第1章 数字系统与编码.ppt

第一章数字系统与编码 1 1数字系统中的进位制1 2数字系统中编码返回 1 1数字系统中的进位制 1 1 1数制1 1 2数制转换返回 1 1 1数制 数制是人们对数量计数的一种统计规律 也就是按进位方式实现计数的一种规则 在日常生活中常用的数制是十进制 十二进制 六十进制等等 返回 1 术语 1 基数 表示某种进位制所具有的数字符号的个数 例如 十进制 基数为 10 数码包括0 9 二进制 基数为 2 数码包括0 1 十六进制 基数为 16 数码包括0 9 A F 2 权 也叫位权 表示某种进位制的数中不同位置上数字的单位数值 例如 十进制数234 56 234 56 百位十位个位十分位百分位权 10210110010 110 2 2 数的表示方法 对于一个一般的十进制数N 它可表示成 N 10 dn 1dn 2 d1d0 d 1d 2 d m 10 并列表示法 或 N 10 dn 1 10 n 1 dn 2 10 n 2 d1 10 1 d0 10 0 d 1 10 1 d 2 10 2 d m 10 m 按权展开式 一般地 对于任意进制数可表示为 N R rn 1rn 2 r1r0 r 1r 2 r m R rn 1Rn 1 rn 2Rn 2 r1R1 r0R0 r 2R 2 r mR m 在数字系统中 常用二进制数来表示数和进行运算 这时R写成 2 ri 0 1 二进制算术运算十分简单 规则如下 加法规则0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 10 乘法规则0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 例1 1两个二进制数相加 采用 逢二进一 的法则解 1101 1001 10110 例1 2两个二进制数相减 采用 借一当二 的法则解1101 0110 0111 例1 3两个二进制数相乘 其方法与十进制乘法运算相似 但采用二进制运算规则 解1011 1101 1011000010111011 10001111 例1 4两个二进制数相除 其方法与十进制除法运算相似 但采用二进制运算规则 解1010 商 1101 100010011101 100001101 111 余数返回 1 1 2数制转换 二进制与八进制的转换二进制与十六进制的转换二进制与十进制的转换任意进制之间的转换返回 1 二进制与八进制之间的转换 由二进制转换成八进制的方法是 以小数为界 将二进制数的整数部分从低位开始 小数部分从高位开始 每三位分成一组 头尾不足三位的补0 然后将每组的三位二进制转换为一位八进制数 例如将二进制数11010 1101转换为八进制数 011 010 110 100 32 64所以 11010 1101 2 32 64 8 例如将八进制数357 6转换为二进制数 357 6 011101111 110所以 357 6 8 11101111 11 2返回 2 二进制与十六进制的转换 由二进制转换成十六进制的方法是 以小数为界 将二进制数的整数部分从低位开始 小数部分从高位开始 每四位分成一组 头尾不足四位的补0 然后将每组的四位二进制转换为一位十六进制数 例如将二进制数1010110110 110111转换为十六进制数 001010110110 110111002B6 DC所以 1010110110 110111 2 2B6 DC 16 例如将十六进制数5D 6E转换为二进制数 5D 6E 01011101 01101110所以 5D 6E 16 1011101 0110111 2返回 3 二进制与十进制的转换 将二进制数写成按权展开式 并将式中各乘积项的积算出来 然后各项相加 即可得到与该二进制数相对应的十进制数 例如 11010 101 2 1 24 1 23 0 22 1 21 0 20 1 2 1 0 2 2 1 2 3 16 8 2 0 5 0 125 26 625 10 十进制数转换成二进制数时 需将待转换的数分成整数部分和小数部分 并分别加以转换 将一个十进制数写成 N 10 1010 转换时 首先将10 转换成2 然后再将10 转换成2 待整数部分和小数部分确定后 就可写成 N 2 2 2 1 整数转换 整数部分采用 除2取余 法进行转换 即把十进位制整数除以2 取出余数1或0作为相应二进制数的最低位 把得到的商再除以2 再取余数1或0作为二进制数的次低位 依次类推 继续上述过程 直至商为0 所得余数为最高位 例如 58 10 22 58 2 29余数0 a0 最低位 2 14余数1 a1 2 7余数0 a2 2 3余数1 a3 2 1余数1 a4 0余数1 a5 最高位 因此 5 10 111010 2 2 纯小数转换 采用 乘2取整 法进行转换 即先将十进制小数乘以2 取其整数1或0 作为二进制小数的最高位 然后将乘积的小数部分再乘以2 并再取整数 作为次高位 重复上述过程 直到小数部分为0或达到所要求的精度 例1 0 625 10 20 625 2 1 250整数1 a 1 最高小数位 2 0 500整数0 a 2 2 1 000整数1 a 3 最低小数位 故 0 625 10 0 101 2 注意 式中的整数不参加连乘 例2 将十进制数0 18转换成二进制数 精确到小数点后5位 0 18 1 44整数1 a 3 2 2 0 36整数0 a 1 0 88整数0 a 4 2 2 0 72整数0 a 2 1 76整数1 a 5 2 故 0 18 10 0 00101 2返回 4 任意进制之间的转换 按权展开 整数部分 除 取余小数部分 乘 取整 返回 1 2数字系统中编码 1 2 1带符号数的代码表示1 2 2十进制数的二进制编码1 2 3可靠性编码1 2 4字符编码返回 1 2 1带符号数的代码表示 1 真值与机器数2 原码3 反码4 补码返回 真值 直接用正号 和负号 来表示符号的二进制数 叫做符号数的真值 如 0 1011 0 1011机器数 将符号用数值表示的数 习惯上 用0表示 用1表示 如 0101111011符号数值符号数值返回 1 真值与机器数 2 原码 又称为 符号 数值表示 在以原码形式表示的正数和负数中 第1位表示符号位 对于正数 符号位记作0 对于负数 符号位记作1 其余各位表示数值部分 1 定义一个n位的整数N 包括一位符号位 的原码一般表示式为 N0 N 2n 1 N 原 2n 1 N 2n 1 N 0 对于定点小数 通常小数点定在最高位的左边 这时 数值小于1 定点小数原码一般表示式为 N0 N 1 N 原 1 N 1 N 0 2 性质 当N为正数时 N 原和N的区别只是增加一位用0表示的符号位 当N为负数时 N 原和N的区别是增加一位用1表示的符号位 在原码表示中 有两种不同形式的0 即 0 原 0 00 0 0 原 1 00 0 3 举例 如果N1 0 1101N2 0 1101则 N1 原 0 1101 N2 原 1 1101返回 3 反码 反码又称为 对1的补数 用反码表示时 左边第1位也为符号位 符号位为0代表正数 符号位为1代表负数 对于负数 反码的数值是将原码数值按位求反 而对于正数 反码和原码相同 1 定义 一个n位的整数N 包括一位符号位 的反码一般表示式为 N0 N 2n 1 N 反 2n 1 N 2n 1 N 0同样 对定点小数 若小数部分的位数为m 则它的反码一般表示为 N0 N 1 N 反 2 2 m N 1 N 0 2 性质 1 正数N的反码 N 反与原码 N 原相同 2 对于负数N 其反码 N 反的符号位为1 数值部分是将原码数值按位变反 3 在反码表示中 0的表示有两种不同的形式 即 0 反 0 00 0 0 反 1 11 1 3 反码运算及示例 在进行反码运算时 两数反码的和等于两数和的反码 即 N1 反 N2 反 N1 N2 反 符号位也参加运算 当符号位产生进位时 需要循环进位 即把符号位的进位加到和的最低位上去 例如 已知N1 1001 N2 1011 求N1 N2解 N1 反 01001 N2 反 10100 N1 反 N2 反 11101 即 N1 N2 反 11101 所以N1 N2 0010 例 已知N1 1001N2 0101 求N1 N2解 N1 反 01001 N2 反 11010 N1 反 N2 反 1 00011 1 00100即 N1 N2 反 00100 所以N1 N2 0100返回 4 补码 又称为 对2的补数 在补码表示法中 正数的表示同原码和反码的表示是一样的 而负数的表示却不同 对于负数 其符号位为1 而数值位是将原码按位变反加1 即按位变反 再在最低位加1 1 定义 一个n位的整数N 包括一位符号位 的补码一般表示式为 N0 N 2n 1 N 补 2n N 2n 1 N 0同样 对于定点小数 补码一般表示式可写成 N0 N 1 N 补 2 N 1 N 0 2 性质 1 正数N的补码 N 补与原码 N 原和反码 N 反相同 2 对于负数 补码 N 补的符号位为1 其数值部分为反码数值加1 3 在补码表示中 0的表示式是唯一的 即 0 补 0 00 0 0 补 0 00 0 3 补码运算及示例 补码运算规则 N1 补 N2 补 N1 N2 补运算时 符号位和数值位统一样参加运算 如果符号位产生进位 则需将此进位 丢掉 例 已知N1 0 1100 N2 0 0010 求 N1 N2 补和 N1 N2 补以及N1 N2 N1 N2解对于 N1 N2 补 N1 补 1 0100 N2 补 1 1110丢掉 11 0010 即 N1 N2 补 1 0010 N1 N2 0 1110 因为 N1 N2 补 N1 补 N2 补 则 N1 补 1 0100 N2 补 0 0010 1 0110 即 N1 N2 补 1 0110 N1 N2 0 1010 4 原码 补码转换的更简便方法 对于负数 原码 补码之间的转换可直接按位写出来 符号位不变 数值位从右边起往左写 遇到 0 或第一个 1 照写 以后则按位求反即可 例如 N 原 100110100从右往左 N 补 111001100 5 特殊补码的求法 1 当N 2n 1 n为代码长度 时 求 N 补 根据补码的一般表达式 N 补 2n N 2n 2n 1 2 2n 1 2n 1 2n 1 例如n 5时N 10000 则 N 补 10000 2 已知 N 补 求 N 补 这时只要将 N 补连同符号位一起求反加1即可 这个过程称为求补 即 N 补 N 补 求补 例如 N 补 11011 N 补 11011 求补 00101 3 已知 N 补 求 1 2N 补 1 4N 补 求 1 2N 补只需将 N 补右移一位 并保持符号位不变 求 1 4N 补只需将 N 补右移两位 保持符号位不变 而移位后的最右边位略去 例如已知 N 补 11010 则 1 2N 补 11101 1 4N 补 11110返回 1 2 2十进制数的二进制编码 在计算机或其它数字系统中 常用二进制代码来表示十进制数 并进行运算 这种方法就是将十进制的十个数字符号分别用若干位二进制代码来表示 通常称为二 十进制编码 这种编码既具有二进制的形式又具有十进制数的特点 1 8421 BCD 码 将十进制的每个数字符号用四位二进制数表示 编码方式 特点 1 有权码 设8421 BCD 码的各位为a3a2a1a0则它所代表的值为 N 8a3 4a2 2a1 1a0 2 编码简单直观 它与十进制数之间的转换只要直接按位进行就可 例如 91 76 10 10010001 01110110 BCD 2 余三码 余3码也是用四为二进制代码表示一位十进制数字 编码方式 特点 1 无权码 对9的自补码 每一个余3码只要自身按位取反 便可得到其对9之补码 例如 2 两个余3码相加 和要进行修正 方法是 如果没有进位 则和需要减3 如果发生了进位 则和需要加3 例如2010191100 3 0110 1 0100 5101110进位 1 0000 11 11 无进位和减3 1000 有进位和加3 0011 3 2421码 和BCD码相似 它也是一种有权码 所不同的是2421码的权从左到右分别为2 4 2 1 设2421码中的各位为a3a2a1a0 则它所代表的值为 N 2a3 4a2 2a1 1a0 编码方式 除上述三种常用的二 十编码外 还有5421码 4421码 4221码等4位编码以及5中取2码 移位计数器码等五种编码 返回 1 2 3可靠性编码 代码本身具有某种特征 使得代码在形成中不易出错 或者这种代码在出错时容易发现 甚至能查出出错的位置并予以纠正 1 格雷 Gray 码 典型GRAY码 Gray码都有一个共同特点 即从一个代码变为相邻的另一代码时 只有一位发生变化 GRAY码与普通二进制的转换 设二进制码为 BnBn 1 B1B0其对应的Gray码为GnGn 1 G1G0Gn Bn式中 符号表示异或运算则有 或者模2加运算 其规则是 Gi Bi 1Bi0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0Bn Gn反之 Bi Bi 1Gi 例 把二进制码0111和1100转换成典型的Gray码B 0111B 1100 G 0100G 1010 例 把Gray码0100和1010转换成二进制码G 0100G 1010 B 0111B 1100 2 奇偶校验码 ParityCodes 奇偶校验码由信息位和校验位两部分组成 信息位就是要传送的信息本身 可以是位数不限的二进制代码 例如并行传送8421BCD码 信息位就四位 校验位是附加的冗余位 这里仅用一位 奇偶校验码的编码方法奇校验 校验位的取值 0或1 使得整个代码中信息位和校验位的 1 的个数为奇数 偶校验 校验位的取值使得整个代码中信息位和校验位的 1 的个数为偶数 一般来说 对于任何n位二进制信息位 只要增加一位校验位 便可构成 n 1 位的奇或偶校验码 设奇偶校验码为C1C2C3 CnP则校验位P可以表示成P C1 C2 C3 Cn 对偶校验码 或P C1 C2 C3 Cn 1 对奇校验码 2 奇偶校验码的校验方法校验方程为S C1 C2 Cn P1正确奇校验S 0错误0正确偶校验S 1错误 实现BCD码奇偶校验的原理框图 发送端传送或存储介质接收端B8 B4 B2 B1 奇偶P奇偶S形成电路检验电路 3 汉明校验码 Hamming 汉明码的编码方法汉明码也是由信息位 校验位两部分构成 但校验位不是一位而是多位 根据要传输的信息码位数k来确定需要的最小汉明校验码位数r 它们应满足2r k r 1 例如 r和kmax之间的关系 将校验位分别设置在2i码位上 i 0 1 2 例如有校验码3位b1b2b3信息码4位a1a2a3a4则组成的汉明码为 b1b2a1b3a2a3a4码位 1234567202122 对汉明码分组 并进行奇偶校验运算以确定校验位的取值 将码位用二进制值表示 在同一位上标1的码元分为一组码位 12345671010101 b1a1a2a4 0110011 b2a1a3a4 0001111 b3a2a3a4 b1b2a1b3a2a3a4 则b1 a1 a2 a4b2 a1 a3 a4 偶校验 b3 a2 a3 a4或b1 a1 a2 a4 1b