n e s q方程 对 B o u s s i n e s q方程 的每一改进或发展都意味着一种新的 B o u s s in e s q方程形式的出现 形成了 B o u s s in e s q类 B o u s s i n e s q t y p e 方 程 目前 B o u s s i n e s q方程 已经在改进方程的色散性能及变浅作 用性能 1 同时改进方程 色散性 能 变浅 作用性 能 和非 线 性 性 能 j 考 虑 底 摩擦 作 用 1 一 t r 2 考 虑 复杂 地 形 作 用n l 7 4 考 虑 波 浪 破 碎 作 用 僻 1 考虑环境水流作用n m 9 3 等方面有 了很大进展 改进方程 的色散性能 变浅作用性能和非线性性能是为 了拓展经典 B o u s s i n e s q方程的水深应用范围 使 其能够应用于深水区域 在这方面有两大部分工作 其一是单 纯改进方程 的色散性能和变浅作用性能 不考 虑非线性性能 的改进 改进后方程仍为二阶 其二是 同时改进方程 色散性能 变浅作用性能 和非线性 性能 改进后方程为三阶以上的高阶 B o u s s i n e s q方程 通过方程的色散性能和变浅作 用性能 的改进 各改进型 B o u s s i n e s q方程的线性色散关 系达 到 A i r y波精 确解的 P a d e 2 2 P a d e 4 4 阶近似 线性变浅作用性能精度达到 0 0 水深适用范 围已经能达 到半个波长 到一个波长的水深 高阶 B o u s s i n e s q方程能够同时改进方程的色散性 非线性 和变浅作用性能 使改进方程从浅水到深 水的 色散性能 变浅作用性能都有很高的精度 同时 方程的非线性性能的精度也得到了相应的提高 但是 方程 形式越来越复杂 偏导数的阶数越来越高 最高到五阶 给数值求解造成困难 4 B o u s s i n e s q方程的求解与应用 对 B o u s s i n e s q方程的求解分时域求解和频域求解 两大 方面 时域求 解又分在直角 坐标 系中求解 和非直 角坐标系中求解 在直角 坐 标 系 中 时 域求 解 B o u s s i n e s q方 程 的 方 法 主要 为有 限差 方 法 1 4 8 1 5 1 1 5 2 1 5 8 1 6 0 19 0 2 0 o 和有 限元 法n 韶 删 m 3 1 以有限差分法居多 为主要数值方法 在使 用有 限差分的数值方法 中 P e n e J 鹪 最早使 用有 限差分法对一维 B o u s s i n e s q方程进行 了数值求解 A b b o t t 则最早对二维 B o u s s i n e s q方程进行 了求解 维普资讯 第 4期 李孟 国 等 近岸波浪传播变形数学模型的研究与进展 4 9 使用的网格 均 为 矩 形 网 格 变 量 交 错 布 置 即 交 错 矩 形 网格 其 中被 广 泛 采 用 的数 值 方 法 有 A D I 法 I 5 l 一 昕 和 P C 预估 校正 法 卯 J L i 等 酗 使用边界拟合坐标对 B o u s s i n e s q 方 程进行了数值求解 时域 B o u s s i n e s q方程在求解时不仅要涉及到方程的数值离散 还要 涉及到造波 边界消波和反射边界等 若干技术 在这方面已经出现 了很多可以参考 的研究成果n 御 I 2 m 频域求解 j 就是将 B o u s s i n e s q方程转换 到频域求 解 将 时域 B o u s s i n e s q方程转 换到频域 B o u s s i e s q 方程的做法通常是将时域方程中的变量展成有限阶 F o u r ie r 级数 再带人时域 B o u s s i n e s q 方程中即得到 频域 B o u s s i n e s q方程 通常采用抛物近似技术求解频域 B o u s s i n e s q方程 B o u s s i n e s q 方程在近岸波浪动力学研究领域 中已经获得 了广泛 的应用 目前用 B o u s s i n e s q方程研究 的问 题有 港 口航道波浪模拟 非线性波与流相互作用 的理论 2 非线性波与波相互作用的理论 水 流 对浅水波浪非线性相互作用的影 响 波浪在岸滩上 的爬 高 波动水平速度垂直结构 的计算 波浪破 碎 波生水平近岸流 波生底流及波浪增水的数值模拟研究l l 缱 m 破碎拍和低频震荡研究 跎 泥沙 运动与岸滩演变 j 特殊海底底床上波浪传播非线性 变形研究 具有渗透 层的底床 珊瑚礁底 床 有 障 碍物海底 等 对 B o u s s i n e s q方程的研究较为详细的综述介绍见文献 2 2 7 1 6 A i r y 波理论方程 对于上述经典 B o u s s i n e s q方程来说 当 O 动量方程式 2 1 2 2 右边的三阶导数项可 以忽略 于是得 到不计色散效应的浅水非线性长波 A i ry波理论方 程 李德筠等 应用 A i ry波理论方程对 圆柱形人工 岛和 海 凹的短波绕射 折射分别进行 了计算 并且认为 A i ry波理论方程没有水深 限制 可应用常规 的 A D I 有 限差 分数值方法求解 可 以对任意形式的绕射 折射和反射问题进行计算 张永刚 1 5 4 则认为对于很多波浪 问题 A i ry波理论无法真实描述波浪的传播及运动 1 7 角谱模型 U 8 1 1 9 瑚 瑚 角谱就是波浪场沿某一直线 的 F o u ri e r 变换 它的每个组成部分代表在某一方 向上传播 的平 面波 的复振 幅 角谱模型认为传播的波浪场可 以看作是 由很 多以不同角度 与传播方 向夹角为 0 兀 2 同步传 播 的波浪的迭加 通过 F o u ri e r 变换获得波场角谱 导出波浪传播 的角谱计算公式 通过反 F o u r i e r 变换得到实 际波浪场 角谱模型可以用于规则波 线性 1 和非线性 单向不规则波 瑚 和多 向不规则波i 2 3 o j 的折 射绕射计算 特别适用于多向不规则波进入港内的波浪变形计 算 角谱模 型的优点是E 2 3 o a 只需在外边 界 处考虑入射波浪的方向性 计算域内的波浪计算与方向分布范围及其分割无关 b 计算网格可以取得较大 每个波长最多不超过六个点 c 计算方法简单 无需进行迭代 试算 因此具有计算速度快 计算域较大的优 点 d 可以得到各计算点的波面过程线 进而可以确定各计算点处的方向谱 角谱模型的缺点是 2 3o 计算 域形状要为矩形 b 边界无反射或者计算域很大 c 计算域 内不能有 出水物体存在 d 不 能考 虑波浪破碎 和 水流影响 1 8 L a p l e e方程 直接数值求解势波理论的完整的三维 L a p l a c e方程及其定解条件 自由表面运动学 动力学条件 和床 面 运动学条件 可 以精确模拟全水深完全非线性波浪的传播变形 折射 绕射 反射 非线性波之间 的相互作用 等 对 Lap l a c e 方 程 的主要数 值方 法有边 界元 法 B E M 局部 多项 式近 似法 L P A E 2 z 3 3 和 多重 网格 法 E 2 3 4 与缓坡方程相 比 Lap l a c e 方程可以描述非缓坡海底地形上的线性和非线性波浪 的传播 与 B o u s s i q方 程相比 Lap l a c e 方 程可 以描述全水深 的波浪传播 因此 用 Lap l a c e方程模 拟波浪的传播 变形要 比用缓坡方 程和 B o u s s i n e s q方程都精确 然而 Lap l a c e方程描述 的是无旋 无能耗 的理想 流体运动 因此 Lap l a c e 方程 不 能描述波浪 的破碎情况 1 9 N a v i e r S t o k e s 方 程 流体运 动的 N a v i e r S t o k e s 方程和连续方程也可以模拟波浪的传播变形 一 不可压缩流体 的 N a v i e r S t o k e s 方 程和连续方程 的垂 向二维形 式 垂向二维 N a v i S t o k 方程和连续方 程 被广泛使用 建立可以模拟线性波 非线性波 规则波以及不规则波在任意地形条件下传播变形 的 维普资讯 5 0 海 洋 工 程 第 2 0卷 二维数值波浪水槽 模拟波浪破碎 艘 等 数值方法有有限差分法 垂 向坐标变换法 MA C法 流体体积法 V O F E2 3s 2 4o I 和有限元法 垂向二维数学模型适合理论研究 不能直接解决实际工程问题 陈阳 基于可压缩 的完整的三维 N a v i e r S t o k e s 方程和连续方程 使用有限差分方法 用 MA C法确定 自 由表面位置 用压力校正法确定水体内部各点的压强值 建立了三维波浪数学模型并计算了波浪对直立圆柱 的作用 L i 等 副 基于不可压缩的完整的三维 N a v i e r S t o k e s 方程和连续方程 使用垂 向坐标变换技术和多重 网格 方法建立了三维波浪数学模型 没 有考 虑波浪破碎 使在较 大水域数值求解完整 的三维 N a v i e r S t o k e s 方 程 和连续方程成为可能 基于不可压缩的完整 的三维 N a v i e r S t o k e s 方程和连续方程的波浪数学模型可以描述全水深 任意坡度 的线性和非线性的波浪传播变形 并可精确计算速度的垂线分布 与缓坡方程相 比 N a v i e r s t o k e s 方程可以描 述非缓坡海底地形上 的线性和非线性波浪的传播 与 B o u s s i n e s q方程相 比 N a v i e r S t o k e s 方程可以描述全水深 的波浪传播 与 l a p l a c e方程相 比 N a v i e r S t o k e s 方程可以描述波浪破碎 将基 于完整的三维 N a v i e r S t o k e s 方 程和连续方程的波浪数学模型应用于实际还有很多工作要做 如波浪破碎 的考虑 涡动粘性参数的准确确定 等 另外 计算机 的容量和速度也是一个问题 尽管如此 该模型还是很有发展前途的 2 结语 在国内外大量文献的基础上 对近岸波 浪传播 变形主要数学模 型的发展情况进行 了综 述 从 中不难 看 出 近岸波浪数学模型研究 内容非常丰富 应用非常广泛 有 以下几条结论 a 近岸波浪传播变形的数学模型方法多种多样 其中基于射线理论 能量平衡方程理论 波作用量守恒 方程 H e l m h o h z 方程 缓坡方程和 B o u s s i n e s q方程的数学模型的研究和应用 占多数 基于 A i r y 波理论方程 角 谱模型 lap l a c e 方程 N a v i e r S t o k e s 方程等的数学模型 占少数 b 对缓坡方程 B o u s s i n e s q方程进行理论改进 数值方法研究 和实 际工程应用研究仍将是今后 波浪数学 模型研究的热点 c 如果把缓坡方程及其各种改进形式称为缓坡方程族 那 么 缓坡 方程族基本可 以解决从缓坡到 陡坡 从长波到短波 从深水到浅水 从线性到非线性 从规则波 单频率波 到不规则波 随机波 从大面积开敞水 域到港池 航道和防波堤周围等各种各样的海岸河 口地 区港 口海岸工程 中所涉及的波场计算 问题 根据实 际问题的性质特点 即可从族 中选用一套模式去解决 d B o u s s i n e s q方程尚不能进行大面积波场计算 更适合 于小范围海域波场 港 内波场 破碎带内波场及其 动力学的计算 e 目前还没有可 以完成从外海到港 内 使用一套 网格 一个方程 波场计算 的波浪场模型 一般是外海到 近岸某一处 港外 使用抛物型或 R C P WA V E缓坡方程计算 港 内使用椭圆型缓坡方程 包括 H e l m h l t z 型缓坡 方程 或双曲型缓坡方程或 B o u s s i n e s q 方程计算 f 基于 lap l a c e 方程和 N a v i e r S t o k e s 方 程的波浪数学模型还处在研究 阶段 短期内难 以用于解决实际工 程问题 由于 lap l a c e 方程不能描述波浪破碎 处理有旋 运动和有能耗 问题 其 应用受到限制 基 N a v i r S t o k e s 方程的波浪数学模型是很有发展前途的 g 发展高效稳定的数值方法 包括边界条件处理方法 是一项十分必要的工作 限制缓坡方程 Bo u s s i e s q 方程 L a p l a c e 方程和 N a v i e r S t o k e s 方程应用的原因之一是其数值求解 困难 一是受计算机的容量和速度限制 二是没有高效稳定 的数值方法 高效稳定 的数值方法可以减少计算机的内存 加快计算机的计算速度 致谢 本文得到了文圣常院士的审 阅 作者深表谢意 参考文献 1 A r t h u r R S R e f t a c t i n o f w a t e r w a V e s b y i s l a n d s a n d s h o al s w i t h c i r c u l a r b o t t o m c n t o u r s J r r a 璐 A n 1 e r G e o p h y s U n 1 9 4 6 2 7 2 1 6 8 1 7 7 c 2 Mu n k w H A r t h u r R S Wa V e i n t e n s i t y a l o n g a r e f a c t o d r a y I n G r a v it y w a v e s J Na il B u r s l a n d a r d s 1 9 5 2 C i I u l a I 5 2 l 9 5 1 0 8 3 文圣常 余宙文 海波理论与计算原理 M 北京 科学出版社 1 9 8 4 维普资讯 第 4期 李盂 国 等 近岸波 浪传播 变形 数学模 型的研究与进 展 5 l 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 3 0 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 3 8 3 9 4 0 4 1 4 2 4 3 蒋德才 海洋波动动力学 M 青岛 青岛海洋大学出版社 1 9 9 2 龚崇准 戴功虎 浅水波浪变形数学模型与淤泥质海岸底摩擦系数的确定 J 海洋工程 1 9 8 3 1 3 2 l 一 3 3 路季平 海浪折射波高的数值计算 J 山东海洋学院学报 1 9 7 8 8 2 1 1 1 张峻岫 计算水波折射的 D o b s o n方法及其应用 J 水动力学研究与进展 1 9 8 6 1 2 l 0 2 1 1 1 施勇 张东生 灌河口波浪浅水折射变形数值计算 J 河海大学学报 1 9 9 2 2 0 1 1 l 8 l 2 3 G r i s w o l d G M N u m e r i c a l c al e t d a ti o n o f w a v e r e f r a c t i o n J J G e o p h y s R e s 1 3 6 8 6 1 7 1 5 1 7 2 3 山东海洋学院海洋系 在电子计算机上用数值求解方法作海浪折射图 A 海洋科学集刊 C 1 9 7 3 5 6 68 李陆平 吴秀杰 郭洪梅 等 海浪折射数值计算 J 黄渤海海洋 1 9 8 6 4 4 1 0 1 4 沈剑平 张琦 直接在网格点上作波浪折射的数值计算模型 J 青岛海洋大学学报 1 9 9 1 2 1 4 2 1 3 0 陈耀松 曹念铮 在复杂地形上波浪折射的射线理论 J 水动力学研究与进展 1 9 8 8 3 1 1 0 8 1 1 2 李德筠 沈国光 变深区浅水波的绕射和折射计算 J 海洋学报 1 9 9 5 1 7 2 1 0 6 1 1 6 蒋德才 张琦 考虑底摩擦的波浪折射计算 J 青岛海洋大学学报 1 9 8 8 1 8 1 1 8 徐德伦 蒋德才 王风聪 地形和流同时影响下波向线的数值计算 J 山东海洋学院学报 1 9 8 7 1 7 1 1 8 李陆平 徐洪达 深度和流速依时变化水域中海浪折射数值计算 J 海洋学报 1 9 9 1 1 3 4 7 0 3 7 0 8 白玉川 李大鸣 王尚毅 流速和潮位变化对波浪在近岸区传播的影响 J 海洋学报 1 9 9 6 1 8 3 9 2 9 9 H e a d l a n d J R C h u H L A n u m e r i c al m o d e l f o r ref r a c t i o n o f l i n e a r and e n o i d a l w a v e s l A J I n P r o c 1 9 t h l n t C o n f o n C o a s t al E n g C A S C E 1 9 8 4 1 1 l 8 1 1 3 1 0 h I S G r o s c h C E N u m e ri c al s t u d y o f fi n i t e a m p l i t u d e w a v e r e f r a c t i o n J J Wt r w y P o r t C o a s t and O c E n g r g A S C E 1 9 8 5 l l 1 1 7 8 9 5 金巍霞 龚崇准 不规则波折射的数学模型 J 海洋工程 1 9 9 5 1 3 1 5 1 6 1 张长宽 张东生 黄海辐射沙洲波浪折射数学模型 J 河海大学学报 1 9 9 7 2 5 4 1 7 汪炳祥 波群的波向线方程 J 山东海洋学院学报 1 9 8 6 1 6 3 1 1 4 汪炳祥 波群的波向线散开因子方程 J 山东海洋学院学报 1 9 8 8 l 8 1 1 9 陈伯海 计算波群折射的方法及其应用 J 山东海洋与湖沼 1 9 9 5 2 6 6 6 6 5 6 7 2 L o z a n o C R e f r a c t i o n d i ff r a c t io n m o d e l fo r l i n e a r s u ff a c e w a t e r w a v e s J J F l u i d Me c h l 9 8 0 1 0 1 7 0 5 7 加 蒋德才 叶安乐 考虑底摩擦的波动折射绕射联合模式的应用 J 海洋学报 1 9 8 7 9 6 6 9 0 6 9 7 尹宝树 蒋德才 于复杂地形和存在流的浅水域波浪的折射绕射联合模式 J 海洋学报 1 9 8 9 1 1 6 682 6 9 2 T s a y T K L i u P L F N ume r i c al s o l u t i o n o f w a t e r w a v e re f r a c t i o n and d i ff r a c t i o n p r o b l e m s i n t h e p a r a b o l i c a p p r o x i m a t i o n J J G e o p h y s R ES 1 9 8 2 8 7 C 1 0 7 9 3 2 7 9 4 0 L i u P L F T s a y T K N ume ri c al p r e d i c a t i o n o f w a v e w a mf o r m a t i o n J J Wt r w y Port C o a s t a n d O c E n g r g A S C E 1 9 8 5 1 1 1 5 8 4 3 8 5 5 李孟国 蒋德才 近岸波浪传播折射变形的数学模型综述 J 海岸工程 1 9 9 9 1 8 4 1 0 0 1 0 9 李盂国 张大错 浪致近岸水位变化及流场的数值计算 J 海洋学报 1 9 9 6 1 8 4 9 6 1 1 3 宋志尧 钟湖穗 严以新 开敞水域波浪折射变形数值计算 A 见 第八届全国海岸工程学术讨论会暨 1 9 9 7年海峡两岸 港 口及海岸开发研讨会论文集 下 C 北京 海洋出版社 1 9 9 7 3 2 0 3 2 7 Da l r y mpl e R A Mo de l fo r r e f r a c ti o n o f w a t e r w a v e s J J Wt r w y Port C o ast and O c E n g r g A S C E 1 9 8 8 1 1 4 4 4 2 3 4 3 5 H a r d y T A K r a u s N C Cou p l i n g S t o k Es a n d e n o i d al w a v e t h e o ri es in a n o n l i n e ar r e f r a c t i o n m o d e l A I n P