机械振动 全PPT课件.ppt

1 4振动的分类 振动现象按系统相应的性质可分为两大类 确定振动与随机振动 1 对于一个确定系统 在受到确定激励时 响应也是确定的 这类振动称为确定振动 2 对于确定系统 在受到随机激励时 系统的响应是随机的 这类振动称为随机振动 随机振动只能用概率统计的方法来描述 对于随机结构系统来说 无论是受到确定激励 还是随机激励 其响应均为随机的 这类振动称为随机结构 系统 振动 1 4振动的分类 此外 还可以按激励的控制方式分类如下所述 1 自由振动 系统受初始激励后不再受外界激励的振动 2 强迫振动 系统在外界控制的激励作用下的振动 3 自激振动 系统在自身控制的激励作用下的振动 4 参激振动 系统自身参数变化激发的振动 1 5振动问题及其解决方法 1 振动问题 不论是确定的还是随机的振动问题 一般说来 无非是在激励 响应和系统特性三者之中已知两者求第三者 1 振动分析 2 系统识别 在激励条件与系统特性已知的情形下 求系统的响应 就是所谓振动分析 在激励与响应已知的情形下 来确定系统的特性 就是所谓振动特性测定或系统识别 1 5振动问题及其解决方法 3 振动设计 4 振动环境预测 实际的振动问题往往是错综复杂的 它可能同时包含识别 分析和设计等几个方面的问题 在一定的激励条件下 如何来设计系统的特性 使得系统的响应满足指定的条件 这就是所谓振动综合或振动设计 在系统特性和响应已知的情形下 求激励 即判别系统的环境特性 就是所谓振动环境预测 1 振动问题 1 5振动问题及其解决方法 2 解决振动问题的方法 理论分析 主要体现在 计算 实验研究 有虚拟 试验 1 5振动问题及其解决方法 工程实际振动问题的计算结构动力学 计算技术在振动力学中的应用 1 5振动问题及其解决方法 计算技术在汽车振动分析中的应用 用计算机模拟整车的动力学特性 1 5振动问题及其解决方法 计算工程软件在振动分析中的应用 发动机的有限元分析的动态演示 1 5振动问题及其解决方法 计算技术在飞机振动分析中的应用 飞机机翼的振动演示 1 5振动问题及其解决方法 计算结构动力学在振动分析中的应用 工程实际振动问题的动态演示 1 5振动问题及其解决方法 计算工程软件在振动分析中的应用 桥梁振动的动态演示 1 5振动问题及其解决方法 计算工程软件在振动分析中的应用 第一阶振型图 第二阶振型图 风振响应图 有限元图 北京植物园展览温室风振响应 1 5振动问题及其解决方法 计算工程软件在振动分析中的应用 涡轮机频率分析的动态演示 1 5振动问题及其解决方法 振动在汽车碰撞中的应用 汽车正面碰撞的演示 1 5振动问题及其解决方法 振动在汽车碰撞中的应用 汽车正面碰撞的振型演示 1 5振动问题及其解决方法 振动在汽车碰撞中的应用 汽车碰撞实景以及前后分析图解 1 5振动问题及其解决方法 振动力学在现代科技的应用 纳米管的1阶 A 2阶 B 3阶 C 振动的振型与悬臂梁振型相同 纳米管的截面尺度约1纳米 nm 10 3微米 m 10 6毫米 mm 1999年Science杂志 1 5振动问题及其解决方法 振动力学在现代科技的应用 纳米管振动的幅频特性与单自由度系统特性完全相同 且共振频率很高 达2 4MHz 因此以纳米管作为振动传感器可以获得很宽频带的传感器 1999年Science杂志 1 5振动问题及其解决方法 振动实验与测试 线性条件下 被测试的结构的振动特性是结构固有的 可以用不同的数学模型描述 但这些模型均是对结构特征值的近似表示 关键在于解决实验模型和结构实际特性之间的近似程度问题 测试系统应包括 试验结构 激励系统 测量系统 分析系统 检测系统 1 5振动问题及其解决方法 振动实验与测试 光测法 将机械振动转换为光信息进行测量的方法 电测法 机电变换原理 机械法 杠杆 相对式接触式 或惯性原理 绝对式接触式 接收并记录振动的方法 振动测试方法如下所述 1 5振动问题及其解决方法 振动实验与测试 感应式振动试验台 可进行试验的项目 冲击 正弦 正弦 随机 随机 随机 随机 实测信号模拟 冲击响应谱 瞬态捕捉 1 5振动问题及其解决方法 振动实验与测试 用振机进行拱坝原体振动试验 三向六自由度 两个水平向及竖向的平动 绕三个主轴的转动共三向六个自由度 地震模拟振动台 1 5振动问题及其解决方法 振动实验与测试 高塔的风洞实验和振动台架实验 1 5振动问题及其解决方法 振动实验与测试 高层建造结构振动台模型试验 1 5振动问题及其解决方法 振动实验与测试 采用激振器对整车进行激励 激振器端部安装力传感器 通过安装在车架和车身上的传感器测量车辆的动力响应 整车模拟振动试验台 1 5振动问题及其解决方法 振动实验与测试 军用飞机发动机齿轮在飞行过程中出现断裂 经过模态分析发现齿轮某一阶工作频率与发动机工作频率非常接近 安装在振动台上以此频率进行激励 一小时以后齿轮出现与实际工作破坏相同的裂纹 表明是共振引起破坏 1 5振动问题及其解决方法 振动实验与测试 喷气飞机全机振动试验 1 5振动问题及其解决方法 振动实验与测试 空调风机的振动模态实验测试实例图示 1 5振动问题及其解决方法 振动实验与测试 机械系统中 回转体不平衡引起的振动 往往也是一种周期性运动 例如 下图是某钢厂减速机上测得的振动信号波形 测点3 可以近似的看作为周期信号 某钢厂减速机振动测点布置图 1 6自由度 确定一个振动系统空间位置所需的独立坐标的个数 称为振动系统的自由度 如下图 只需要用一个独立坐标就可以完全确定振动系统的位置 所以称它们为单自由度系统 1 6自由度 下图给出了两自由度的几个例子 a 假定其中的质量A B只能沿直线平动 b 圆盘C D只能绕固定轴转动 c 刚杆EF限于在一个铅垂平面内运动 且其重心限于沿铅垂线运动 1 7单位 国际单位制 SI 包括 1 七个明确定义的基本单位 2 派生单位 3 补充单位 SI制基本单位举例 第二章单自由度系统的自由振动 自由振动概述 任何具有质量和弹性的系统都能产生振动 若不外加激励的作用 振动系统对初始激励的响应 通常称为自由振动 保守系统在自由振动过程中 由于总机械能守恒 动能和势能相互转换而维持等幅振动 称为无阻尼自由振动 实际系统不可避免存在阻尼因素 由于机械能的耗散 使自由振动不能维持等幅而趋于衰减 称为有阻尼自由振动 2 1简谐振动 最简单的单自由度振动系统就是一个弹簧连接一个质量的系统 如图2 1 1所示的弹簧 质量系统 弹簧 质量系统有一个共同的特点 当受扰动离开平衡位置后 在恢复力作用下系统趋于回到平衡位置 但是由惯性它们会超越平衡点 超越后 恢复力再次作用使系统回到平衡位置 结果系统就来回振动起来 图2 1 1 2 1简谐振动 2 1 1 设在某一瞬时t 物体的位移为x 则弹簧作用于物体的力为 kx 以和分别表示物体的速度与加速度 由牛顿定律 有 弹簧质量系统受力分析 2 1简谐振动 微分方程的求解 根据常微分方程理论 式 2 1 3 的解具有下面的一般形式 式中A1和A2是取决于初始条件t 0 的积分常数 2 1 4 这里为系统的固有频率 令 2 1 2 2 1 3 这是二阶常系数线性齐次常微分方程 方程 2 1 1 改写为 2 1简谐振动 对解的进一步讨论 式中常数A和 2 分别称为振幅和相角 方程 2 1 7 说明该系统以固有频率 n作简谐振动 2 1简谐振动 简谐振动的定义及矢量表示 凡是系统响应可以用时间的正弦函数 或余弦函数 表示的振动 就是简谐振动 矢量A与垂直轴x的夹角为 nt A在x轴上的投影就表示解x t Acos nt 当 nt 角随时间增大时 意味着矢量A以角速度 n按逆时针方向转动 其投影成谐波变化 图2 1 2 2 1简谐振动 振动周期 振动重复一次所需要的时间间隔 称之为振动周期 在简谐振动的情况下 每经过一个周期 相位就增加2 因此 n t T nt 2 故有 2 1 9 实际上T代表发生一次完整运动所需要的时间 周期通常以秒 s 计 2 1简谐振动 振动频率 在单位秒时间内振动重复的次数 称为振动频率 一般用f表示 2 1 10 频率的单位为次 秒 称为赫兹 Hz 2 1简谐振动 用初始条件表示自由振动系统微分方程的积分常数 设在初瞬时t 0 物体有初位移与初速度 则代入式 2 1 4 及其一阶导数 振动系统对初始条件的响应为 2 1 10 比较方程 2 1 4 和 2 1 10 并利用方程 2 1 6 可以得到振幅A和相角 的值 2 1 11 或 2 1简谐振动 弹簧悬挂的物体沿铅锤方向的振动 当振动系统为静平衡时弹簧在重力mg的作用下将有静伸长 2 1 12 在重力与弹簧力的作用下 物体的运动微分方程为 2 1 13 因为mg k s 上式仍可简化为 图2 1 3 2 1简谐振动 从弹簧的静变形可以方便的计算出振动系统的固有频率 2 1 14 静变形法测系统的固有频率 2 1简谐振动 例2 1 1均匀悬臂梁长为l 弯曲刚度为EJ 重量不计 自由端附有重为P mg的物体 如图2 1 4所示 试写出物体的振动微分方程 并求出频率 解 由材料力学知 在物体重力作用下 梁的自由端将有静挠度 则频率为 图2 1 4 例题 静变形法求系统的固有频率 例2 1 1 2 1简谐振动 例题 用振动微分方程求系统的固有频率 例2 1 1 这里 悬臂梁起着弹簧的作用 自由端产生单位静变形所需要的力就是梁的弹簧系数 物体梁端的振动微分方程为 即 则频率为 2 1简谐振动 例题 列写振动微分方程求系统的周期 例2 1 2 例2 1 2可绕水平轴转动的细长杆 下端附有重锤 直杆的重量和锤的体积都可以不计 组成单摆 亦称数学摆 杆长为l 锤重为P mg 试求摆的运动微分方程及周期 假定角 不大 可令sin 则上式简化为 解 取偏角 为坐标 从平衡位置出发 以逆时针方向为正 锤的切向加速度为 故有运动微分方程为 图2 1 5 2 1简谐振动 例题 列写振动微分方程求系统的周期 例2 1 2 故 则振动周期为 2 1简谐振动 例题 列写振动微分方程求系统的周期 例2 1 3 例2 1 3可绕水平轴摆动的物体 称为复摆 亦成为物理摆 设物体的质量为m 对轴O的转动惯量为I 重心G至轴O的距离为s 如图2 1 6所示 求复摆微幅振动的微分方程及振动周期 解 取偏角 为坐标 以逆时针方向为正 复摆绕定轴转动的微分方程可列为 假定角 不大 可令sin 则上式简化为 这就是振动微分方程 图2 1 6 2 1简谐振动 例题 列写振动微分方程求系统的周期 例2 1 3 故固有频率为 则振动周期为 2 1简谐振动 例题 列写振动微分方程求系统的周期 例2 1 4 解 设 为圆盘相对于静平衡位置的角坐标 微分方程为 例2 1 4铅垂圆轴 上端固定 下端装有水平圆盘 组成扭摆 如图2 1 7所示 设有力矩圆盘及圆轴下端绕有转过某一角度 后突然释放 则圆盘将在水平面内进行扭转振动 已知圆轴的扭转弹簧系数 使轴的下端产生单位所需的扭矩 为k N m rad 质量不计 圆盘对转轴的转动惯量为I 求扭摆的振动微分方程及周期与频率 图2 1 7 2 1简谐振动 例题 列写振动微分方程求系统的周期 例2 1 4 可见扭摆的自由振动也是简谐振动 其周期与频率为 故 或 2 2能量法 能量法求解系统的振动微分方程与固有频率 对于能量无耗散的振动系统 在自由振动时系统的机械能守恒 2 2 1 2 2 2 2 2 3 对时间求导 得 如果取平衡位置为势能零点 由机械能守恒定律 有 化简后可得振动方程 化简后可得系统固有频率 2 2能量法 例题 用能量法求解系统的振动微分方程与固有频率 例2 2 1 例2 2 1有一个重量为W 半径为r的实心圆柱体 在半径为R的圆柱形面上无滑动地滚动 如图2 2 1所示 假设该滚动的圆柱体进行简谐运动 试求它绕平衡位置作微小摆动时的固有频率 n 解 圆柱体在摆动时有两种运动 移动和滚动 设 坐标如图2 2 1示 摆动时圆柱体中心C点的速度及圆柱体的角速度分别为 图2 2 1 2 2能量法 例题 用能量法求解系统的振动微分方程与固有频率 例2 2 1 系统的动能T为 若选圆柱体中心C在运动过程中的最低点为零势能点 则系统的势能为 圆柱体的势能为相对于最低位置O的重力势能 2 2能量法 例题 用能量法求解系统的振动微分方程与固有频率 例2 2 1 由式 2 2 2 有 上式可以简化为 当圆柱体作微摆动时 因此系统的势能为 2 2能量法 例题 用能量法求解系统的振动微分方程与固有频率 例2 2 1 故系统固有频率为 系统的固有频率也可以用Tmax Umax来计算 设系统作自由振动时的变化规律为 则系统的最大动能 势能分别为 则得固有频率 n同前 2 2能量法 例题 用能量法求解系统的振动微分方程与周期 例2 2 2 解 在杆有微小偏角 时 弹簧的伸长及锤的位移与速度可以近似的表示为a l 与 故振动系统的动能与势能可以表示为 例2 2 2细杆OA可绕水平轴O转动 如图2 2 2所示 在静平衡时成水平 杆端锤的质量为m 杆与弹簧的质量均可略去不计 求自由振动的微分方程及周期 图2 2 2 2 2能量法 例题 用能量法求解系统的振动微分方程与周期 例2 2 2 代入方程 2 2 2 有 由此可得 固有频率为 周期为 2 3等效刚度系数 弹簧刚度系数的定义 弹簧刚度系数就是使弹簧产生单位变形所需要的力或力矩 2 3 1 同一弹性元件 根据所要研究振动方向不同 弹簧刚度系数亦不同 以一端固定的等直圆杆为例加以说明 如图2 3 1所示 图2 3 1 2 4等效刚度系数 等直梁在不同方向的刚度 确定沿x方向的刚度时 在B处沿x方向加一垂直力F B点在x方向的刚度系数为 根据材料力学知 B点在x方向的位移为 图2 3 1 2 4等效刚度系数 等直梁在不同方向的刚度 确定沿y方向的刚度时 在B点沿y方向加一横向力P 杆作弯曲变形 根据材料力学知 B点沿y方向的位移 B点沿y方向的刚度系数为 2 4等效刚度系数 等直梁在不同方向的刚度 杆件作转扭 产生扭角 根据材料力学知 B点沿x轴的扭角为 确定绕x轴的转动方向的刚度 需要在B端绕x轴转动方向加一扭矩M B点绕x轴转动方向的刚度系数为 2 3等效刚度系数 螺旋弹簧在不同方向的刚度 对于螺旋弹簧 在承受轴向拉伸或压缩 扭转与弯曲变形时 刚度系数分别为 式中E为弹性模量 G为剪切模量 d D分别为簧丝 簧圈直径 n为弹簧有效圈数 工程中用到的弹簧类型很多 计算时需要其刚度系数 一般可以根据等效刚度系数的推证方法加以推导 2 3等效刚度系数 串 并联弹簧的等效刚度的计算 图2 3 2 a 是两个串联弹簧 刚度系数分别为k1和k2 B点的位移及等效刚度系数为 串联弹簧的作用使系统中的弹簧刚度降低 如果有n个弹簧串联 刚度系数分别为k1 k2 kn 则等效刚度系数k应满足关系式 2 3 2 图2 3 2 2 3等效刚度系数 串 并联弹簧的等效刚度的计算 图2 3 2 b 是两个并联弹簧 刚度系数分别为k1和k2 两个弹簧所受的力分别为k1xB k2xB 并联弹簧的系统刚度是原来的弹簧刚度的总和 比原来各弹簧的刚度都要大 如果有n个弹簧并联 其弹簧刚度系数分别为k1 k2 kn 则等效刚度系数为 2 3 3 B点的等效刚度 根据静力平衡条件得 图2 3 2 2 3等效刚度系数 串 并联弹簧举例 弹簧的并联与串联 不能按表面形式来划分 应从力的分析来判断 图2 3 3 a 与 b 中的弹簧为串联 而 c 与 d 中的弹簧则属于并联 图2 3 3 第三章单自由度系统的强迫振动 本章将主要讨论振动系统由外部持续激励所产生的振动 称为强迫振动 系统对外部激励的响应取决于激励的类型 依照从简单到复杂的次序 外部激励分为 简谐激励 叠加原理 对于线性系统 可以先分别求出对所给定的许多各种激励的响应 然后组合得出总响应 非周期性激励 周期性激励 3 1对简谐激励的响应 如图3 1 1所示的二阶线性有阻尼的弹簧 质量系统 这一系统的运动微分方程为 这个单自由度强迫振动微分方程的全部解包括两部分 一是通解x1 二是特解x2 即 在小阻尼情况下 通解x1为衰减振动 称为瞬态振动 特解x2表示系统在简谐激励下产生的强迫振动 它是一种持续等幅振动 称为稳态振动 3 1 1 图3 1 1 微分方程及解的形式 3 1对简谐激励的响应 微分方程的求解 式中X为强迫振动的振幅 为相位差 是两个待定常数 将式 3 1 2 代入式 3 1 1 得 为了便于比较 把上式右端的F0sin t改写如下 3 1 3 3 1 4 3 1对简谐激励的响应 微分方程的求解 将式 3 1 4 代回式 3 1 3 整理后得 该方程对于任意时间t都应恒等于零 有 由此可得 3 1 5 3 1 6 3 1对简谐激励的响应 微分方程的求解 为了便于进一步讨论 把式 3 1 5 与式 3 1 6 的分子分母同除以k 得如下变化形式 3 1 7 式中 3 1 8 得特解为 这就是在简谐激励作用下系统的位移响应 3 1 9 3 1对简谐激励的响应 可以看出强迫振动的一些带有普遍性质的特点 1 在简谐激励作用下 强迫振动是简谐振动 振动的频率与激励频率 相同 但稳态响应的相位滞后于激励相位 2 强迫振动的振幅X和相位差 都只决定于系统本身的物理性质和激励的大小与频率 与初始条件无关 初始条件只影响系统的瞬态振动 3 强迫振动振幅的大小在工程实际问题中具有重要意义 如果振幅超过允许的限度 构件中会产生过大的交变应力 而导致疲劳破坏 或者影响机器及仪表的精度 3 1对简谐激励的响应 关于解的讨论 可以将式 3 1 7 写成无量纲的形式 3 1 10 3 1 11 引入符号 3 1对简谐激励的响应 关于解的讨论 幅频特性曲线 放大因子 与频率比 的关系 当频率比 1时 放大因子接近于1 即振幅X几乎与激励幅值引起的静变形X0差不多 当频率比 1时 趋于零 振幅可能非常小 当激励频率与振动系统频率很接近时 即 1时 定义为共振 强迫振动的振幅可能很大 比X0大很多倍 唯一的限制因素是阻尼 图3 1 2 3 1对简谐激励的响应 关于解的讨论 共振 由式 3 1 10 可见 在 1时 有 实际上 当有阻尼作用时 振幅最大并不在 n处 而发生在 3 1 12 3 1 13 3 1 14 将式 3 1 10 对 或 进行微分 令结果等于零 即 3 1对简谐激励的响应 关于解的讨论 共振 据此 放大因子与振幅为 振幅最大时 3 1 15 3 1 16 有时 把强迫振动振幅最大时的频率称为共振频率 也可以把振动系统以最大振幅进行振动的现象称为共振 2020 3 22 77 3 1对简谐激励的响应 关于解的讨论 相频频特性曲线 相位差 与频率比 的关系 在 1的低频范围内 相位差 0 即响应与激励接近于同相位 在 1时 相位差 即在高频范围内 响应与激励接近于反相位 在 1 即共振时 相位差 2 这时 与阻尼大小无关 这是共振时的一个重要特征 图3 1 3 3 1对简谐激励的响应 关于解的讨论 共振时的响应 再研究当激励频率 与系统固有频率 n相等 即共振 时的响应情况 在方程 3 1 1 中 令c 0 n 有 根据微分方程理论可知 当 n时 微分方程 3 1 17 的特解为 3 1 17 3 1 18 这就说明在共振时 如无阻尼 振幅将随时间无限地增大 如图3 1 4所示 图3 1 4 3 1对简谐激励的响应 例题 无阻尼强迫振动微分方程 例3 1 1 共振现象是工程中需要研究的重要课题 工程中通常取0 75 1 25的区间为共振区 在共振区内振动都很强烈 会导致机器或结构的过大变形而造成破坏 但同样可以利用振动为人类服务 例3 1 1在一弹簧 质量系统上作用一简谐力 如图3 1 5所示 初始瞬时x 0 x0 试求系统的响应 解 系统的振动微分方程为 其解为 式中A1和A2是由初始条件确定的常数 图3 1 5 3 1对简谐激励的响应 例题 无阻尼强迫振动微分方程 例3 1 1 代入初始条件x 0 x0 得 把A1和A2值代入解中 得 当t 0时 x0 0 上式简化为 3 1对简谐激励的响应 例题 无阻尼强迫振动微分方程 例3 1 1 在有阻尼的情况下 后一种自由振动在一段时间内逐渐衰减 系统的振动逐渐变成稳态振动 如图3 1 6所示 强迫振动的初始阶段的解由三部分组成 第一项是初始条件产生的自由振动 第二项是简谐激励产生的强迫振动 第三项是不论初始条件如何都伴随强迫振动而产生的自由振动 同时 系统中不可避免地存在着阻尼 自由振动将不断的衰减 图3 1 6 3 1对简谐激励的响应 例题 不平衡质量激发的强迫振动 例3 1 2 例3 1 2作为承受简谐激励的一个例子 考虑图3 1 6所示的不平衡转子激发的振动 两个偏心质量m 2以角速度 按相反方向转动 这样可以使两个偏心质量激励的水平分量相互抵消 铅垂分量则相加起来 设转子的偏心矩为e 机器总质量为M 求系统的响应 解 系统的振动微分方程为 上式可以写成 3 1对简谐激励的响应 例题 不平衡质量激发的强迫振动 例3 1 2 设响应为 根据方程 3 1 7 的稳态响应的幅值为 式中 而 根据方程 3 1 8 的稳态响应的相位角 同样响应的幅值也可以变换为 3 1对简谐激励的响应 例题 不平衡质量激发的强迫振动 例3 1 2 因而 在这种情况下 无量纲比为 用幅频响应曲线表示如图3 1 7所示 在低频 1时 则MX me趋近于1 即X me M 而不趋向于零 3 1对简谐激励的响应 例题 支承激励引起的强迫振动 例3 1 3 解 取铅垂坐标轴x与y 分别以物体与支承静止时的平衡位置为原点 向上为正 其运动微分方程为 或者改写成为 3 1对简谐激励的响应 例题 支承激励引起的强迫振动 例3 1 3 设支承的位移y与振动系统中的质量m的强迫振动响应x表示为 把上面的式子代入振动微分方程得 为了便于比较 把上式右端项改写为 3 1对简谐激励的响应 例题 支承激励引起的强迫振动 例3 1 3 代回整理得 这个方程对于任意时间t都应恒等于零 所以sin t 和cos t 前面括号内的量都必须分别等于零 有 因此 3 1对简谐激励的响应 例题 支承激励引起的强迫振动 例3 1 3 以 为横坐标 X Y为纵坐标 可以作出不同阻尼系数 情况下的幅频响应曲线 如图3 1 9所示 它与简谐激振力F0sin t作用下的响应曲线基本相同 只是在频率比 处 不论相对阻尼系数 等于多少 振幅X都等于支承运动振幅Y 而当 时 振幅X就小于支承运动振幅Y 而且阻尼大的系统比阻尼小的振幅反而要稍大些 3 2系统对周期激励的响应 傅里叶级数 式中频率 2 T为函数F t 的基频 基频的整数倍j 称为谐频 其基本频率作为第一谐频 上式表明一个复杂的周期激励函数可以表示为一系列谐频的许多简谐函数的叠加 式中T为周期 周期激励函数满足 3 2 1 将F t 展开为傅里叶级数 为 3 2 2 利用叠加原理 周期激励的响应则等于各简谐分量引起响应的总和 用傅里叶级数表示非简谐周期激励 3 2系统对周期激励的响应 傅里叶级数 用傅里叶级数表示非简谐周期激励 傅里叶级数的系数a0 aj与bj可由下式确定 它们分别表示函数F t 中简谐分量cosj t和sinj t所参与的程度 a0 2代表F t 的平均值 3 2 3 3 2 4 如果F t 不能以函数表示 可以近似模拟计算 只要定义的aj和bj的积分存在 就可以用傅里叶级数来表示周期激励函数F t 3 2系统对周期激励的响应 傅里叶级数 系统对非简谐周期激励的响应 单自由度有阻尼的弹簧 质量系统在周期激励F t 的作用下的微分方程为 对应于每一激励分量的运动微分方程为 3 2 5 3 2 6 3 2系统对周期激励的响应 傅里叶级数 系统对非简谐周期激励的响应 方程 3 2 6 的稳态响应为 式中 3 2 7 3 2 8 3 2系统对周期激励的响应 傅里叶级数 系统对非简谐周期激励的响应 3 2 10 3 2 9 由叠加原理得周期激励的稳态响应为 3 2 11 3 2系统对周期激励的响应 傅里叶级数 系统对非简谐周期激励的响应 1 若F t F t 则函数F t 称为t的偶函数 2 若F t F t 则函数F t 称为t的奇函数 如果F t 为偶函数 那么关于t的奇次幂的系数均为零 在傅里叶展开式中 系数bj均为零 如果F t 为奇函数 那么关于t的偶次幂的系数均为零 在傅里叶展开式中 则系数aj均为零 引进下述定义 3 2系统对周期激励的响应 傅里叶级数 例题 周期方波激励的稳态响应 例3 2 1 例3 2 1无阻尼单自由度系统受如图3 2 1所示的周期方波激励 试求系统的稳态响应 解 周期方波激励的数学描述为 式中T为周期 图3 2 1 3 2系统对周期激励的响应 傅里叶级数 例题 周期方波激励的稳态响应 例3 2 1 将F t 展开为傅里叶级数 其傅里叶级数的系数为 3 2系统对周期激励的响应 傅里叶级数 例题 周期方波激励的稳态响应 例3 2 1 则周期方波表示的傅里叶级数为 对于任一项激励的响应为 式中为第j项对应的频率比 那么由叠加原理求得响应为 3 2系统对周期激励的响应 傅里叶级数 例题 周期锯齿波激励稳态响应 例3 2 2 例3 2 2图3 2 2所示凸轮使顶杆D沿水平线作周期锯齿波形运动 通过弹簧k1使振动系统有强迫振动 已知凸轮升程为2cm 转速为60r min k1 k 10N cm c 0 5N s cm m 1 20kg 试求振动系统的稳态振动 解 顶杆D的运动方程为 图3 7 2 激振频率为1Hz 即T 1s 2 将激励x1展开成傅里叶级数为 3 2系统对周期激励的响应 傅里叶级数 例题 周期锯齿波激励稳态响应 例3 2 2 傅里叶级数的系数为 3 2系统对周期激励的响应 傅里叶级数 例题 周期锯齿波激励稳态响应 例3 2 2 得x1的傅里叶级数为 振动系统的运动微分方程为 3 2系统对周期激励的响应 傅里叶级数 例题 周期锯齿波激励稳态响应 例3 2 2 或 令 则对应于激励的j次谐频 振动系统的稳态运动为 3 2系统对周期激励的响应 傅里叶级数 例题 周期锯齿波激励稳态响应 例3 2 2 对应于级数中常数项k1 振动系统的响应为 因此 在凸轮运动的作用下 振动系统的稳态运动为 由给出的数据 有 3 2系统对周期激励的响应 傅里叶级数 例题 周期锯齿波激励稳态响应 例3 2 2 因此得 3 3系统对任意激励的响应 卷积积分 任意激励 列车在起动时各车厢挂钩之间的冲击力 火炮在发射时作用于支承结构的反座力 地震波或爆炸形成的冲击波等对建筑物的作用 在许多实际问题中 激励并非是周期性函数 而是任意的时间函数 或者是在极短时间间隔内的冲击作用 精密仪表在运输过程中包装箱速度的突变 系统在任意激励作用下的振动状态 包括激励作用停止后的自由振动 称为任意激励的响应 简谐激励是周期激励的一种特例 周期激励是任意激励的一种特例 3 3系统对任意激励的响应 卷积积分 求解系统任意激励响应的方法 该方法是用傅里叶积分来表示激励 它是由傅里叶级数通过包括令周期趋近于无穷大的极限过程来得到的 实质上激励不再是周期性的 该方法是将激励视为持续时间非常短的脉冲的叠加 引用卷积积分的方法 对具有任何非齐次项的微分方程 都可以用统一的数学形式把解表示出来 而且所得到的解除代表强迫振动外 还包括伴随发生的自由振动 傅里叶积分法 卷积积分法 3 3系统对任意激励的响应 卷积积分 1脉冲响应 单位脉冲 一单位脉冲输入 具有零初始条件的系统响应 称为系统的脉冲响应 宽度T0 高度1 T0的矩形脉冲 如图3 3 1 a 所示 这个矩形脉冲的面积为1 为了得到单位脉冲 使脉冲宽度T0接近于零 而保持面积为1 图3 3 1 3 3系统对任意激励的响应 卷积积分 1脉冲响应 单位脉冲 在极限情况下 单位脉冲的数学定义为 这个脉冲发生在t 0处 如图3 3 1 b 所示 如果单位脉冲发生在t a处 则它可由下式定义 3 3 1 3 3 2 注意 t a 是一个沿着时间轴的正向移动了a时间的单位脉冲 图3 3 1 3 3系统对任意激励的响应 卷积积分 1脉冲响应 单位脉冲 数学上 单位脉冲必须具有零脉冲宽度 单位面积和无限的高度 这样的脉冲模型不可能在现实应用中实现 在具体系统的脉冲试验中 若激励的持续时间同系统的固有周期 T 1 f 相比时非常的短 则激励就可以考虑为一个脉冲 函数的单位为s 1 在其它方面的情况 函数将有不同的量纲 具有上述特性的任何函数 并不一定是矩形脉冲 都可用来作为一个脉冲 而且称为 函数 3 3系统对任意激励的响应 卷积积分 1脉冲响应 脉冲响应 如果在t 0与t a处分别作用有瞬时冲量 则对应的脉冲力可方便地写成 式中的单位为N s 单自由度阻尼系统对脉冲力的响应 系统振动微分方程为 假定系统在作用脉冲力F t 之前处于静止 即 3 3 3 3 3 4 3 3 5 由于F t 作用在t 0处 对于t 0 系统不再受脉冲力的作用 但其影响依然存在 3 3系统对任意激励的响应 卷积积分 1脉冲响应 脉冲响应 把求解单自由度阻尼系统对脉冲力F t 的响应问题变换为系统对于零初始条件的响应问题 将变成t 0 处的初始条件引起的自由振动 为了找出t 0 的初始条件 对方程 3 3 4 在区间0 t 0 上积分两次 有 3 3 6 因为 3 3 7 则方程 3 3 6 中的左端第二项 第三项 右端项的积分值均为无限小量 可以略去不计 3 3系统对任意激励的响应 卷积积分 1脉冲响应 脉冲响应 根据式 3 3 6 考虑到x 0 0 则有 也就是说 在脉冲力作用的极短时间内 质量m还来不及发生位移 对方程 3 3 4 在区间0 t 0 上积分一次 有 3 3 9 同理 得 3 3 10 若系统在脉冲力作用之前静止 脉冲力使速度产生瞬时变化 可以认为在t 0时作用的脉冲力等效于初始速度 3 3系统对任意激励的响应 卷积积分 1脉冲响应 脉冲响应 方程 3 3 4 等价于初始速度引起的自由振动 即 3 3 11 其解为 3 3 12 令 则系统受单位脉冲力F t t 的作用 其响应称为脉冲响应 3 3系统对任意激励的响应 卷积积分 1脉冲响应 脉冲响应 脉冲响应为 3 3 13 3 3系统对任意激励的响应 卷积积分 2卷积积分 利用脉冲响应 可以计算对任意激励函数F t 的响应 把F t 视为一系列幅值不等的脉冲 用脉冲序列近似地代替激励F t 如图3 3 2所示 在任意时刻t 处 相应的时间增量为 由一个大小为F 的脉冲 相应的力可以用数学表示为 因为在t 处对脉冲响应为h t 所以此脉冲的响应为其单位脉冲响应和脉冲强度的乘积 即 图3 3 2 3 3系统对任意激励的响应 卷积积分 2卷积积分 3 3 14 通过叠加 求出序列中每一脉冲引起的响应的总和为 令 0 并取极限 上式表示为积分形式 3 3 15 上式称为卷积积分 又称为杜哈梅 Duhamel 积分 它将响应表示成脉冲响应的叠加 3 3 16 代入h t 的表达式 3 3 13 得到 3 3系统对任意激励的响应 卷积积分 2卷积积分 若在t 0时 任意激励F t 作用的瞬时 系统的初始位移和初始速度为 则系统的响应是由激励和初始条件引起的响应的叠加 即 3 3 17 它表示单自由度有阻尼的弹簧质量系统对任意初始条件和任意激励的响应 3 3系统对任意激励的响应 卷积积分 2卷积积分 令t u 则 d du 此外考虑 3 3 15 中的积分限界 当 0时 u t 当 t时 u 0 将其代入式 3 3 15 得到 上式为卷积积分的另一种表达形式 式 3 3 15 中的 和式 3 3 18 中的u只是积分变量 可见卷积积分对于激励F t 和脉冲响应h t 是对称的 即 3 3 18 3 3 19 卷积积分在线性系统研究中是一个有力的工具 虽然Duhamel积分不便于笔算 但是用电子计算机就可容易地进行计算 3 3系统对任意激励的响应 卷积积分 2卷积积分 例题 3 3 1 例3 3 1设一单自由度无阻尼系统受到的简谐激励如下 试用卷积积分计算其响应 解 在方程 3 3 16 中 令 0 d n 则 3 3系统对任意激励的响应 卷积积分 2卷积积分 例题 3 3 1 因为当t 0时没有激励 所以其响应应该写成下面的形式 上式右端第一项代表强迫振动 它是按激励频率 进行的稳态运动 即使振动系统有阻尼也并不衰减 第二项是按固有频率 n进行的自由振动 只要振动有极微小的阻尼就会迅速衰减 所以是瞬态振动 应用卷积积分 则稳态振动与瞬态振动同时得出 3 3系统对任意激励的响应 卷积积分 2卷积积分 例题 3 3 2 例3 3 2试确定单自由度无阻尼系统在零初始条件下对图3 3 3中激励函数的响应 解 由图可得激励函数为 当0 t t1时 时 由方程 3 3 17 得到 图3 3 3 3 3系统对任意激励的响应 卷积积分 2卷积积分 例题 3 3 2 当t1 t t2时 时 有 3 3系统对任意激励的响应 卷积积分 2卷积积分 例题 3 3 2 当t t2时 有 3 3系统对任意激励的响应 卷积积分 3单位阶跃响应 如图3 3 4所示的单位阶跃函数在数学上可以定义为 单位阶跃函数是无量纲的函数 显然 函数在t a处有一突变 其值从0跳到1 3 3 20 如果突变发生于t 0处 那么这一函数可以简单地写成u t 其在数学上可以定义为 图3 3 4 3 3系统对任意激励的响应 卷积积分 3单位阶跃响应 单位阶跃函数 当一个任意函数F t 与单位阶跃函数u t a 相乘时 F t u t a 相对于ta的部分则不受影响 即 3 3 21 单位阶跃函数u t a 与脉冲函数 t a 之间存在着密切的积分关系 即 3 3 22 反过来 则 t a 可以视为u t a 对时间导数 即 3 3 23 3 3系统对任意激励的响应 卷积积分 3单位阶跃响应 单位阶跃响应 当初始条件为零时 系统对在t 0处所作用的单位阶跃函数u t 的响应 称为系统的单位阶跃响应 用g t 表示 将F u 代入卷积积分 可得单位阶跃响应 有 3 3 24 考虑到 3 3 25 3 3系统对任意激励的响应 卷积积分 因而积分 3 3 24 可以改写成 令t d d 并互换积分的限界后 积分 3 3 26 成为 3 3 26 3 3 27 3单位阶跃响应 单位阶跃响应 3 3系统对任意激励的响应 卷积积分 3单位阶跃响应 单位阶跃响应 这里用到 3 3系统对任意激励的响应 卷积积分 3单位阶跃响应 单位阶跃响应 式中单位阶跃函数u t 将自动表明t 0时g t 0 式 3 3 28 也可以变换为 方程 3 3 27 简化为 3 3 28 3 3 29 式中 3 3 30 3 3系统对任意激励的响应 卷积积分 3单位阶跃响应 单位阶跃响应 g t 对t的曲线如图3 3 5所示 图3 3 5 3 3系统对任意激励的响应 卷积积分 3单位阶跃响应 单位阶跃响应 突加单位力不仅使弹簧产生静变形1 k 同时使系统发生振幅为的衰减运动 若忽略阻尼不计 即 0 d n 则单位阶跃响应为 3 3 31 可见弹簧有最大的变形2 k 等于静变形的两倍 3 4工程中的振动问题 生活和工程中的共振问题 1807年冬和1808年春 拿破仑率领法国军队入侵西班牙 据说 在战争中部队行军经过一座铁链悬索桥 随着军官雄壮的口令 队伍迈着整齐的步伐逐渐接近对岸时 轰隆一声巨响 大桥塌毁了 士兵 军官纷纷坠水 几十年后 俄国圣彼得堡卡坦卡河上 一支部队过桥时 也发生了同样的惨剧 从此 世界各国的军队过桥时 都不允许齐步走 必须用凌乱无序的碎步通过 生活和工程中的共振问题 我国古代很早就对共振现象有记述 公元前4世纪至公元前3世纪 我国 庄子 杂篇 徐无鬼 中 就讲到了调瑟 有25根弦的古代弦乐器 时发生共振的现象 鼓宫 音调名 宫动 鼓角 音调名 角动 音律同矣 夫改调一弦 于五音无当也 鼓之 二十五弦皆动 它既描述了基音的共振现象 又描述了基音和泛音的共振现象 墨子 备穴篇 还记述了共振现象的具体应用 在城墙根下每隔几米 挖一个坑 坑内埋置容器为70 80升的陶瓮 瓮口蒙上皮革 若有敌人挖地道攻城 可以根据各陶瓮声响情况 确定敌人挖掘的位置和方向 3 4工程中的振动问题 生活和工程中的共振问题 世界上最早进行共振实验 是在11世纪我国宋代科学家沈括 1031 1095 沈括在 梦溪笔谈 中精心设计了一个声学共振实验 他剪了一个纸人 把它固定在一根弦上 弹动和该弦频率成简单整数比的弦时 它就振动使纸人跳跃 而弹其它弦时 纸人则不动 沈括把这种现象叫做 应声 在西方 直到15世纪 意大利人达 芬奇才开始做共振实验 直到17世纪 牛津的诺布耳和皮戈特才以所谓的 纸游码 相当于纸人一类的东西 实验 来证明弦线的基音和泛音的共振关系 3 4工程中的振动问题 生活和工程中的共振问题 在我国的史籍中也有不少共振的记载 唐朝开元年间 洛阳有一个姓刘的和尚 他的房间内挂着一幅磬 古代 佛教 打击乐器 常敲磬解烦 有一天 刘和尚没有敲磬 磬却自动响起来了 不料那磬常常无故自鸣 尤其是半夜里会突然响动 犹如鬼使神差一般 这使他大为惊奇 终于惊扰成疾 他的一位好朋友曹绍夔是宫廷的乐令 管理皇家音乐事项 不但能弹一手好琵琶 而且精通音律 闻讯前来探望刘和尚 经过一番观察 他发现每当寺院里的钟响起来时 和尚房里的磬也跟着响了 于是曹绍夔拿出刀来把磬磨去几处 从此以后磬就不再自鸣了 他告诉刘和尚 这幅磬的音律 即所谓的固有频率 和寺院的钟的音律一致 敲钟时由于共振 磬也就响了 将磬磨去几处就是改变它的音律 这样就不会引起共鸣 刘和尚恍然大悟 病也随之痊愈了 3 4工程中的振动问题 生活和工程中的共振问题 物理学中的实验同样可以得出 虽然驱动力很小 但共振的结果却可以是惊人地大 的结论 如图所示一个音叉 它固定在一个音箱上 音箱用来放大音叉的声音 当把一个同样的音叉放在附近的音箱上 并敲击它 那第一个音叉就会产生所谓的共鸣振动而响起来 下面说明为什么 当来自第二个音叉的一系列声波撞击到第一个音叉上时 空气的每一次压缩给这个音叉一个小的推动 由于这些推动的发生频率就是音叉的固有频率 两个音叉是一样的 所以它们逐次地增加振动的振幅 考虑到这个干扰声是如此微弱 发现这样结果是令人吃惊的 一个音叉发出的这种微弱的声音所造成的空气压强的变化约为1 108 却足以使第二个音叉振动起来 3 4工程中的振动问题 1建筑物的共振破坏 近代工程上许多因共振造成的灾难性事故给我们留下的教训就显得非常深刻 1940年7月1日美国西海岸华盛顿州建成了一座当时位居世界第三的Tacoma大桥 大桥中央跨距为853 4m 全长1810 56m 桥宽11 9m 梁高为1 3m 为悬索桥结构 设计可以抗60m s的大风 但不幸的是大桥刚建成4个月后 1940年11月7日 就在19m s的小风吹拂下整体塌毁 3 4工程中的振动问题 美国华盛顿州Tacoma悬索桥 1建筑物的共振破坏 3 4工程中的振动问题 1建筑物的共振破坏 Tacoma桥破坏时 当地Tacoma报社的编辑LeonardCostsworth恰好路过 并用摄影机记录下一段珍贵的胶片 据说 在出事当天 一位记者把车停在桥上 并把一条狗留在车内 桥倒塌时 只有他本人跑到了桥台处 当地的报纸以简洁的标题对这场事故作了报道 损失 一座桥 一辆汽车 一条狗 3 4工程中的振动问题 1建筑物的共振破坏 Tacoma大桥的横截面与气流的旋涡脱落 Tacoma大桥遭风塌毁的原因就是气流与大桥的共振所引起的 当风吹过大桥时 气流会在大桥的背风面产生旋涡 而在19m s风速时旋涡脱落的频率与悬索上桥板的固有频率刚好一致 再加上悬索桥的小阻尼 从而产生了强烈的共振 因此尽管桥塌毁的这天风并不是很大 但却吹垮了整座大桥 3 4工程中的振动问题 1建筑物的共振破坏 调查这次倒塌的委员会包括了加州理工学院的空气动力学家冯卡门 他解释说在桥的顶部和底部正在涌出涡旋 它们以桥的共振频率推动着桥 最后导致桥的倒塌 在华盛顿大学和加州理工学院的风洞实验室用结构模型做的实验都证实了他的解释 尽管已经证实了 但是桥的建筑方还是十分不愿意接受这个解释 桥梁建筑师关心的是静态的力 他们构筑了极强的强度来面对最大的负载 水流 大风等 他们不考虑动态的力 冯卡门说 呈现在大风面前的路面形状其作用就像飞机的机翼 空气形成了涡旋 而正是涡旋的作用导致了桥面的振动 从那场灾难事件以后 所有重要的桥梁模型都在风洞里做过测试 也迫使桥梁工程师们考虑他们设计中的空气动力学问题 3 4工程中的振动问题 1建筑物的共振破坏 计算机模拟图 3 4工程中的振动问题 1建筑物的共振破坏 10年以后 在同一地方重新修建Tacoma桥 仍采用悬索桥型式 新桥总长较旧桥长12m 但加劲梁改为桁架式 于1950年10月14日建成通车 新桥是根据冯卡门的建议修改后建造的 主要的改变是把桥修成四车道宽 使用侧面开放的桁架 并且在车道之间放通风的铁栅格以平衡桥面上下的风压 在大风天 人们还是